第3章 第1节 导数的概念与运算（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第三章　导数及其应用 第一节　导数的概念与运算 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 0 cosx －sinx 必备知识 基础落实 axlna ex 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × × √ × × 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 导数的计算(自主练通) ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 导数的几何意义(多维贯通) C 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（十六） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1．了解导数概念的实际背景． 2．通过函数图象直观理解导数的几何意义． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数． 1．导数 设函数y＝f(x)在包含x0的某个区间上有定义，在d趋近于0时，如果比值 eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d) 趋近于一个确定的极限值，则称此极限值为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数或微商，记作f′(x0).这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微． 上述定义可以简单地表述为： eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d) →f′(x0)(d→0)，读作“d趋近于0时， eq \f(f（x0＋d）－f（x0）,d) 趋近于f′(x0)”． 2．导数的几何意义 当函数y＝f(x)表示曲线方程时，其导数f′(x)的几何意义就是该曲线在点(x，f(x))处的切线的斜率． 函数y＝f(x)的图象在点(x0，f(x0))处的切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 3．导函数 若y＝f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f′(x)(或y′)也是x的函数，我们把f′(x)(或y′)叫作y＝f(x)的导函数或一阶导数． 若f′(x)在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f″(x).类似地，可以定义三阶导数f‴(x)等等． 4．导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝__ f(x)＝xα(α≠0) f′(x)＝______ f(x)＝sin x f′(x)＝_________ f(x)＝cos x f′(x)＝____________ αxα－1 基本初等函数 导函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1) f′(x)＝__________ f(x)＝ex f′(x)＝____ f(x)＝logax(a＞0，a≠1) f′(x)＝_____ f(x)＝ln x f′(x)＝__ f(x)＝tan x f′(x)＝______ eq \f(1,x ln a) eq \f(1,x) eq \f(1,cos2x) 5.导数的运算法则 (1)函数常数倍的导数：(cf(x))′＝cf′(x). (2)两函数之和的求导法则：(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x). (3)两函数之差的求导法则：(f(x)－g(x))′＝f′(x)－g′(x). (4)函数乘积的求导法则：(f(x)g(x))′＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x). (5)函数的倒数的求导法则：( eq \f(1,f（x）) )′＝－ eq \f(f′（x）,（f（x））2) (f(x)≠0). (6)两函数之商的求导法则：( eq \f(g（x）,f（x）) )′＝ eq \f(f（x）g′（x）－f′（x）g（x）,（f（x））2) (f(x)≠0). 6．复合函数的导数 对于复合函数y＝F(x)＝f(g(x))，记u＝g(x)，则F′(x)＝f′(u)·g′(x)，也可以记作​________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′x＝y′u·u′x 1．判断正误 (1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(　　) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0).(　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cos x．(　　) 2．已知f′(4)＝3，则 eq \f(f（4＋Δx）－f（4）,Δx) ＝(　　) A．－3 B．3 C．－4 D．4 解析： eq \f(f（4＋Δx）－f（4）,Δx) ＝f′(4)＝3.故选B. 3．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 解析：由题图可知，y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，则y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处斜率相同，且y＝g(x)的导数越来越大，y＝f(x)的导数越来越小，故排除A，B，C. 4．已知f(x)＝ eq \r(x＋4) ，则f′(x)＝(　　) A． eq \r(x＋4) B．2 eq \r(x＋4) C． eq \f(1,\r(x＋4)) D． eq \f(1,2\r(x＋4)) 解析：f(x)＝ eq \r(x＋4) ＝(x＋4) eq \s\up16(\f(1,2))， 则f′(x)＝ eq \f(1,2) (x＋4)－ eq \s\up16(\f(1,2))＝ eq \f(1,2\r(x＋4)) .故选D. 5．已知函数f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)，则f′(1)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．3 解析：因为f(x)＝ln (2x－1)＋3xf′(1)， 所以f′(x)＝ eq \f(2,2x－1) ＋3f′(1)， 令x＝1，可得f′(1)＝ eq \f(2,2×1－1) ＋3f′(1)，解得f′(1)＝－1. 故选B. 6．(忽视切点的位置致误)已知曲线f(x)＝2x3－3x，过点M(0，32)作曲线f(x)的切线，则切线方程为________． 