第2章 第6节 对数与对数函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第六节　对数与对数函数 底数 0 1 必备知识 基础落实 logaM＋logaN 必备知识 基础落实 y＝logax 必备知识 基础落实 (0，＋∞) 必备知识 基础落实 (1，0) y>0 y<0 y<0 y>0 增函数 减函数 必备知识 基础落实 反函数 必备知识 基础落实 × × × × √ 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 BD 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 对数运算(自主练通) A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 对数函数的图象及应用(讲练融通) A 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 BD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 对数函数性质的应用(多维贯通) D A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（十一） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2．理解对数函数的概念，会画对数函数图象，理解对数函数的性质及应用． 3．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数． 1．对数的概念 如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫作以a为底，(正)数N的对数，记作b＝logaN.这里，a叫作对数的____，N叫作对数的真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 对数的性质：loga1＝__，logaa＝__，＝N，logaab＝b(a>0，且a≠1，N>0，b∈R). (2)对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝____________________； ②loga eq \f(M,N) ＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)对数的换底公式 logbN＝ eq \f(logaN,logab) (a>0，a≠1，b>0且b≠1，N>0). 最常用的对数换底公式：logaN＝ eq \f(lg N,lg a) ，logaN＝ eq \f(ln N,ln a) . 3．对数函数的概念、图象与性质 (1)概念：由于指数函数是严格单调的，等式x＝ay中不同的y对应于不同的x，即每个x对应的y是确定的，从而对数运算____________ (x＞0，a＞0，且a≠1)确定了一个函数，叫作(以a为底的)对数函数． (2)对数函数的图象与性质 y＝logax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 ____________ 值域 R y＝logax a＞1 0＜a＜1 性质 过定点__________，即x＝1时，y＝0 当x>1时，________； 当0<x<1时，__________ 当x>1时，______； 当0<x<1时，______ 在(0，＋∞)上________ 在(0，＋∞)上是________ 4.反函数 指数函数y＝ax和对数函数y＝logax互为______．指数函数的定义域(－∞，＋∞)成了对数函数的值域，指数函数的值域(0，＋∞)是对数函数的定义域． 1．判断正误 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)logax·logay＝loga(x＋y).(　　) (3)函数y＝log2x及y＝log eq \s\do19(\f(1,3))3x都是对数函数．(　　) (4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (5)函数y＝ln eq \f(1＋x,1－x) 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) 2．函数f(x)＝ eq \r(1－ln x) 的定义域是(　　) A．(0，e) B．(0，e] C．[e，＋∞) D．(e，＋∞) 解析：要使函数f(x)＝ eq \r(1－ln x) 有意义，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－ln x≥0，,x>0，)) 解得0<x≤e，则函数f(x)的定义域为(0，e].故选B. 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A． eq \f(loga6,loga3) ＝loga2 B．lg 2＋lg 5＝1 C．(ln x)2＝2ln x D．lg eq \r(5,x3) ＝ eq \f(3,5)lg x 解析：A选项，由换底公式，可得 eq \f(loga6,loga3) ＝log36＝1＋log32，故A错误；B选项，lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，故B正确；C选项，(ln x)2＝(ln x)(ln x)≠2ln x，故C错误；D选项，lg eq \r(5,x3) ＝lg x eq \s\up16(\f(3,5)) ＝ eq \f(3,5) lg x，故D正确． 4．(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝|lg x|，f(a)＝f(b)，a<b，则a＋2 023b的取值范围是(　　) A．[2 eq \r(2 023) ，＋∞) B．(2 023，＋∞) C．(2 024，＋∞) D．(0，＋∞) 解析：∵f(x)＝|lg x|，f(a)＝f(b)， ∴|lg a|＝|lg b|， 又∵a<b，∴－lg a＝lg b，∴lg ab＝0，∴ab＝1， ∴0<a<1<b，故a＋2 023b＝ eq \f(1,b) ＋2 023b. ∵y＝ eq \f(1,b) ＋2 023b在(1，＋∞)上单调递增， ∴ eq \f(1,b) ＋2 023b>1＋2 023＝2 024， 故a＋2 023b的取值范围是(2 024，＋∞).故选C. 5．(2025·惠州高三模拟)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　) 解析：由函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，故0<a<1. 函数y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域为{x|x>1或x<－1}， 当x>1时，函数y＝loga(|x|－1)的图象是由函数y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到的，故选D. 6．(忽视定义域的限制致误)已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是______． 答案：(1，2)　 解析：∵y＝loga(2－ax)是由y＝logau，u＝2－ax复合而成，又a＞0，∴u＝2－ax在[0，1]上是x的减函数． 由复合函数关系知y＝logau在[0，1]上应为增函数，∴a＞1. 又x在[0，1]上时，y＝loga(2－ax)有意义，u＝2－ax又是减函数， ∴当x＝1时，u＝2－ax取得最小值，最小值umin＝2－a＞0即可，∴a＜2. 综上可知，a的取值范围是(1，2). 1.(2025·长沙雅礼中学高考模拟)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，成为历史上的珍闻．若2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2≈0.301 0，则x的值约为(　　) A．1.322 B．1.410 C．1.507 D．