第4章 第6节 正弦定理、余弦定理及应用举例（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第四章　三角函数 第六节　正弦定理、余弦定理及应用举例 b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB a2＋b2－2abcosC 必备知识 基础落实 2RsinB 2RsinC 必备知识 基础落实 sinA∶sinB∶sinC 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × × √ × 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 AB 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 利用正弦、余弦定理解三角形 (自主练通) C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 正弦定理、余弦定理的应用(多维贯通) A B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 解三角形应用举例(多维贯通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（三十） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理． 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题． 1．正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R a2＝______________________； b2＝______________________； c2＝______________________ 定理 正弦定理 余弦定理 变形 a＝2R sin A， b＝________________， c＝________________； sin A＝ eq \f(a,2R) ， sin B＝ eq \f(b,2R) ， cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ； cos B＝ eq \f(c2＋a2－b2,2ac) ； cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 定理 正弦定理 余弦定理 变形 sin C＝ eq \f(c,2R) ； a∶b∶c＝ ___________________； a sin B＝b sin A， b sin C＝c sin B， a sin C＝c sin A cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ； cos B＝ eq \f(c2＋a2－b2,2ac) ； cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 2.三角形的面积公式 (1)S＝ eq \f(1,2) ah(h表示边a上的高). (2)S＝ eq \f(1,2) bc sin A＝_________＝ eq \f(1,2) ab sin C. (3)S＝ eq \f(1,2) r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径). eq \f(1,2) acsinB 3．测量中的几个有关术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 术语名称 术语意义 图形表示 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫作方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 术语名称 术语意义 图形表示 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝ eq \f(h,l) ＝tan θ 1．判断正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　) (2)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形．(　　) (3)在△ABC中， eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(a＋b－c,sin A＋sin B－sin C) .(　　) (4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　　) 2．(2025·南充高三三诊)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b2＝a2＋c2－ac，则B＝(　　) A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6) C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6) 解析：角A，B，C的对边分别是a，b，c， ac＝a2＋c2－b2，所以cos B＝ eq \f(a2＋c2－b2,2ac) ＝ eq \f(ac,2ac) ＝ eq \f(1,2) ，由于B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,3) . 3．(2025·丹东模拟)△ABC中，AC＝ eq \r(2) ，BC＝ eq \r(3) ，A＝60°，则cos B＝(　　) A．± eq \f(\r(2),2) B．± eq \f(1,2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(2),2) 解析：因为△ABC中，AC＝ eq \r(2) ，BC＝ eq \r(3) ，A＝60°， 所以由正弦定理 eq \f(BC,sin A) ＝ eq \f(AC,sin B) ，可得 eq \f(\r(3),\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(\r(2),sin B) ， 解得sin B＝ eq \f(\r(2),2) ， 因为AC<BC，B为锐角， 则cos B＝ eq \r(1－sin2B) ＝ eq \f(\r(2),2) . 