第10章 第4节 事件的独立性、条件概率与全概率公式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第十章　计数原理与概 率、随机变量及其分布 第四节　事件的独立性、条件概率与全概率公式 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × × √ √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 条件概率(多维贯通) A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 相互独立事件的概率(多维贯通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 全概率公式的应用(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（六十八） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.了解两个随机事件独立性的含义．结合古典概型，利用独立性计算概率． 2．了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 3．了解条件概率与独立性的关系． 4．会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率． 1．条件概率 (1)定义：如果事件A，B是两个随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下事件B发生的概率叫作条件概率，记为P(B|A). (2)条件概率公式： ①P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) (P(A)＞0)，P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) (P(B)>0). ②用n(A)，n(AB)分别表示A，AB中的样本点个数，则P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) ＝ eq \f(P（AB）,P（A）) . 2．事件A与事件B相互独立 若事件A与事件B相互独立，则事件A的发生不会影响事件B发生的概率，即有P(B|A)＝P(B).反之，若P(B|A)＝P(B)成立，则P(AB)＝P(A)· eq \f(P（AB）,P（A）) ＝P(A)·P(B|A)＝P(A)P(B). 3．n个事件的相互独立 (1)如果n(n＞2)个事件A1，A2，…，An中任何一个事件发生的概率都不受其余事件发生与否的影响，则称A1，A2，…，An相互独立． (2)一般地，当n(n＞2)个事件A1，A2，…，An相互独立时，有以下公式成立：P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An). 4．乘法公式 若Ai(i＝1，2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)＞0，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1).该式常称为概率的乘法公式． 5．全概率公式 设Ai(i＝1，2，…，n)为n个事件，若满足 (1)AiAj＝∅(i≠j)， (2)A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω， (3)P(Ai)>0，i＝1，2，…，n， 则对任一事件B，有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An)＝ eq \i\su(i＝1,n,P)(Ai)P(B|Ai). 上式称为全概率公式． 1．判断正误 (1)相互独立事件就是互斥事件．(　　) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)·P(B)都成立．(　　) (3)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　) (4)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(　　) (5)三个事件A，B，C两两独立，则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C).(　　) 2．(2025·辽宁模拟)已知P(A|B)＝ eq \f(3,7) ，P(B)＝ eq \f(7,9) ，则P(AB)＝(　　) A． eq \f(3,7) B． eq \f(4,7) C． eq \f(1,3) D． eq \f(27,49) 解析：因为P(A|B)＝ eq \f(3,7) ，P(B)＝ eq \f(7,9) ，所以P(AB)＝P(A|B)P(B)＝ eq \f(3,7) × eq \f(7,9) ＝ eq \f(1,3) . 3．(2025·北京朝阳区模拟)在5道题中有3道数学题和2道物理题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到数学题条件下，第二次抽到数学题的概率是(　　) A． eq \f(3,10) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,5) D． eq \f(1,3) 解析：设第二次抽到数学题为事件A，第一次抽到数学题为事件B， 则P(AB)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,10) ，P(B)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(5)) ) ＝ eq \f(3,5) ， 则P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(\f(3,10),\f(3,5)) ＝ eq \f(1,2) . 4．有两台车床加工同一型号的零件，第一台加工的次品率为5%，第二台加工的次品率为4%，加工出来的零件混放在一起，已知第一、二台车床加工的零件数分别占总数的40%，60%，从中任取一件产品，则该产品是次品的概率是________． 答案：0.044　 解析：该产品是次品的概率是40%×5%＋60%×4%＝0.044. 5．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________． 答案：0.38　 解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A eq \o(B,\s\up16(－))∪ eq \o(A,\s\up16(－))B， 所以P(A eq \o(B,\s\up16(－))∪ eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(A eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－))B)＝P(A)·P( eq \o(B,\s\up16(－)))＋P( eq \o(A,\s\up16(－)))P(B)＝0.2×(1－0.3)＋(1－0.2)×0.3＝0.38. 