1.669 解析：由2x＝ eq \f(5,2) ，lg 2≈0.301 0，得x＝log2 eq \f(5,2) ＝ eq \f(lg \f(5,2),lg 2)＝ eq \f(lg 5－lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2lg 2,lg 2) ＝ eq \f(1－2×0.301 0,0.301 0) ≈1.322，即x的值约为1.322，故选A. 2．(2024·全国甲卷)已知a>1且 eq \f(1,log8a) － eq \f(1,loga4) ＝－ eq \f(5,2) ，则a＝________． 答案：64　 解析：根据题意有 eq \f(1,\f(1,3)log2a) － eq \f(1,2loga2) ＝－ eq \f(5,2) ，即3loga2－ eq \f(1,2loga2) ＝－ eq \f(5,2) ，设t＝loga2(a>1)，则t>0，故3t－ eq \f(1,2t) ＝－ eq \f(5,2) ，得t＝ eq \f(1,6) (t＝－1舍去)，所以loga2＝ eq \f(1,6) ，所以a eq \s\up16(\f(1,6)) ＝2，所以a＝64. 3．计算下列各式的值： (1) eq \f(1,2) lg eq \f(32,49) － eq \f(4,3) lg eq \r(8) ＋lg eq \r(245) ； 解：(1)原式＝lg eq \f(4\r(2),7) －lg 4＋lg 7 eq \r(5) ＝lg eq \f(4\r(2)×7\r(5),7×4) ＝lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)×\r(5))) ＝lg eq \r(10) ＝ eq \f(1,2) . (2＋103lg3＋＝3×－24×＋＝ 3×5－16×3＋33＋5－1＝－ eq \f(29,5) . 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1来解决运算问题． 【例1】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1 C．0<b－1<a<1 D．0<a－1<b－1<1 (2)当0<x≤ eq \f(1,2) 时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　) A．(0， eq \f(\r(2),2) ) B．( eq \f(\r(2),2) ，1) C．(1， eq \r(2) ) D．( eq \r(2) ，2) 解析：(1)由函数图象可知，f(x)为单调递增函数，故a>1. 函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1<logab<0，解得 eq \f(1,a) <b<1.综上，0< eq \f(1,a) <b<1. (2)由题可知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图所示． 由图可知只需满足loga eq \f(1,2) >4 eq \s\up16(\f(1,2)) ，解得a> eq \f(\r(2),2) ，所以 eq \f(\r(2),2) <a<1.故选B. 【变式探究】 将本例(2)中“4x<logax”变为“4x＝logax有解”，则实数a的取值范围为________． 答案： eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) 　 解析：若方程4x＝logax在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图象在 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))) 上有交点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,loga\f(1,2)≤2，)) 解得0<a≤ eq \f(\r(2),2) ，即a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) . (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【练1】 (2025·天津滨海新区十二校联考)函数f(x)＝ eq \f(2ln |x|,x) 的部分图象大致为(　　) 解析：f(－x)＝－ eq \f(2ln |x|,x) ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D.当x＝1时，f(1)＝0，当x＝e时，f(e)＝ eq \f(2,e) >0，故排除A.故选C. 【练2】 (多选)(2025·长沙模拟)在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝loga(x－2)的图象可能是(　　) 解析：当a>1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是上升的；当0<a<1时，y＝ax与y＝loga(x－2)的图象都是下降的． 角度1　比较大小问题 【例2】 (1)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \f(1,3) ，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b (2)(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a 解析：(1)方法一(中间量法)　因为a＝log2e>1，b＝ln 2<1，c＝log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \f(1,3) ＝log23>log2e>1，所以c>a>b. 方法二(图象法)　log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \f(1,3) ＝log23，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，如图．由图可知c>a>b. (2)由9m＝10可得m＝log910＝ eq \f(lg 10,lg 9) >1，而lg 9·lg 11< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 9＋lg 11,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 99,2))) eq \s\up12(2) <1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 10)) eq \s\up12(2) ，所以 eq \f(lg 10,lg 9) > eq \f(lg 11,lg 10) ，即m>lg 11，所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0. 又lg 8·lg 10< eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 8＋lg 10,2))) eq \s\up12(2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 80,2))) eq \s\up12(2) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg 9)) eq \s\up12(2) ， 所以 eq \f(lg 9,lg 8) > eq \f(lg 10,lg 9) ，即log89>m， 综上，a>0>b. 比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助1，0等中间量进行比较 【练3】 已知a＝log315，b＝log420，2c＝1.9，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c 解析：a＝log315＝log3(3×5)＝1＋log35＞1，b＝log420＝log4(4×5)＝1＋log45＞1，c＝log21.9＜1，因为log35＝ eq \f(lg 5,lg 3) ＞ eq \f(lg 5,lg 4) ＝log45，所以a＞b＞c.故选D. 