4．(多选)(解三角形时漏解致误)在△ABC中，a＝ eq \r(3) ，b＝ eq \r(2) ，B＝45°，则角A为(　　) A．60° B．120° C．75° D．30° 解析：由正弦定理 eq \f(a,sinA) ＝ eq \f(b,sin B) ，得sin A＝ eq \f(\r(3),2) ，因为a＞b，所以A＝60°或A＝120°. 5．(2023·上海卷)已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝________． 答案： eq \f(\r(7),4) 　 解析：a＝4，b＝5，c＝6， 由余弦定理得，cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ＝ eq \f(25＋36－16,2×5×6) ＝ eq \f(3,4) ， 又∵A∈(0，π)， ∴sin A>0， ∴sin A＝ eq \r(1－cos2A) ＝ eq \r(1－（\f(3,4)）2) ＝ eq \f(\r(7),4) . 6．如图，测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C和D.现测得∠BCD＝75°，∠BDC＝45°，CD＝50 m，在点C 测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB为______m. 答案：50 eq \r(2) 　 解析：由题意，在△BCD 中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理可知 eq \f(50,sin 60°) ＝ eq \f(BC,sin 45°) ⇒ eq \f(50,\f(\r(3),2)) ＝ eq \f(BC,\f(\r(2),2)) ⇒BC＝ eq \f(50\r(6),3) . 在△ABC中，易知AB⊥BC，∠ACB＝60°，于是AB＝BC×tan 60°＝ eq \f(50\r(6),3) × eq \r(3) ＝50 eq \r(2) . 1．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝ eq \f(π,5) ，则B＝(　　) A． eq \f(π,10) B． eq \f(π,5) C． eq \f(3π,10) D． eq \f(2π,5) 解析：由a cos B－b cos A＝c得sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 得sin (A－B)＝sin C＝sin (A＋B)， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin A cos B＋sin B cos A， 即2sin B cos A＝0，得sin B cos A＝0， 在△ABC中，sin B≠0， ∴cos A＝0，即A＝ eq \f(π,2) ， 则B＝π－A－C＝π－ eq \f(π,2) － eq \f(π,5) ＝ eq \f(3π,10) . 2．如图，在△ABC中，∠BAC＝ eq \f(2π,3) ，点D在线段BC上，AD⊥AC， eq \f(BD,CD) ＝ eq \f(1,4) ，则cos C＝(　　) A． eq \f(3\r(21),14) B． eq \f(5\r(7),14) C． eq \f(\r(42),7) D． eq \f(2\r(7),7) 解析：在Rt△ACD中，AD＝CD·sin C＝4BD·sin C， 在△ABD中，∠BAD＝ eq \f(π,6) ，B＝ eq \f(π,3) －C， eq \f(BD,sin \f(π,6)) ＝ eq \f(AD,sin B) ＝ eq \f(4BD·sin C,sin （\f(π,3)－C）) ， 即 eq \f(\r(3),2) cos C－ eq \f(1,2) sin C＝2sin C， 所以tan C＝ eq \f(\r(3),5) ， 又 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2C＋cos2C＝1，,\f(sinC,cos C)＝\f(\r(3),5)，)) 且C∈(0， eq \f(π,2) )， 所以cos C＝ eq \f(5\r(7),14) . 3．(2025·安阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2b2－3c2－ac＝0，sin (A＋B)＝2sin A，则tan C＝________． 答案： eq \f(\r(3),2) 　 解析：因为sin (A＋B)＝2sin A， 即sin C＝2sin A，由正弦定理可得c＝2a， 又2b2－3c2－ac＝0，即2b2－12a2－2a2＝0，即b＝ eq \r(7) a， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，即cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(a2＋7a2－4a2,2\r(7)a2) ＝ eq \f(2\r(7),7) ， 所以sin C＝ eq \r(1－cos2C) ＝ eq \f(\r(21),7) ，所以tanC＝ eq \f(sin C,cos C) ＝ eq \f(\f(\r(21),7),\f(2\r(7),7)) ＝ eq \f(\r(3),2) . (1)正弦定理、余弦定理的一个作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素； (2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系． 