6．(全概率公式应用致误)在A，B，C三地暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是______． 答案： eq \f(27,500) 　 解析：由全概率公式可得，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率为6%× eq \f(3,3＋1＋1) ＋5%× eq \f(1,3＋1＋1) ＋4%× eq \f(1,3＋1＋1) ＝ eq \f(27,500) . 角度1　条件概率的计算 【例1】 (2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 解析：通解(图示法)　如图，左圆表示爱好滑冰的学生所占比例，右圆表示爱好滑雪的学生所占比例，A表示爱好滑冰且不爱好滑雪的学生所占比例，B表示既爱好滑冰又爱好滑雪的学生所占比例，C表示爱好滑雪且不爱好滑冰的学生所占比例，则0.6＋0.5－B＝0.7，所以B＝0.4，C＝0.5－0.4＝0.1.所以若该学生爱好滑雪，则他也爱好滑冰的概率为 eq \f(B,B＋C) ＝ eq \f(0.4,0.5) ＝0.8. 优解(运用条件概率的计算公式求解)　令事件A，B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪，事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，P(AB)＝P(A)＋P(B)－0.7＝0.4，所以P(C)＝P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(0.4,0.5) ＝0.8，故选A. 求条件概率的常用方法 (1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) . (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的样本点数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的样本点数，即n(AB)，得P(B|A)＝ eq \f(n（AB）,n（A）) . 【练1】 国外暴发自然灾害，我国派出由医疗专家组成的团队赴海外支援．现有甲、乙、丙、丁四个医疗团队和4个需要援助的国家可供选择，每个医疗团队只去一个国家．设事件A＝“4个医疗团队去的国家各不相同”，事件B＝“团队甲独自去一个国家”，则P(A|B)＝(　　) A． eq \f(2,9) B． eq \f(1,3) C． eq \f(4,9) D． eq \f(5,9) 解析：事件A＝“4个医疗团队去的国家各不相同”，事件B＝“团队甲独自去一个国家”，则P(AB)＝eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(4)) eq \f(A,44) ＝ eq \f(3,32) ，P(B)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)) eq \f(C×33,44) ＝ eq \f(27,64) ，P(A|B)＝ eq \f(P（AB）,P（B）) ＝ eq \f(2,9) .故选A. 【练2】 (2025·黑龙江哈尔滨三中模拟)某中学理学会组建甲、乙两个数学解题小组，两个小组独立开展解题工作，已知某道竞赛题甲小组解题成功的概率为 eq \f(2,3) ，乙小组解题成功的概率为 eq \f(1,2) .在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为__________． 答案： eq \f(2,5) 　 解析：设事件A为“解题成功”，即甲乙两个小组至少有一个小组解题成功， 其概率为P(A)＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) · eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) ＝ eq \f(5,6) ， 事件B为“乙小组解题失败”，则P(AB)＝ eq \f(2,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2))) ＝ eq \f(1,3) ， 所以在解题成功的条件下，乙小组解题失败的概率为P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(1,3),\f(5,6)) ＝ eq \f(2,5) . 角度2　条件概率公式及性质的应用 【例2】 (1)(2025·湖北荆州中学模拟)已知A，B为两个随机事件，P(A)，P(B)>0，则“A，B相互独立”是“P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))|B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\o(B,\s\up16(－)))))) ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)(2025·重庆南开中学模拟)记 eq \o(A,\s\up16(－)) 为事件A的对立事件，且P(A)＝ eq \f(1,2) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))|B)) ＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(3,4) ，则P(A∪B)＝__________． 答案：(1)C　(2) eq \f(3,4) 　 解析：(1)由题意，P( eq \o(A,\s\up16(－)) |B)＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))B）,P（B）) ，P( eq \o(A,\s\up16(－)) | eq \o(B,\s\up16(－)) )＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))\o(B,\s\up16(－))）,P（\o(B,\s\up16(－))）) ， 若A，B相互独立，则P( eq \o(A,\s\up16(－)) |B)＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))B）,P（B）) ＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))）P（B）,P（B）) ＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )， P( eq \o(A,\s\up16(－)) | eq \o(B,\s\up16(－)) )＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))\o(B,\s\up16(－))）,P（\o(B,\s\up16(－))）) ＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))）P（\o(B,\s\up16(－))）,P（\o(B,\s\up16(－))）) ＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )， 