第2章 第7节 函数图象（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第七节　函数图象 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 × × × √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 作函数的图象(自主练通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 函数图象的判断与辨析(讲练融通) D 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 利用函数的图象研究函数的 性质(多维贯通) C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（十三） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 2．会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题． 1．利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线． 首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等). 其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 (2)对称变换 y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象． 写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． (3)翻折变换 y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象； y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象． (4)伸缩变换 1．判断正误 (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同．(　　) (3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　) (4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (5)将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f(－x－1)的图象．(　　) 2．(2025·黔东南州高三期中)函数y＝ eq \f(xax,|x|) (a>1)的图象的大致形状是(　　) 解析：f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax（x>0），,－ax（x<0），)) ∴当x>0时，图象与y＝ax(a>1)在第一象限的图象一样， 当x<0时，图象与y＝ax(a>1)的图象关于x轴对称． 3．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 解析：从f(x)变成y＝－f(x＋1)，应先将f(x)向左平移1个单位长度，再关于x轴对称，故选C. 4．已知函数f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则函数g(x)＝(x－a)(x－b)的大致图象为(　　) 解析：函数f(x)＝ax＋b的图象是由函数y＝ax的图象向下或向上平移|b|个单位长度得到的，由函数f(x)＝ax＋b的图象可得函数f(x)为单调递减函数，则0<a<1， 令x＝0，得b＋1∈(－1，0)，则b∈(－2，－1)， 则函数g(x)＝(x－a)(x－b)的大致图象为A选项． 5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________． 答案：(0，＋∞)　 解析：在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示．由图象知，当a>0时，两函数图象有两个交点，即方程|x|＝a－x只有一个解． 6．(忽视复合函数中间变量的范围致误)已知函数f(x)在R上单调且其部分图象如图所示，若不等式－2<f(x＋t)<4的解集为(－1，2)，则实数t的值为________． 答案：1　 解析：由图象可知不等式－2<f(x＋t)<4，即为f(3)<f(x＋t)<f(0)， 又y＝f(x)在R上单调递减，故x＋t∈(0，3)， 即不等式的解集为(－t，3－t)，依题意可得t＝1. 作出下列函数的图象． (1)y＝( eq \f(1,2) )|x|；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝ eq \f(2x－1,x－1) ；(4)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)作出y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) (x≥0)的图象，再将y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) (x≥0)y轴右侧的图象以y轴为对称轴翻折到y轴的左侧，即得y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x|) 的图象，如图中实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图中实线部分． (3)因为y＝ eq \f(2x－1,x－1) ＝2＋ eq \f(1,x－1) ，故函数图象可由y＝ eq \f(1,x) 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图. (4)因为y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，)) 且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图． 图象变换法作函数的图象 (1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋ eq \f(1,x) 的函数． (2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序． 【例1】 (1)(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ eq \f(5（ex－e－x）,x2＋2) B．f(x)＝ eq \f(5sin x,x2＋1) C．f(x)＝ eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2) D．f(x)＝ eq \f(5cos x,x2＋1) (2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3，3]的大致图象，则该函数是(　　) A．y＝ eq \f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝ eq \f(x3－x,x2＋1) C．y＝ eq \f(2x cos x,x2＋1) D．y＝ eq \f(2sin x,x2＋1) 解析：(1)由图象可知，函数f(x)图象关于y轴对称，为偶函数，故A，B错误， eq \f(5（ex＋e－x）,x2＋2) 恒大于0，与图象不符合，故C错误．故选D. (2)设f(x)＝ eq \f(x3－x,x2＋1) ，则f(1)＝0，故排除B； 设h(x)＝ eq \f(2x cos x,x2＋1) ，当x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) 时，0<cos x<1， 所以h(x)＝ eq \f(2x cos x,x2＋1) < eq \f(2x,x2＋1) ≤1，故排除C； 设g(x)＝ eq \f(2sin x,x2＋1) ，则g(3)＝ eq \f(2sin 3,10) >0，故排除D. 1.