第4章 第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第四章　三角函数 第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式 必备知识 基础落实 sinα cosα cosα －cosα sinα －sinα －tanα 必备知识 基础落实 × × × × 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 诱导公式及应用(自主练通) C 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 同角三角函数基本关系的应用 (多维贯通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（二十五） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，tanα＝ eq \f(sin α,cos α) . 2．借助单位圆的对称性，利用定义推导出 eq \f(π,2) ±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R). (2)商数关系：tanα＝ eq \f(sin α,cos α) (α≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z). 2．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α eq \f(π,2) －α eq \f(π,2) ＋α sin α －sin α －sin α _______ _______ _______ cos α －cos α cos α _______ _______ _______ tan α tan α －tan α _______ — — 1．判断正误 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　) (2)若α∈R，则tanα＝ eq \f(sin α,cos α) 恒成立．(　　) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　) (4)若sin (kπ－α)＝ eq \f(1,3) (k∈Z)，则sin α＝ eq \f(1,3) .(　　) 2．若sin α＝ eq \f(\r(5),5) ， eq \f(π,2) <α<π，则tan α＝(　　) A．－2 B．2 C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2) 解析：∵ eq \f(π,2) <α<π，∴cos α＝－ eq \r(1－sin2α) ＝－ eq \f(2\r(5),5) ，∴tanα＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(1,2) . 3．已知sin ( eq \f(π,4) ＋α)＝ eq \f(2,3) ，则 cos ( eq \f(π,4) －α)的值等于(　　) A．－ eq \f(2,3) B． eq \f(2,3) C． eq \f(\r(5),3) D．± eq \f(\r(5),3) 解析：因为 eq \f(π,4) ＋α 与 eq \f(π,4) －α 互余，所以 cos ( eq \f(π,4) －α)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α)) ＝ eq \f(2,3) . 4．(2025·南宁模拟)已知sin α－3cos α＝0，则3sin α·cos α＝(　　) A． eq \f(9,10) B．－ eq \f(9,10) C． eq \f(10,9) D．－ eq \f(10,9) 解析：由已知得tan α＝3，所以3sin α·cos α＝ eq \f(3sin α·cos α,sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(3tanα,tan2α＋1) ＝ eq \f(9,10) . 5．(2024·阳泉二模)已知sinα＋cos α＝ eq \f(\r(6),3) ，0<α<π，则sin α－cos α＝(　　) A．－ eq \f(2\r(3),3) B． eq \f(2\r(3),3) C．－ eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(3),3) 解析：因为sin α＋cos α＝ eq \f(\r(6),3) ，所以(sin α＋cos α)2＝ eq \f(2,3) ，即sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝ eq \f(2,3) ， 所以2sinαcos α＝－ eq \f(1,3) . 因为0<α<π，所以cos α<0<sin α，所以sin α－cos α>0. 因为(sin α－cos α)2＝sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝1＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(4,3) ， 所以sinα－cos α＝ eq \f(2\r(3),3) .故选B. 6．(对诱导公式理解不对致误)若sin ( eq \f(π,6) －α)＝ eq \f(1,3) ，则cos ( eq \f(2π,3) ＋2α)＝________． 答案：－ eq \f(7,9) 　 解析：cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α)))))) ＝－cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2α)) ＝－1＋2sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α)) ＝－ eq \f(7,9) . 1.