故P( eq \o(A,\s\up16(－)) |B)＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) | eq \o(B,\s\up16(－)) )，故充分性成立； 若P( eq \o(A,\s\up16(－)) |B)＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) | eq \o(B,\s\up16(－)) )，即 eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))B）,P（B）) ＝ eq \f(P（\o(A,\s\up16(－))\o(B,\s\up16(－))）,P（\o(B,\s\up16(－))）) ，则P( eq \o(A,\s\up16(－)) B)P( eq \o(B,\s\up16(－)) )＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) eq \o(B,\s\up16(－)) )P(B)， 即P( eq \o(A,\s\up16(－)) B)(1－P(B))＝(P( eq \o(A,\s\up16(－)) )－P( eq \o(A,\s\up16(－)) B))P(B)，故P( eq \o(A,\s\up16(－)) B)＝P( eq \o(A,\s\up16(－)) )P(B)，即 eq \o(A,\s\up16(－)) ，B相互独立，故A，B相互独立，故必要性成立， 故“A，B相互独立”是“P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)|B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\x\to(B))))) ”的充要条件． (2)因为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))|B)) ＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(3,4) ， 所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))B)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))|B)) P(B)＝ eq \f(1,3) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(1,4) ， 所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(B)P(A|B)＝P(A)＋P(B)·[1－P(A|B)]＝P(A)＋P(B)P( eq \o(A,\s\up16(－)) |B)＝P(A)＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(A,\s\up16(－))B)) ＝ eq \f(1,2) ＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(3,4) . 在条件概率的运算中，要注意以下性质的应用： (1)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A). (2)当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A). (3)如果P(A)>0，A与B独立，则P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(P（A）P（B）,P（A）) ＝P(B)成立． 【练3】 (2025·武汉模拟)已知随机事件A，B满足P(A)＝ eq \f(1,2) ，P(AB)＝ eq \f(3,8) ，则P( eq \x\to(B) |A)＝(　　) A． eq \f(1,4) B． eq \f(1,2) C． eq \f(3,4) D． eq \f(2,3) 解析：因为P(B|A)＝ eq \f(P（AB）,P（A）) ＝ eq \f(\f(3,8),\f(1,2)) ＝ eq \f(3,4) ， 所以P( eq \x\to(B) |A)＝1－P(B|A)＝1－ eq \f(3,4) ＝ eq \f(1,4) . 【练4】 (2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率．(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1) 解：(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). (2)设A＝{该地区一人患这种疾病的年龄位于区间[20，70)}，所以P(A)＝1－P( eq \x\to(A) )＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. (3)设B＝“任选一人年龄位于区间[40，50)”，C＝“从该地区中任选一人患这种疾病”， 则由已知得，P(B)＝16%＝0.16，P(C)＝0.1%＝0.001，P(B|C)＝0.023×10＝0.23， 则由条件概率公式可得，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，此人患这种疾病的概率为P(C|B)＝ eq \f(P（BC）,P（B）) ＝ eq \f(P（C）P（B|C）,P（B）) ＝ eq \f(0.001×0.23,0.16) ＝0.001 437 5≈0.001 4. 角度1　相互独立事件的判定 【例3】 设M，N为两个随机事件，给出以下命题：①若M，N为互斥事件，且P(M)＝ eq \f(1,5) ，P(N)＝ eq \f(1,4) ，则P(M∪N)＝ eq \f(9,20) ；②若P(M)＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ，则M，N为相互独立事件；③若P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(M,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ，则M，N为相互独立事件；④若P(M) ＝ eq \f(1,2) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(N,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ，则M，N为相互独立事件；⑤若P(M)＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(M∩N))) ＝ eq \f(5,6) ，则M，N为相互独立事件．其中正确命题的个数为______． 