【例3】 设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\s\do19(\f(1,2))（－x），x<0，)) 则方程f(a)＝f(－a)的解集为________． 答案：{－1，1}　 解析：当a>0时，由f(a)＝log2a＝log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))) ＝f(－a)＝log eq \s\do19(\f(1,2))a，得a＝1；当a<0时，由f(a)＝log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a)) ，得a＝－1，∴方程f(a)＝f(－a)的解集为{1，－1}． 【变式探究】 本例中，求f(a)>f(－a)的解集． 解：由题意得 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))>log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))，)) 解得a＞1或－1＜a＜0，故原不等式解集为(－1，0)∪(1，＋∞). 简单对数不等式问题的求解策略 (1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解． (2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0<a<1和a>1进行分类讨论． (3)某些对数不等式可转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【练4】 (2025·江西师大附中模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do19(\f(1,2))x，x>1，,1－x2，x≤1，)) 则不等式f(x)<f(x－1)的解集为______． 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2))))) 　 解析：当x≤1时，不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) 为1－x2<1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \s\up12(2) ，解得 eq \f(1,2) <x≤1； 当1<x≤2时，不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) 为log eq \s\do19(\f(1,2))x<1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \s\up12(2) ，易知log eq \s\do19(\f(1,2))x<log eq \s\do19(\f(1,2))1＝0，1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) eq \s\up12(2) ≥0，解得1<x≤2；当x>2时，不等式f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) <f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) 为log eq \s\do19(\f(1,2))x<log eq \s\do19(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－1)) ，解得x>2.综上，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x>\f(1,2))) . 【练5】 (2025·海宁模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋log2（1－x），x<0，,4x－1，x≥0.)) 若f(f(t))－4＝0，则实数t＝________． 答案： eq \f(3,2) 　 解析：令a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ，则当a<0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) －4＝2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a)) －4＝0，解得a＝－3；当a≥0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a)) －4＝4a－1－4＝0，解得a＝2，所以当f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ＝－3时，此时t<0，有2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－t)) ＝－3，解得t＝ eq \f(31,32) ，不满足条件；当f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t)) ＝2，若t<0，则2＋log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－t)) ＝2，解得t＝0，此时不满足条件；若t≥0时，则4t－1＝2，解得t＝ eq \f(3,2) 满足条件． 角度3　对数函数的综合问题 【例4】 (2024·雅安三模)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝( eq \f(1,3) )x－6.若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(2，＋∞) C．(1， eq \r(3,4) ) D．( eq \r(3,4) ，2) 解析：由题意可得，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 是周期为4的偶函数．根据x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，0)) ，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3) )) eq \s\up12(x) －6，画出在(－2，6]内f(x)的图象如图所示． 关于x的方程f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) －loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) ＝0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>1)) 恰有3个不同的实数根，则在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，6)) 内函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 与函数y＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2)) 的图象有三个交点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(loga4<3，,loga8>3，)) 解得 eq \r(3,4) <a<2. 研究和讨论题中所涉及的函数图象和性质是解决有关函数综合问题最重要的思路和方法，是数和形结合的具体体现．它为研究函数问题提供了思维方向． 【练6】 设f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,|log3x|，x>0，)) 若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是__________. 答案：(0，1]　 解析：作出函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x，x≤0，,|log3x|，x>0)) 的图象，如图所示， 因为f(x)－a＝0有三个不同的实数根， 即函数y＝f(x)与y＝a的图象有三个不同的交点，结合图象，可得0<a≤1，即实数a的取值范围是(0，1]. $$