第2章 第5节 指数与指数函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第五节　指数和指数函数 n次 相反数 正的n次方根 必备知识 基础落实 a a a 必备知识 基础落实 0 没有意义 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 y＝ax 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 R (0，＋∞) (0，1) 0＜y＜1 y＞1 y＞1 0＜y＜1 增 减 必备知识 基础落实 × × √ × √ 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 指数幂的运算(自主练通) D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 指数函数的图象及应用(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 指数函数性质的应用(多维贯通) B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（十） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质． 3．理解指数函数的概念，会画指数函数的图象． 4．理解指数函数的性质，并能简单应用． 1．根式 n次方根 概念 若一个(实)数x的n次方(n∈N，n≥2)等于a，即xn＝a，则称x是a的______方根 性质 当n是奇数时，数a的n次方根记作 eq \r(n,an) 当n是偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为______，其中____________叫作算术根，记作 eq \r(n,an) 根式 概念 式子 eq \r(n,an) 叫作根式(n∈N，n≥2)，__叫作根指数，__叫作被开方数 性质 当n为奇数时， eq \r(n,an) ＝__ 当n为偶数时， eq \r(n,an) ＝|a|＝ 2.有理数指数幂 幂的有关概念 正数的正分数指数幂：a eq \s\up16(\f(m,n)) ＝ eq \r(n,am) (a＞0，m，n∈N，n≥2) 正数的负分数指数幂： (a＞0，m，n∈N，n≥2) 0的正分数指数幂等于__，0的负分数指数幂________ 指数幂的运算性质 在a>0时，对于任意有理数r，s：ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr 3.无理数指数幂的概念 给定任意正数a，对任意实数u，a的u次幂为au.在幂的表达式中，a叫作底数，u叫作指数． 4．幂运算基本不等式 (1)对任意的正数u和正数a，若a>1则au>1，若a<1，则au<1. (2)对任意的负数u和正数a，若a>1则au<1，若a<1则au>1. 5．指数函数的概念、图象与性质 (1)概念：在幂的表达式au中，如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数______(x∈R)，这叫作指数函数，其中a＞0，且a≠1. (2)指数函数的图象与性质 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 图象 表达式 y＝ax(a＞1) y＝ax(0＜a＜1) 性质 定义域：__ 值域：__________ 函数图象过定点________，即a0＝1 当x＜0时，________；当x＞0时，_________ 当x＜0时，______；当x＞0时，________ 在R上递__ 在R上递__ 1．判断正误 (1) eq \r(n,a n) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(n,a)) ) eq \s\up12(n) ＝a(n∈N＋) .(　　) (2)分数指数幂a eq \s\up16(\f(m,n)) 可以理解为 eq \f(m,n) 个a相乘．(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) (5)函数y＝2－x在R上为单调递减函数．(　　) 2．化简 eq \f(\r(－x3),x) 的结果是(　　) A． eq \r(－x) B．－ eq \r(－x) C． eq \r(x) D．－ eq \r(x) 解析：由题意得x<0，所以 eq \f(\r(－x3),x) ＝ eq \f(\r(x2)·\r(－x),x) ＝ eq \f(|x|\r(－x),x) ＝ eq \f(－x\r(－x),x) ＝－ eq \r(－x) . 3．(多选)设a>0，则下列运算中不正确的是(　　) 答案：ABC 4．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 解析：由图象可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1； 方法一　由f(x)＝ax－b图象，函数与y轴的交点纵坐标y∈(0，1)， 令x＝0，得y＝a－b， 由0<a－b<1，即0<a－b<a0，解得 b<0. 方法二　函数f(x)图象可看作是由y＝ax(0<a<1)向左平移得到的， 则－b>0，即b<0.故选D. 5．(2025·四川射洪中学模拟)“( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b”是“a<b＋1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：不等式( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b等价于a<b， 由a<b可推出a<b＋1， 由a<b＋1不一定能推出a<b，例如a＝3，b＝3时，a<b＋1，但a＝b， 所以“( eq \f(1,2) )a>( eq \f(1,2) )b”是“a<b＋1”的充分不必要条件．故选A. 6．(忽视开偶次方规则致误)计算 eq \r(3,（1＋\r(2)）3) ＋ eq \r(4,（1－\r(2)）4) ＝ ________． 答案：2 eq \r(2) 　 解析： eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(2)))\s\up12(3)) ＋ eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(2)))\s\up12(4)) ＝1＋ eq \r(2) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\r(2))) ＝1＋ eq \r(2) ＋ eq \r(2) －1＝2 eq \r(2) . 1.(2025·钦州高三月考)下列各式正确的是(　　) A．8 eq \s\up16(\f(2,3)) ＝2 B．( eq \f(1,2) )－3＝－ eq \f(1,8) C． eq \r(（π－4）2) ＝π－4 D．( eq \f(16,81) )－ eq \s\up16(\f(3,4)) ＝ eq \f(27,8) 解析：8 eq \s\up16(\f(2,3)) ＝(23) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝22＝4，A错误； ( eq \f(1,2) )－3＝23＝8，B错误； ∵π<4， ∴ eq \r(（π－4）2) ＝4－π，C错误； ( eq \f(16,81) )－ eq \s\up16(\f(3,4)) ＝[( eq \f(2,3) )4]－ eq \s\up16(\f(3,4)) ＝( eq \f(2,3) )－3＝ eq \f(27,8) ，D正确．