(2025·福州模拟)点A(sin2 024°，cos 2 024°)在直角坐标平面上位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：sin 2 024°＝sin 224°＝－sin 44°＜0，cos 2 024°＝cos 224°＝－cos 44°＜0.即点A在直角坐标平面上位于第三象限． 2．(2024·吉安高三一模)已知cos ( eq \f(3π,2) ＋α)＝－ eq \f(3,5) ，且α是第四象限角，则cos (－3π＋α)的值为(　　) A． eq \f(4,5) B．－ eq \f(4,5) C．± eq \f(4,5) D． eq \f(3,5) 解析：由已知cos ( eq \f(3π,2) ＋α)＝－ eq \f(3,5) ，可得：sin α＝－ eq \f(3,5) ，又α是第四象限角，则cos α＝ eq \r(1－sin2α) ＝ eq \f(4,5) ，所以cos(－3π＋α)＝－cos α＝－ eq \f(4,5) . 3．(2024·安康高三二模)已知sin ( eq \f(π,3) ＋θ)＝ eq \f(1,4) ，－ eq \f(π,2) <θ< eq \f(π,6) ，则sin ( eq \f(5π,6) ＋θ)＝(　　) A．－ eq \f(1,4) B．－ eq \f(\r(15),4) C． eq \f(\r(15),4) D． eq \f(1,4) 解析：∵sin ( eq \f(5π,6) ＋θ)＝sin ( eq \f(π,3) ＋θ＋ eq \f(π,2) ) ＝cos ( eq \f(π,3) ＋θ)， ∵－ eq \f(π,2) <θ< eq \f(π,6) ， ∴－ eq \f(π,6) < eq \f(π,3) ＋θ< eq \f(π,2) 且sin ( eq \f(π,3) ＋θ)＝ eq \f(1,4) >0， ∴cos ( eq \f(π,3) ＋θ)＝ eq \r(1－（\f(1,4)）2) ＝ eq \f(\r(15),4) . 1.利用诱导公式解题的一般思路 (1)化绝对值大的角为锐角． (2)角中含有± eq \f(π,2) 的整数倍时，用公式去掉 eq \f(π,2) 的整数倍． 2.常见的互余和互补的角 互余的角 eq \f(π,3) －α与 eq \f(π,6) ＋α； eq \f(π,3) ＋α与 eq \f(π,6) －α； eq \f(π,4) ＋α与 eq \f(π,4) －α 互补的角 eq \f(π,3) ＋θ与 eq \f(2π,3) －θ； eq \f(π,4) ＋θ与 eq \f(3π,4) －θ 角度1　知弦求切 【例1】 (2024·福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈( eq \f(π,2) ，π)，则tan α＝________． 答案：－2 eq \r(2) 　 解析：因为3sin α·tan α＋8＝0，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) ，所以 eq \f(3（1－cos2α）,cosα) ＋8＝0， 整理可得3cos2α－8cosα－3＝0，解得cos α＝－ eq \f(1,3) 或cos α＝3(舍去). 所以sin α＝ eq \r(1－cos2α) ＝ eq \f(2\r(2),3) ，所以tanα＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－2 eq \r(2) . 【变式探究】 若本例的条件改为“ eq \f(sin α,1＋cos α) ＝2，α∈( eq \f(π,2) ，π)”．求tan α的值． 解：因为 eq \f(sin α,1＋cos α) ＝2，所以sin α＝2＋2cos α. 两边平方，得sin2α＝4＋8cosα＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cosα＋4cos2α， 整理得，5cos2α＋8cosα＋3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝－ eq \f(3,5) . 当cos α＝－1时，1＋cos α＝0， eq \f(sin α,1＋cos α) 无意义； 当cos α＝－ eq \f(3,5) 时，sin α＝ eq \f(4,5) ， 所以tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ＝－ eq \f(4,3) . (1)同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三角函数值，主要利用商数关系 eq \f(sin α,cos α) ＝tan α eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)) 和平方关系1＝sin2α＋cos2α. (2)在弦切互化时，要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号． 【练1】(2024·赣州一模)若α为锐角，tan α＝ eq \f(1,cos 2α＋1) ，则tan α＝(　　) A． eq \f(1,2) B．1 C．2－ eq \r(3) D． eq \r(3) 解析：∵α为锐角，∴cos α≠0， ∴tan α＝ eq \f(1,cos 2α＋1) ＝ eq \f(1,2cos2α－1＋1) ＝ eq \f(1,2cos2α) ＝ eq \f(sin2α＋cos2α,2cos2α) ＝ eq \f(1,2) tan2α＋ eq \f(1,2) ， 即tan2α－2tanα＋1＝0， 解得tan α＝1. 角度2　知切求弦 【例2】 已知 eq \f(tan α,tan α－1) ＝－1，求下列各式的值： (1) eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ；(2)sin2α＋sinαcos α＋2. 解：由已知得tan α＝ eq \f(1,2) . (1) eq \f(sin α－3cos α,sin α＋cos α) ＝ eq \f(tan α－3,tan α＋1) ＝－ eq \f(5,3) . (2)sin2α＋sinαcos α＋2＝ eq \f(sin2α＋sinαcos α,sin2α＋cos2α) ＋2＝ eq \f(tan2α＋tanα,tan2α＋1) ＋2＝ eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2)＋1) ＋2＝ eq \f(13,5) . 