答案：4　 解析：若M，N为互斥事件，且P(M)＝ eq \f(1,5) ，P(N)＝ eq \f(1,4) ，则P(M∪N)＝ eq \f(1,5) ＋ eq \f(1,4) ＝ eq \f(9,20) ，故①正确； 若P(M)＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ， 则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故②正确； 若P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(M,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ，则P(M)＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(M,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(1,2) ，P(M∩N)＝P(M)·P(N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故③正确； 若P(M)＝ eq \f(1,2) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(N,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,6) ，当M，N为相互独立事件时，P(N)＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(N,\s\up16(－)))) ＝ eq \f(2,3) ，P(M∩N)＝ eq \f(1,2) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ，P(M∩N)≠P(M)·P(N)，所以M，N不是相互独立事件，故④错误； 若P(M)＝ eq \f(1,2) ，P(N)＝ eq \f(1,3) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(M∩N))) ＝ eq \f(5,6) ，则P(M∩N)＝P(M)·P(N)＝ eq \f(1,6) ，P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\x\to(M∩N))) ＝1－P(M∩N)， 由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故⑤正确． 故正确命题的个数为4. 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． 【练5】 (多选)盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝ “两个球颜色相同”， B＝ “第1次取出的是红球”， C＝ “第2次取出的是红球”， D＝ “两个球颜色不同”．则下列说法正确的是( 　　) A．A与B相互独立 B．A与D互为对立 C．B与C互斥 D．B与D相互独立 解析：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本事件， 事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件， A．由于P(A)＝ eq \f(4,12) ＝ eq \f(1,3) ，P(B)＝ eq \f(6,12) ＝ eq \f(1,2) ，P(A·B)＝ eq \f(2,12) ＝ eq \f(1,6) ，故P(A)·P(B)＝P(A·B)成立，所以A与B相互独立，故A正确； B．由于A∩D＝∅，A∪D＝Ω，故A与D是对立事件，故B正确； C．由于B∩C≠∅，故B与C不互斥，故C不正确； D．由于P(D)＝ eq \f(8,12) ＝ eq \f(2,3) ，P(B)＝ eq \f(1,2) ，P(B·D)＝ eq \f(4,12) ＝ eq \f(1,3) ，故P(B)·P(D)＝P(B·D)成立，所以B与D相互独立，故D正确． 角度2　相互独立事件的概率的计算 【例4】 某市为传播中华文化，举办中华文化知识选拔大赛．决赛阶段进行线上答题．题型分为选择题和填空题两种，每次答题相互独立．选择题答对得5分，否则得0分．填空题答对得4分，否则得0分．将得分逐题累加． (1)若小明直接做3道选择题，他做对这3道选择题的概率依次为 eq \f(4,5) ， eq \f(3,4) ， eq \f(2,3) .求他得分不低于10分的概率； (2)规定每人最多答3题，若得分高于7分，则通过决赛，立即停止答题，否则继续答题，直到答完3题为止．已知小红做对每道选择题的概率均为 eq \f(1,4) ，做对每道填空题的概率均为 eq \f(3,10) . 现有两种方案． 方案一：依次做一道选择题两道填空题； 方案二：做三道填空题． 请你推荐一种合理的方式给小红． 解：(1)记“他得分不低于10分”为事件A，则P(A)＝ eq \f(4,5) × eq \f(3,4) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3))) ＋ eq \f(4,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4))) × eq \f(2,3) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5))) × eq \f(3,4) × eq \f(2,3) ＋ eq \f(4,5) × eq \f(3,4) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,5) ＋ eq \f(2,15) ＋ eq \f(1,10) ＋ eq \f(2,5) ＝ eq \f(25,30) ＝ eq \f(5,6) . (2)记“方案一通过决赛”为事件B，则P(B)＝ eq \f(1,4) × eq \f(3,10) ＋ eq \f(1,4) ×(1－ eq \f(3,10) )× eq \f(3,10) ＋(1－ eq \f(1,4) )× eq \f(3,10) × eq \f(3,10) ＝ eq \f(3,40) ＋ eq \f(21,400) ＋ eq \f(27,400) ＝ eq \f(78,400) ＝ eq \f(39,200) ；记“方案二通过决赛”为事件C，则P(C)＝ eq \f(3,10) × eq \f(3,10) ＋ eq \f(3,10) ×(1－ eq \f(3,10) )× eq \f(3,10) ＋(1－ eq \f(3,10) )× eq \f(3,10) × eq \f(3,10) ＝ eq \f(9,100) ＋ eq \f(63,1 000) ＋ eq \f(63,1 000) ＝ eq \f(216,1 000) ＝ eq \f(27,125) ，因为P(C)>P(B)，所以推荐方案二给小红． 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． (2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 【练6】 在某次围棋比赛中，甲、乙两人进入最后决赛．比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜出的概率都为 eq \f(2,3) ，比赛不设平局，且各局比赛的胜负互不影响．