函数图象的辨识方法 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不符合要求的图象． 2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点 (1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)； (2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换． 【练1】 (2024·全国甲卷)函数y＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为(　　) 解析：由题干知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝－(－x)2＋(e－x－ex)·sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，C；f(1)＝－1＋(e－ eq \f(1,e) )sin 1>－1＋(e－ eq \f(1,e) )·sin eq \f(π,6) ＝－1＋ eq \f(e,2) － eq \f(1,2e) >0，排除D.故选B. 【练2】 (2025·杭州模拟)函数f(x)＝sin x＋ eq \f(2,1＋2x) 的图象可能是(　　) 解析：因为f(x)＝sin x＋ eq \f(2,1＋2x) 的定义域为R，又因为f(－x)＝sin (－x)＋ eq \f(2,1＋2－x) ＝－sin x＋ eq \f(2·2x,2x＋1) ≠－f(x)，所以f(x)不是奇函数，排除A，B，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))) ＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2))) ＋ eq \f(2,1＋2\s\up6(\f(3π,2))) ＝－1＋ eq \f(2,1＋2\s\up6(\f(3π,2))) <0，所以排除C. 角度1　研究函数的性质 【例2】 (2025·东北师范大学实验中学模拟)已知函数f(x)＝x·|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，递增区间是(－∞，0) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(0，＋∞) 解析：将函数f(x)＝x·|x|－2x 去掉绝对值得f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，)) 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减，故选C. 利用图象研究函数性质问题的思路 对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象的特征研究． 【练3】 (多选)已知函数f(x)＝a( eq \f(1,2) )|x|＋b的图象过原点，且无限接近直线y＝2但又不与y＝2相交．函数g(x)＝2－x2.下列关于函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的判断正确的有(　 　) A．函数F(x)是偶函数 B．函数F(x)在(－∞，－2)上单调递减 C．函数F(x)的最大值为2 D．方程F(x)＝ eq \f(1,2) 恰有两根 解析：由条件可知，f(0)＝a＋b＝0，当x趋向正无穷时，y趋向b，所以b＝2， 则a＝－2，即f(x)＝－2·( eq \f(1,2) )|x|＋2， 令f(x)＝g(x)，即－2·( eq \f(1,2) )|x|＋2＝2－x2，得x＝±1. 如图，画出函数F(x)＝max{f(x)，g(x)}的图象， 函数F(x)是偶函数，在区间(－∞，－2)上单调递减，当x＝0时，函数取得最大值2， F(x)＝ eq \f(1,2) ，无实数根，故选项ABC正确，选项D错误． 角度2　与不等式有关的问题 【例3】 (2025·石家庄模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（\f(1,2)）x，x≥1，,log4（x＋1），－1<x<1，)) 则f(x)≤ eq \f(x,2) 的解集为(　　) A．(－∞，0) 　 B．(－1，0) C．(－1，0]∪[1，＋∞) 　 D．[1，＋∞) 解析：作出函数y＝f(x)与y＝ eq \f(1,2) x 的图象，如图，结合图象知不等式f(x)≤ eq \f(1,2) x 的解集为(－1，0]∪[1，＋∞). 利用函数图象求解不等式的思路 当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解． 【练4】 (2024·北京海淀三模)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集是(　　) A．(－∞，1) 　 B．(0，1) C．(1，＋∞) 　 D．(0，2) 解析：∵函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞)， 令不等式f(x)<0，即x＋ln x－1<0， ∴ln x<1－x，∴函数y＝ln x的图象在直线y＝1－x的下方． 由于函数y＝ln x的图象和直线y＝1－x相交于一点(1，0)，如图所示， 数形结合可得不等式f(x)<0的解集是(0，1). 角度3　求参数的取值范围 【例4】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)，x≤0，,\f(ln x,x)，x>0.)) 若关于x的方程f(x)＝x＋a 无实根，则实数a 的取值范围为(　　) A．(－∞，0)∪( eq \f(1,e) ，1) 　 B．(－1，0) C．(0， eq \f(1,e) ) 　 D．(0，1) 解析：因为函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)，x≤0，,\f(ln x,x)，x>0，)) 关于x 的方程f(x)＝x＋a无实根等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点，作出函数y＝f(x)与y＝x＋a的图象，如图，由图象知，若a≥0，则直线y＝x＋a与函数f(x)的图象必有交点，则a<0. 设直线y＝x＋a与f(x)＝ eq \f(ln x,x) (x>0)相切于点P(x0，y0)，由f′(x)＝ eq \f(1－ln x,x2) ，由已知得eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)) eq \f(1－ln x0,x) ＝1，解得x0＝1，则P(1，0)，则a＝－1，所以切线方程为y＝x－1.由图象知函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a无交点时，实数a的取值范围为(－1，0).故选B. 当参数的不等关系不易找出时，可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数，再根据题设条件和图象的变化利用数形结合思想确定参数的取值范围． 【练5】 (2025·浦东新区校级模拟)若关于x的方程ex＝a|x|恰有两个不同的实数解，则实数a＝________. 答案：e　 解析：作出函数y＝a|x|与y＝ex的大致图象如图所示， 显然a>0，当x≤0时，由单调性得，方程ex＝－ax有且仅有一解． 因此当x>0时，方程ex＝ax也恰有一解． 即y＝ax为函数y＝ex的切线， 对函数y＝ex求导，得y′＝ex， 令y′＝a，得x＝ln a， 故当x＝ln a时，ex＝ax，得eln a＝a ln a，即a＝a ln a， 从而a＝e. $$