利用“切弦互化”的技巧 (1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的结构形式，统一转化为正切的表达式，进行求值． 常见的结构： ①sinα，cos α的齐次式(如a sin2α＋b sinαcos α＋c cos2α)； ②sinα，cos α的齐次分式(如 eq \f(a sin α＋b cos α,c sin α＋d cos α) ). (2)切化弦：利用公式tan α＝ eq \f(sin α,cos α) ，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般单独出现正切、余切时，采用此技巧． 【练2】 (2025·白山高三模拟)已知tan θ＝2，则sin θsin ( eq \f(3π,2) ＋θ)＝(　　) A． eq \f(3,5) B． eq \f(1,2) C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(2,5) 解析：sin θsin ( eq \f(3π,2) ＋θ)＝－sin θcos θ＝－ eq \f(sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ) ＝－ eq \f(tanθ,tan2θ＋1) ＝－ eq \f(2,5) . 角度3　和积转化求值 【例3】已知sin θ＋cos θ＝ eq \f(7,13) ，θ∈(0，π)，则tan θ＝________. 答案：－ eq \f(12,5) 　 解析：方法一　由sin θ＋cos θ＝ eq \f(7,13) ，得sin θcos θ＝－ eq \f(60,169) . 因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝ eq \r(1－2sin θcos θ) ＝ eq \f(17,13) ， 联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＋cos θ＝\f(7,13)，,sin θ－cos θ＝\f(17,13)，)))) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(sin θ＝\f(12,13)，,cos θ＝－\f(5,13)，)))) 所以tan θ＝－ eq \f(12,5) . 方法二　因为sin θ＋cos θ＝ eq \f(7,13) ， 所以sin θcos θ＝－ eq \f(60,169) ， 由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x2－ eq \f(7,13) x－ eq \f(60,169) ＝0的两根，所以x1＝ eq \f(12,13) ，x2＝－ eq \f(5,13) . 又sin θcos θ＝－ eq \f(60,169) <0，θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0. 所以sin θ＝ eq \f(12,13) ，cos θ＝－ eq \f(5,13) . 所以tan θ＝ eq \f(sin θ,cos θ) ＝－ eq \f(12,5) . 方法三　由sin θ＋cos θ＝ eq \f(7,13) ，得sin θcos θ＝－ eq \f(60,169) ， 所以 eq \f(sin θcos θ,sin2θ＋cos2θ) ＝－ eq \f(60,169) . 齐次化切，得 eq \f(tanθ,tan2θ＋1) ＝－ eq \f(60,169) ， 即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，解得tan θ＝－ eq \f(12,5) 或tan θ＝－ eq \f(5,12) . 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝ eq \f(7,13) >0，sin θcos θ＝－ eq \f(60,169) <0， 所以θ∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) ，所以tan θ＝－ eq \f(12,5) . 正弦、余弦“sin α±cos α，sin α·cos α”的应用 sin α±cos α与sin α·cos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝ eq \f(（sin α＋cos α）2－1,2) ＝ eq \f(1－（sin α－cos α）2,2) .因此在解题中已知1个可求另外2个． 【练3】 (多选)(2024·沈阳一模)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝ eq \f(1,5) ，则(　　 ) A.θ∈( eq \f(π,2) ，π) B．cos θ＝－ eq \f(3,5) C．tan θ＝－ eq \f(3,4) D．sin θ－cos θ＝ eq \f(7,5) 解析：∵sin θ＋cos θ＝ eq \f(1,5) ，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝ eq \f(1,25) ，即2sin θcos θ＝－ eq \f(24,25) ， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，∴θ∈( eq \f(π,2) ，π)， ∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝ eq \f(49,25) ， ∴sin θ－cos θ＝ eq \f(7,5) ， 故sin θ＝ eq \f(4,5) ，cos θ＝－ eq \f(3,5) ，故tan θ＝－ eq \f(4,3) . $$