在甲第一局胜出的情况下，甲获得冠军的概率为(　　) A． eq \f(4,9) B． eq \f(8,9) C． eq \f(5,27) D． eq \f(2,3) 解析：根据题意，分2种情况讨论： ①甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得冠军的概率为 eq \f(2,3) ； ②甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得冠军的概率为 eq \f(1,3) × eq \f(2,3) ＝ eq \f(2,9) . 故甲获得冠军的概率为 eq \f(2,3) ＋ eq \f(2,9) ＝ eq \f(8,9) . 【练7】 甲、乙二人做射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件．规则如下：若射击一次击中，则原射击人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击．已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为 eq \f(1,3) ，且第一次由甲开始射击，则第4次由甲射击的概率为________． 答案： eq \f(13,27) 　 解析：根据题意，第4次由甲射击分为4种情况： 甲连续射击3次且都击中； 第1次甲射击击中，但第2次没有击中，第3次由乙射击没有击中； 第1次甲射击没有击中，且乙射击第2次击中，但第3次没有击中； 第1次甲没有击中，且乙射击第2次没有击中，第3次甲射击击中， 所以这件事的概率为P＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))) eq \s\up12(3) ＋ eq \f(1,3) ×(1－ eq \f(1,3) )×(1－ eq \f(1,3) )＋(1－ eq \f(1,3) )× eq \f(1,3) ×(1－ eq \f(1,3) )＋(1－ eq \f(1,3) )×(1－ eq \f(1,3) )× eq \f(1,3) ＝ eq \f(13,27) . 【例5】 有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件零件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出2个零件． (1)求先取出的零件是一等品的概率； (2)求两次取出的零件均为一等品的概率．(结果保留两位小数) 解：(1)记事件Ai表示“任取的一箱为第i箱零件”，i＝1，2，3；记事件Bj表示“第j次取到的是一等品”，j＝1，2， 由题意得P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝ eq \f(1,3) ， P(B1|A1)＝ eq \f(20,50) ＝0.4，P(B1|A2)＝ eq \f(12,30) ＝0.4， P(B1|A3)＝ eq \f(24,40) ＝0.6， 由全概率公式得P(B1)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B1|A2)＋P(A3)P(B1|A3)＝ eq \f(1,3) ×(0.4＋0.4＋0.6)＝ eq \f(7,15) . (2)P(B1B2|A1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(20)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(50)) ) ＝ eq \f(38,245) ，P(B1B2|A2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(12)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(30)) ) ＝ eq \f(22,145) ，P(B1B2|A3)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(24)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(40)) ) ＝ eq \f(23,65) ， 由全概率公式得P(B1B2)＝P(A1)·P(B1B2|A1)＋P(A2)·P(B1B2|A2)＋P(A3)·P(B1B2|A3)＝ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(38,245)＋\f(22,145)＋\f(23,65))) ＝ eq \f(20 341,92 365) ≈0.22. 求一个复杂事件的概率，先把复杂事件表示为几个互斥事件的并，再由概率的加法公式和全概率公式求得． 【练8】 (2025·宿迁模拟)设甲袋中装有3个白球和4个红球，乙袋中装有1个白球和2个红球． (1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率； (2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率． 解：(1)依题意从7个球中取4个球有C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) 种取法， 其中4个球中恰好有2个红球，即恰好有2个红球、2个白球，有C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) 种取法， 所以4个球中恰好有2个红球的概率P＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) eq \f(CC eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) ,C eq \o\al(\s\up1(4),\s\do1(7)) ) ＝ eq \f(18,35) . (2)记事件A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，事件A2为“从乙袋中取出2个红球”，事件B为“从甲袋中取出2个红球”， 所以P(A1)＝eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ) ＝ eq \f(2,3) ，P(A2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ) ＝ eq \f(1,3) ， 所以P(B|A1)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)) ) ＝ eq \f(5,18) ，P(B|A2)＝eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) eq \f(C,C eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(9)) ) ＝ eq \f(5,12) ， 所以P(B)＝P(B|A1)·P(A1)＋P(B|A2)·P(A2)＝ eq \f(2,3) × eq \f(5,18) ＋ eq \f(1,3) × eq \f(5,12) ＝ eq \f(35,108) . $$