角度1　判断三角形的形状 【例1】 (1)(2025·浙江模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin 2B＝2b sin B cos A，则△ABC的形状一定是(　　) A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 (2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：(1)由已知及正弦定理得2sin Asin Bcos B＝2sin2BcosA， 又在△ABC中，A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以tan A＝tan B，即A＝B， 故△ABC的形状一定是等腰三角形． (2)由正弦定理，得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin A＝sin2A， ∵A∈(0，π)，且sinA≠0， ∴sin A＝1，∴A＝ eq \f(π,2) ，故△ABC为直角三角形． 【变式探究】 本例(1)中的条件“a sin 2B＝2b·sin B·cos A ”改为“a2＋b2－c2＝ab且2cos A·sin B＝sin C”，则△ABC的形状如何？ 解：由正弦定理，得 eq \f(sin C,sin B) ＝ eq \f(c,b) ，由2cos A sin B＝sin C，得cos A＝ eq \f(sin C,2sin B) ＝ eq \f(c,2b) . 又由余弦定理，得cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ， ∴ eq \f(c,2b) ＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ，即c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b. 又∵a2＋b2－c2＝ab，∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2， ∴b＝c， ∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形． 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 【练1】 (2025·晋城模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2A＋c sinA＝sin Asin B＋b sin C，则该三角形的形状一定是(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形 解析：因为sin2A＋c sinA＝sin A sin B＋b sin C， 由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(b,sin B) ＝ eq \f(c,sin C) ＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)， 可得 eq \f(a,2R) ·sin A＋ eq \f(a,2R) ·c＝ eq \f(b,2R) ·sin A＋b· eq \f(c,2R) ， 所以a(sin A＋c)＝b(sin A＋c)， 又因为sin A＋c＞0，所以a＝b， 故△ABC为等腰三角形． 角度2　与三角形面积有关的问题 【例2】 (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ eq \r(2) cos B，a2＋b2－c2＝ eq \r(2) ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋ eq \r(3) ，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(\r(2),2) ， 又0<C<π，∴C＝ eq \f(π,4) . ∴ eq \r(2) cos B＝sin C＝ eq \f(\r(2),2) ， ∴cos B＝ eq \f(1,2) ， 又0<B<π， ∴B＝ eq \f(π,3) . (2)由(1)得A＝π－B－C＝ eq \f(5π,12) ， 由正弦定理 eq \f(a,sin A) ＝ eq \f(c,sin C) ，得 eq \f(a,\f(\r(2)＋\r(6),4)) ＝ eq \f(c,\f(\r(2),2)) ， ∴a＝ eq \f(1＋\r(3),2) c. ∴△ABC的面积S＝ eq \f(1,2) ac sin B＝ eq \f(1＋\r(3),4) c2× eq \f(\r(3),2) ＝3＋ eq \r(3) ， 得c＝2 eq \r(2) . 求三角形面积的方法 (1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积． (2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积． 【练2】 (2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝ eq \r(5) c，cos C＝ eq \f(3,5) . (1)求sin A的值； (2)若b＝11，求△ABC的面积． 解：(1)由cos C＝ eq \f(3,5) ，0<C<π，得sin C＝ eq \f(4,5) . 因为4a＝ eq \r(5) c， 由正弦定理知4sin A＝ eq \r(5) sin C， 则sin A＝ eq \f(\r(5),4) sin C＝ eq \f(\r(5),5) . (2)由4a＝ eq \r(5) c及余弦定理，得cos C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab) ＝ eq \f(a2＋121－\f(16,5)a2,22a) ＝ eq \f(11－\f(a2,5),2a) ＝ eq \f(3,5) ， 即a2＋6a－55＝0，解得a＝5，而sin C＝ eq \f(4,5) ，b＝11， 所以△ABC的面积S＝ eq \f(1,2) ab sin C＝ eq \f(1,2) ×5×11× eq \f(4,5) ＝22. 角度3　正、余弦定理的综合 【例3】 (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 eq \f(b2＋c2－a2,cos A) ＝2. (1)求bc； (2)若 eq \f(a cos B－b cos A,a cos B＋b cos A) － eq \f(b,c) ＝1，求△ABC的面积． 