故选D. 2．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝ eq \f(1,1＋2x) ，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ eq \f(1,3) 解析：因为函数f(x)＝ eq \f(1,1＋2x) ，所以f(－x)＝ eq \f(1,1＋2－x) ＝ eq \f(2x,2x＋1) ， 所以f(－x)＋f(x)＝ eq \f(1＋2x,1＋2x) ＝1. 3．(2025·五华区高三期中)0.027－ eq \s\up16(\f(1,3)) －(6 eq \f(1,4) ) eq \s\up16(\f(1,2)) ＋256 eq \s\up16(\f(3,4)) ＋π0＋(2 eq \r(2) )－ eq \s\up16(\f(2,3)) －3－1＝________． 答案：66　 解析：原式＝(0.3)3×(－ eq \s\up16(\f(1,3)) )－( eq \f(5,2) )2× eq \s\up16(\f(1,2)) ＋44× eq \s\up16(\f(3,4)) ＋1＋(2 eq \s\up16(\f(3,2)))－ eq \s\up16(\f(2,3)) － eq \f(1,3) ＝ eq \f(10,3) － eq \f(5,2) ＋64＋1＋ eq \f(1,2) － eq \f(1,3) ＝66. 指数幂运算 【例1】 (1)(2025·河南林州一中模拟)函数f(x)＝( eq \f(1,2) )|x＋1| 的图象大致为(　　) (2)若函数y＝|2x－1|的图象与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围为________． 答案：(1)B　(2)(0，1)　 解析：(1)作出函数y＝ eq \f(1,2|x|) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)) )\s\up12(x)，x≥0，,2x，x<0)) 的图象(图略)，将y＝ eq \f(1,2|x|) 的图象向左平移1个单位长度得到f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(|x＋1|) 的图象． (2)作出曲线y＝|2x－1|的图象与直线y＝b如图所示．由图象可得b的取值范围是(0，1). 【变式探究】 将本例(2)改为直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围． 解：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的． 当a＞1时，如图1，两图象只有一个交点，不合题意； 当0＜a＜1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0<a< eq \f(1,2) . 综上可知，a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)) ) . 指数函数图象的应用问题的求解方法 (1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 【练1】 (2024·枣庄高三二模)指数函数y＝ax的图象如图所示，则y＝ax2＋x图象顶点横坐标的取值范围是(　　) A．(－∞，－ eq \f(1,2) ) B．(－ eq \f(1,2) ，0) C．(0， eq \f(1,2) ) D．(－ eq \f(1,2) ，＋∞) 解析：由图象知函数为减函数，则0<a<1，二次函数y＝ax2＋x的顶点的横坐标为x＝－ eq \f(1,2a) ，∵0<a<1，∴ eq \f(1,2a) > eq \f(1,2) ，－ eq \f(1,2a) <－ eq \f(1,2) ，即横坐标的取值范围是(－∞，－ eq \f(1,2) ).故选A. 【练2】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<1，,－（x－1）2，x≥1，)) 若函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(0，1] C．(－1，0] D．[0，1) 解析：函数g(x)＝f(x)－k 有两个不同的零点，即为函数y＝f(x) 与直线y＝k 有两个交点，函数y＝f(x) 图象如图所示：所以k∈[0，1). 角度1　比较大小问题 【例2】 (2024·吕梁二模)已知a＝ eq \f(3,4) ，b＝( eq \f(3,4) ) eq \s\up16(\f(3,4)) ，c＝( eq \f(3,4)) eq \s\up12(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up16(\f(3,4))) ，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 解析：因为函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，所以a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up12(1) <b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4))) eq \s\up16(\f(3,4)) . 因为 eq \f(3,4) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up16(\f(3,4)) ⇒ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up16(\f(3,4)) > eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up12(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up16(\f(3,4))) ，所以c<b. 又 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up16(\f(3,4)) <1⇒ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up12(1) < eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)) ) eq \s\up12(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up16(\f(3,4))) ，所以a<c. 综上，a<c<b. 比较幂值大小的方法 先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 【练3】 按从小到大的顺序，可将1.10.1，0.90.9，0.90.8 重新排列为______________． 答案：0.90.9<0.90.8<1.10.1 解析：∵0<0.90.9<0.90.8<0.90＝1，1.10.1>1.10＝1，∴0.90.9<0.90.8<1.10.1. 