答案：y＝21x＋32　 解析：设切点坐标为N(x0，2x eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(0)) －3x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝6x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －3， 故切线方程为y＝(6x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －3)x＋32，又因为点N在切线上， 所以2x eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(0)) －3x0＝(6x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) －3)x0＋32， 解得x0＝－2，所以切线方程为y＝21x＋32. 1.(多选)下列求导运算正确的是(　 　) A．(ex)′＝ex B．(ln x＋ eq \f(3,x) )′＝ eq \f(1,x) － eq \f(3,x2) C．( eq \f(sin x,x) )′＝ eq \f(x cos x＋sin x,x2) D．(3x sin 2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x) 解析：对于A，根据导数公式表可知(ex)′＝ex，即A正确； 对于B，易知(ln x＋ eq \f(3,x) )′＝(ln x＋3x－1)′＝ eq \f(1,x) ＋3×(－1)x－1－1＝ eq \f(1,x) － eq \f(3,x2) ，所以B正确； 对于C，利用求导的除法法则可知( eq \f(sin x,x) )′＝ eq \f(（sin x）′x－sin x·（x）′,x2) ＝ eq \f(x cos x－sin x,x2) ，即C错误； 对于D，利用复合函数求导及乘法运算法则得(3x sin 2x)′＝(3x)′sin 2x＋3x(sin 2x)′＝3x ln 3·sin 2x＋3x cos 2x·(2x)′＝3x(ln 3·sin 2x＋2cos 2x)，所以D正确． 2．若函数f(x)＝eax＋ln (x＋1)，f′(0)＝4，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：由f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝eax＋ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) ，得f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝aeax＋ eq \f(1,x＋1) ， 又f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0)) ＝4，所以f′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0)) ＝a＋1＝4，则a＝3. 3．设函数f(x)可导且f(x)在x0处的导数值为1，则 eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,3Δx) ＝________． 答案： eq \f(1,3) 　 解析：依题意，f′(x0)＝1， 所以 eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,3Δx) ＝ eq \f(1,3) eq \f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx) ＝ eq \f(1,3) f′(x0)＝ eq \f(1,3) . 4．已知函数f(x)＝ex sin 2x，则f′( eq \f(π,2) )＝________． 答案：－2e eq \s\up16(\f(π,2)) 　 解析：由于f′(x)＝(ex)′·sin 2x＋ex·(sin 2x)′＝ex(sin 2x＋2cos 2x)， 所以f′( eq \f(π,2) )＝e eq \s\up16(\f(π,2)) (sin π＋2cos π)＝－2e eq \s\up16(\f(π,2)) . (1)求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导． (2)常见形式及具体求导6种方法 连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导 复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元 角度1　求曲线的切线方程 【例1】 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝ eq \f(ex,x＋1) 在点(1， eq \f(e,2) )处的切线方程为(　　) A．y＝ eq \f(e,4) x B．y＝ eq \f(e,2) x C．y＝ eq \f(e,4) x＋ eq \f(e,4) D．y＝ eq \f(e,2) x＋ eq \f(3e,4) (2)(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝ eq \f(ex＋2sin x,1＋x2) ，则曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A． eq \f(1,6) B． eq \f(1,3) C． eq \f(1,2) D． eq \f(2,3) 解析：(1)因为y＝ eq \f(ex,x＋1) ，y′＝ eq \f(ex（x＋1）－ex（x＋1）′,（x＋1）2) ＝ eq \f(xex,（x＋1）2) ， 故函数在点(1， eq \f(e,2) )处的切线斜率k＝ eq \f(e,4) ，切线方程为y－ eq \f(e,2) ＝ eq \f(e,4) (x－1)，即y＝ eq \f(e,4) x＋ eq \f(e,4) .故选C. (2)f′(x)＝ eq \f(（ex＋2cos x）（1＋x2）－（ex＋2sin x）·2x,（1＋x2）2) ，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，(－ eq \f(1,3) ，0)，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 eq \f(1,2) ×1× eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,6) ，故选A. 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0). (2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过点P′(x1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)·(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 【练1】 过点P(1，4)作曲线y＝ eq \f(2,x－1) 的切线，则切线方程为________． 