解：(1)在△ABC中，由余弦定理知cos A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) ， 代入 eq \f(b2＋c2－a2,cos A) ＝2，得2bc＝2， 故bc＝1. (2)由正弦定理及 eq \f(a cos B－b cos A,a cos B＋b cos A) － eq \f(b,c) ＝1， 得 eq \f(sin Acos B－sin Bcos A,sin Acos B＋sin Bcos A) － eq \f(sin B,sin C) ＝1， 化简得 eq \f(sin （A－B）,sin （A＋B）) － eq \f(sin B,sin C) ＝1. ∵A＋B＝π－C， ∴sin (A＋B)＝sin C， ∴sin (A－B)－sin B＝sin C＝sin (A＋B)， ∴sin A cos B－cos A sin B－sin B＝sin A cos B＋cos Asin B，∴－2cos A sin B＝sin B. ∵B∈(0，π)，∴sin B≠0， ∴cos A＝－ eq \f(1,2) . ∵A∈(0，π)，∴sin A＝ eq \r(1－cos2A) ＝ eq \f(\r(3),2) . 由(1)知bc＝1，故△ABC的面积S＝ eq \f(1,2) bc sin A＝ eq \f(1,2) ×1× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \f(\r(3),4) . 解三角形的综合问题，需充分考虑正弦定理、余弦定理及三角函数的有关公式． 【练3】 (2025·潍坊模拟)在△ABC 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b tan A＋b tan B＝ eq \f(\r(3)c,cos A) . (1)求角B； (2)D 是AC 边上的点，若CD＝1，AD＝BD＝3，求sin A的值． 解：(1)由b tan A＋b tan B＝ eq \f(\r(3)c,cos A) 得 eq \f(sin A,cos A) ＋ eq \f(sin B,cos B) ＝ eq \f(\r(3)c,b cos A) ， 由正弦定理得 eq \f(sin A,cos A) ＋ eq \f(sin B,cos B) ＝ eq \f(sin A cos B＋cos A sin B,cos A cos B) ＝ eq \f(sin （A＋B）,cos A cos B) ＝ eq \f(\r(3)sin C,sin B cos A) ， ∵sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，又C∈(0，π)， ∴sin C≠0， ∴sin B cos A＝ eq \r(3) cos A cos B. ∵tan A 有意义， ∴cos A≠0， ∴sin B＝ eq \r(3) cos B，即tan B＝ eq \r(3) ，又B∈(0，π)， ∴B＝ eq \f(π,3) . (2)∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD， 如图所示， 设∠ABD＝∠BAD＝θ，则∠BDC＝2θ， 在△ABC中，由正弦定理得 eq \f(BC,sin θ) ＝ eq \f(AC,sin ∠ABC) ， 即BC＝ eq \f(4sin θ,sin \f(π,3)) ＝ eq \f(8\r(3),3) sin θ. 在△BDC中，由余弦定理得BC2＝BD2＋CD2－2BD·CD cos 2θ＝10－6cos 2θ， ∴ eq \f(64,3) sin2θ＝10－6cos2θ＝10－6(1－2sin2θ)，解得sin2θ＝ eq \f(3,7) ， 即sin2A＝ eq \f(3,7) ，又A∈(0，π)，∴sinA＝ eq \f(\r(21),7) . 角度1　测量距离问题 【例4】 (2025·沈阳模拟)沈阳二中北校区坐落于风景优美的辉山景区，景区内的一泓碧水蜿蜒形成了一个“秀”字，故称“秀湖”．湖畔有秀湖阁(A)和临秀亭(B)两个标志性景点，如图．若为测量隔湖相望的A，B两地之间的距离，某同学任意选定了与A，B不共线的C 处，构成△ABC，以下是测量数据的不同方案： ①测量∠A，AC，BC； ②测量∠A，∠B，BC； ③测量∠C，AC，BC； ④测量∠A，∠C，∠B. 其中一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的是________．(填序号) 答案：②③　 解析：对于①，由正弦定理可得 eq \f(AC,sin B) ＝ eq \f(BC,sin A) ，则sin B＝ eq \f(AC sin A,BC) ， 若AC>BC 且∠A 为锐角，则sin B＝ eq \f(AC sin A,BC) >sin A，此时∠B 有两解，则∠C 也有两解，此时AB 也有两解； 对于②，若已知∠A，∠B，则∠C 确定，由正弦定理 eq \f(BC,sin A) ＝ eq \f(AB,sin C) 可知AB 唯一确定； 对于③，若已知∠C，AC，BC，由余弦定理可得AB＝ eq \r(AC2＋BC2－2AC·BC cos C) ，则AB 唯一确定； 对于④，若已知∠A，∠C，∠B，则AB 不确定． 角度2　测量高度问题 【例5】 (2025·湖南长郡中学模拟)如图所示，在某体育场上，写有专用字体“一”“起”“向”“未”“来”的五块高度均为2 m的标语牌正对看台(B点为看台底部)由近及远沿直线依次竖直摆放，分别记五块标语牌为P1Q1，P2Q2，…，P5Q5，且BQ1＝16 m．为使距地面6 m高的看台第一排A点处恰好能看到后四块标语牌的底部，则BQ5＝(　　) A．40.5 m B．54 m C．81 m D．121.5 m 解析：依题意 eq \f(4,16) ＝ eq \f(2,Q1Q2) ，解得Q1Q2＝8， eq \f(4,16＋8) ＝ eq \f(2,Q2Q3) ，解得Q2Q3＝12， eq \f(4,16＋8＋12) ＝ eq \f(2,Q3Q4) ，解得Q3Q4＝18， eq \f(4,16＋8＋12＋18) ＝ eq \f(2,Q4Q5) ，解得Q4Q5＝27， 所以BQ5＝16＋8＋12＋18＋27＝81. 角度3　测量角度问题 【例6】 (2024·北京通州一模)太阳高度角是太阳光线与地面所成的角(即太阳在当地的仰角).设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ 为此时太阳直射点纬度，φ 为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°－|φ－δ|.