角度2　解简单的指数方程或不等式 【例3】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝4x－3×2x＋2a，则关于x 的不等式f(x)≤－6 的解集为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[－2，0)∪(0，2) D．[－2，0)∪(2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，x≥0，,2a－x，x<0.)) 若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 答案：(1)A　(2) eq \f(1,2) 　 解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0 时，f(x)＝4x－3×2x＋2a， 则f(0)＝40－3×20＋2a＝2a－2＝0，解得a＝1，即当x≥0 时，f(x)＝4x－3×2x＋2，当x<0 时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－(4－x－3×2－x＋2)， 而当x≥0 时，f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2))) eq \s\up12(2) － eq \f(1,4) ≥－ eq \f(1,4) ， 则当f(x)≤－6 时，满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－（4－x－3×2－x＋2）≤－6，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,（2－x－4）（2－x＋1）≥0，)) 变形得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,2－x≥4，)) 解得x≤－2，所以不等式f(x)≤－6 的解集为(－∞，－2]. (2)当a<1时，41－a＝2，解得a＝ eq \f(1,2) ；当a>1时，22a－1＝4a－1，无实数解．故a的值为 eq \f(1,2) . 利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解． 【练4】 已知函数f(x)＝(k＋2)·ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数． (1)求k，b的值； (2)求解不等式f(2x－5)>f(3x－1). 解：(1)∵f(x)＝(k＋2)ax＋2－b(a>0，a≠1)是指数函数， ∴k＋2＝1且2－b＝0. ∴k＝－1且b＝2. (2)由(1)得f(x)＝ax(a>0，a≠1)， 则f(2x－5)>f(3x－1)即a2x－5>a3x－1， ①当a>1时，f(x)＝ax单调递增， 则不等式等价于2x－5>3x－1，解得x<－4， ②当0<a<1时，f(x)单调递减， 则不等式等价于2x－5<3x－1，解得x>－4， 综上，当a>1时，不等式解集为{x|x<－4}； 当0<a<1时，不等式解集为{x|x>－4}． 角度3　指数函数性质的综合问题 【例4】 (1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________． (2)已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－2x＋2＋m，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0)) 的最小值为2，则m的取值范围为________． 答案：(1)(－∞，4]　(2)[5，＋∞) 　 解析：(1)令t＝|2x－m|，则t＝|2x－m|在区间 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，＋∞)) 上单调递增，在区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(m,2))) 上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有 eq \f(m,2) ≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]. (2)当x>0 时，f(x)＝x＋ eq \f(1,x) ≥2 eq \r(x·\f(1,x)) ＝2，当且仅当x＝ eq \f(1,x) ，即x＝1 时等号成立， 当x≤0 时，0<2x≤1，4x－2x＋2＋m＝(2x－2)2＋m－4，当2x＝1，即x＝0 时，4x－2x＋2＋m 取最小值m－3， 因为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(4x－2x＋2＋m，x≤0，,x＋\f(1,x)，x>0))) 的最小值为2，可得m－3≥2，解得m≥5，所以m的取值范围为[5，＋∞). 求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 【练5】 求函数y＝( eq \f(1,2) )2x－8·( eq \f(1,2) )x＋17 的单调区间为________________． 答案：增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2) 解析：设t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) >0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1 在(0，4] 上单调递减，在(4，＋∞) 上单调递增．令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ≤4，得x≥－2，令 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) >4，得x<－2.而函数t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) 在R上单调递减，所以函数y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2x) －8· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ＋17 的增区间为[－2，＋∞)，减区间为(－∞，－2). 【练6】 函数y＝( eq \f(1,4) )x－( eq \f(1,2) )x＋1 在区间[－3，2]上的值域是________． 答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)) 　 解析：∵x∈[－3，2]，∴令t＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(x) ，则t∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，8)) ，故y＝t2－t＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋ eq \f(3,4) .当t＝ eq \f(1,2) 时，ymin＝ eq \f(3,4) ；当t＝8时，ymax＝57.故所求函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，57)) . $$