答案：2x＋y－6＝0　 解析：由题意得点P(1，4)不在曲线上，设切点M(m，n)，且m≠1，则n＝ eq \f(2,m－1) ①， 又y′＝ eq \f(－2,（x－1）2) ，则切线斜率为k＝ eq \f(－2,（m－1）2) ＝ eq \f(4－n,1－m) ②， 联立①②得n＝2，m＝2，即M(2，2)， 切线的斜率为k＝ eq \f(－2,（2－1）2) ＝－2， 故切线方程为y－2＝－2(x－2)， 即2x＋y－6＝0. 【练2】 过点(3，0)作曲线f(x)＝xex的两条切线，切点分别为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，则x1＋x2＝(　　) A．－3 B．－ eq \r(3) C． eq \r(3) D．3 解析：因为f(x)＝xex，所以f′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0ex0)， 所以f′(x0)＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)， 所以－x0ex0＝(x0＋1)ex0(3－x0)，即(－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋3x0＋3)·ex0＝0. 依题意关于x0的方程(－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋3x0＋3)ex0＝0有两个不同的解x1，x2， 即关于x0的方程－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋3x0＋3＝0有两个不同的解x1，x2，所以x1＋x2＝3. 角度2　求参数问题 【例2】 (1)(2025·长沙模拟)已知P是曲线C：y＝ln x＋x2＋( eq \r(3) －a)x上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为θ，若 eq \f(π,3) ≤θ< eq \f(π,2) ，则实数a的取值范围是(　　) A．[2 eq \r(3) ，0) B．[2 eq \r(2) ，0) C．(－∞，2 eq \r(3) ] D．(－∞，2 eq \r(2) ] (2)(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________. 答案：(1)D　(2)(－∞，－4)∪(0，＋∞)　 解析：(1)因为y＝ln x＋x2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－a)) x，所以y′＝ eq \f(1,x) ＋2x＋ eq \r(3) －a. 因为曲线在P点处的切线的倾斜角θ∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) ，所以y′≥tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) 对于任意的x>0恒成立， 即 eq \f(1,x) ＋2x＋ eq \r(3) －a≥ eq \r(3) 对任意x>0恒成立，即a≤2x＋ eq \f(1,x) ， 又2x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(2) ，当且仅当2x＝ eq \f(1,x) ， 即x＝ eq \f(\r(2),2) 时，等号成立，故a≤2 eq \r(2) ， 所以a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，2\r(2))) . (2)因为y＝(x＋a)ex， 所以y′＝(x＋1＋a)ex. 设切点为(x0，y0)，则y0＝(x0＋a)ex0， 切线斜率k＝(x0＋1＋a)ex0， 切线方程为y－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)ex0(x－x0)， 因为切线过原点，所以－(x0＋a)ex0＝(x0＋1＋a)·ex0(－x0)，整理得x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) ＋ax0－a＝0. 因为切线有两条，所以Δ＝a2＋4a＞0， 解得a＜－4或a＞0， 所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞). 1.利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 【练3】 若曲线y＝(x＋1)ex过点P(a，0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－5)∪(－1，＋∞)　 解析：y′＝(x＋2)ex，设切点(t，(t＋1)et)，则切线的斜率为k＝(t＋2)et， 故切线方程为y＝(t＋2)etx＋(－t2－t＋1)et， 将x＝a，y＝0代入， 得[a(t＋2)＋(－t2－t＋1)]et＝0， ∵et≠0，∴－t2＋(a－1)t＋2a＋1＝0有两个不等实根， 故Δ＝(a－1)2＋4(2a＋1)＝a2＋6a＋5＞0，解得a＞－1或a＜－5. 角度3　两条曲线的公切线问题 【例3】 已知直线l：y＝kx＋b是函数f(x)＝ax2(a>0)与函数g(x)＝ex的公切线，若(1，f(1))是直线l与函数f(x)相切的切点，则a＝________． 答案： eq \f(1,2)e eq \s\up16(\f(3,2)) 　 解析：∵f(x)＝ax2(a>0)， ∴f′(x)＝2ax， ∵(1，f(1))是直线l与函数f(x)相切的切点， ∴k＝f′(1)＝2a，f(1)＝a， ∴a＝2a＋b， ∴b＝－a， 即直线l的方程为y＝2ax－a. ∵g(x)＝ex， ∴g′(x)＝ex， 设y＝2ax－a与g(x)＝ex的切点坐标为(x0，y0)， ∴k＝ex0，y0＝ex0， ∴切线方程为y－ex0＝k(x－x0)， 即y＝ex0x－ex0x0＋ex0， ∴2a＝ex0，－a＝－ex0x0＋ex0， 解得x0＝ eq \f(3,2) ， ∴2a＝e eq \s\up16(\f(3,2)) ， ∴a＝ eq \f(1,2)e eq \s\up16(\f(3,2)) . 解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝ eq \f(f（x1）－g（x2）,x1－x2) . 【练4】 (2024·兰州二模)已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝x2＋ax(a∈R)，若经过点A(0，－1)存在一条直线l与f(x)图象和g(x)图象都相切，则a＝(　　) A.0 B．－1 C．3 D．－1或3 解析：设直线l与f(x)＝x ln x相切的切点为(m，m ln m)，由f(x)＝x ln x的导数为f′(x)＝1＋ln x，可得切线的斜率为1＋ln m，则切线的方程为y－m ln m＝(1＋ln m)(x－m)，将A(0，－1)代入切线的方程可得－1－m ln m＝(1＋ln m)(0－m)，解得m＝1，则切线l的方程为y＝x－1，联立 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y＝x2＋ax，)) 可得x2＋(a－1)x＋1＝0，由Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. $$