通州区某校学生科技社团尝试估测通州区当地纬度值(φ 取正值)，选择春分当日(δ＝0°)测算正午太阳高度角．他们将长度为1 m的木杆垂直立于地面，测量木杆的影长．分为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，测量结果如下： 组别 甲组 乙组 丙组 丁组 木杆影长度/m 0.82 0.80 0.83 0.85 则四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是(　　) A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组 解析：地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ 为此时太阳直射点纬度，φ 为当地纬度值，那么这三个量满足θ＝90°－|φ－δ|， 当δ＝0° 且φ 为正值，可得θ＝90°－φ，即φ＝90°－θ， 设木杆的影长为m，可得tan θ＝ eq \f(1,m) ， 因为甲、乙、丙、丁四个小组在同一场地进行，得到影长分别为0.82，0.80，0.83，0.85， 所以当m＝0.85 时，θ 取得最小值，此时φ 求得最大值， 所以四组中对通州区当地纬度估测值最大的一组是丁组． 解三角形的实际应用问题的类型及解题策略 求距离、高度问题 (1)选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 求角度问题 (1)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些角． (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用 【练4】 (2025·鹤岗模拟)某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为30(2－ eq \r(3) )m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是15°和30°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为15°，假设AB，CD和点M在同一平面内，则学校天文台CD的高度为________m. 答案：30　 解析：在Rt△ABM中，AM＝ eq \f(AB,sin 15°) ， 在△ACM中，∠CAM＝15°＋15°＝30°，∠AMC＝180°－15°－30°＝135°， ∠ACM＝180°－135°－30°＝15°， 由正弦定理得 eq \f(AM,sin ∠ACM) ＝ eq \f(MC,sin ∠CAM) ， 故MC＝ eq \f(sin ∠CAM,sin ∠ACM) ·AM＝ eq \f(sin 30°,sin 15°) · eq \f(AB,sin 15°) ＝ eq \f(\f(1,2)AB,sin215°) ＝ eq \f(\f(1,2)AB,\f(1－cos30°,2)) ＝ eq \f(2AB,2－\r(3)) . 在Rt△CDM中，CD＝MC·sin 30°＝ eq \f(AB,2－\r(3)) ＝30， 故学校天文台CD的高度为30 m． 【练5】 (2024·惠州一模)如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长200 mm，曲柄CB长70 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为________mm.(结果保留整数)(参考数据：sin 53.2°≈0.8) 答案：36　 解析：如图，在△ABC 中，AB＝200，BC＝70，∠ACB＝53.2°，sin ∠ACB≈ eq \f(4,5) ， 由正弦定理得，sin ∠BAC＝ eq \f(BC sin ∠ACB,AB) ＝ eq \f(7,25) ， ∵AB>BC，∴∠ACB>∠BAC，故∠BAC 为锐角， ∴cos ∠BAC＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(24,25) ， cos ∠ACB＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3,5) ， ∴sin ∠ABC＝sin (∠ACB＋∠BAC)＝ eq \f(4,5) × eq \f(24,25) ＋ eq \f(3,5) × eq \f(7,25) ＝ eq \f(117,125) ， ∴AC＝ eq \f(AB sin ∠ABC,sin ∠ACB) ＝200× eq \f(117,125) × eq \f(5,4) ＝234， 故A0A＝(A0B0＋B0C)－AC＝(200＋70)－234＝36(mm). 故曲柄CB0 按顺时针方向旋转53.2° 时活塞移动的距离约为36 mm. 【练6】 (2025·大连模拟)如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛 B位于小岛A 北偏东75° 距离60海里处，小岛B北偏东15° 距离(30 eq \r(3) －30)海里处有一个小岛C. (1)求小岛A与小岛C之间的距离； (2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛 C，求游船航行的方向． 解：(1)在△ABC 中，AB＝60，BC＝30 eq \r(3) －30， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝602＋(30 eq \r(3) －30)2－2×60×(30 eq \r(3) －30)×cos 120°＝5 400，所以AC＝30 eq \r(6) .所以小岛A与小岛 C之间的距离是30 eq \r(6) 海里． (2)由正弦定理得 eq \f(AC,sin ∠ABC) ＝ eq \f(AB,sin ∠ACB) ， ∴ eq \f(30\r(6),sin 120°) ＝ eq \f(60,sin ∠ACB) ，解得sin ∠ACB＝ eq \f(\r(2),2) ， 在△ABC 中，∵BC<AC，∴∠ACB 为锐角， ∴∠ACB＝45°， ∴∠CAB＝180°－120°－45°＝15°. 由75°－15°＝60° 得游船应该沿北偏东60°的方向航行． $$