第2章 第4节 二次函数与幂函数（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第四节　二次函数与幂函数 必备知识 基础落实 [0，＋∞) (－∞，0)∪ (0，＋∞) [0，＋∞) 必备知识 基础落实 x∈(0，＋∞)递减， x∈(－∞，0)递减 (1，1) 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 √ √ √ × √ 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 (－∞，－3]　 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 幂函数的图象与性质(自主练通) B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 求二次函数的解析式(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABC 考点 二次函数的图象与性质(多维贯通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（九） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.通过具体事例，了解幂函数及其图象的变化规律． 2．掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 1．幂函数的概念 一般来说，当x为自变量而α为非零实数时，函数y＝xα叫作(α次)幂函数． 2．五个幂函数的图象与性质 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) y＝x－1 图象 定义域 R R R ________ ________________________ 值域 R ________ R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 幂函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) y＝x－1 单调性 递增 x∈[0，＋∞)递增，x∈(－∞，0)递减 递增 递增 __________________________________ 必经点 都经过点____________ 3.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，其中(m，n)为抛物线顶点坐标，x＝m为对称轴方程； ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中，x1，x2是抛物线与x轴交点的横坐标． (2)二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点． (3)二次函数的图象和性质 f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 图象 定义域 R 值域 [ eq \f(4ac－b2,4a) ，＋∞) (－∞， eq \f(4ac－b2,4a) ] f(x)＝ax2＋bx＋c a>0 a<0 单调性 在(－∞，－ eq \f(b,2a) ]上递减，在[－ eq \f(b,2a) ，＋∞)上递增 在(－∞，－ eq \f(b,2a) ]上递增，在[－ eq \f(b,2a) ，＋∞)上递减 奇偶性 b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数 图象特点 ①对称轴：x＝－ eq \f(b,2a) ； ②顶点：(－ eq \f(b,2a) ， eq \f(4ac－b2,4a) ) 1．判断正误 (1)函数y＝x－ eq \s\up16(\f(1,2)) 是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是 eq \f(4ac－b2,4a) .(　　) (5)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　　) 2．(2025·四川成都石室中学高三模拟)幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是(　　) A．m＝4 B．f(x)是减函数 C．f(x)是奇函数 D．f(x)是偶函数 解析：函数f(x)＝(m2－3m－3)xm为幂函数，则m2－3m－3＝1，解得m＝4或m＝－1. 当m＝4时，f(x)＝x4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足条件，排除A选项； 当m＝－1时，f(x)＝x－1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意． 函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B选项； 因为函数定义域关于原点对称，且f(－x)＝ eq \f(1,－x) ＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，不是偶函数，故C选项正确，D选项错误．故选C. 3．下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　) A．①y＝x eq \s\up16(\f(1,3)) ，②y＝x2，③y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，④y＝x－1 D．①y＝x eq \s\up16(\f(1,3)) ，②y＝x eq \s\up16(\f(1,2)) ，③y＝x2，④y＝x－1 解析：图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D.图象②中幂函数是偶函数，幂指数必为正偶数，排除C.故选B. 4．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．(0， eq \f(1,20) ) B．(－∞，－ eq \f(1,20) ) C．( eq \f(1,20) ，＋∞) D．(－ eq \f(1,20) ，0) 解析：由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,1－20a<0，)) 解得a> eq \f(1,20) . 5．若函数f(x)＝x2＋ax在区间[1，2]上的最大值为a＋1，则a的取值范围为____________． 解析：∵f(x)＝x2＋ax的对称轴为直线x＝－ eq \f(a,2) . (1)当a＞－3，即－ eq \f(a,2) < eq \f(3,2) 时，f(x)max＝f(2)＝4＋2a＝a＋1，解得a＝－3，不符合题意，舍去； (2)当a≤－3，即－ eq \f(a,2) ≥ eq \f(3,2) ，f(x)max＝f(1)＝1＋a，符合题意，故a≤－3. 综上可知，a的取值范围为(－∞，－3]. 6．(判定图象的位置致误)设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案：>　 解析：f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝ eq \f(1,2) ，且f(1)>0，f(0)>0，∵f(m)<0，∴m∈(0，1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0. 1.如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．－1＜n＜0＜m＜1 B．n＜－1，0＜m＜1 C．－1＜n＜0，m＞1 D．n＜－1，m＞1 解析：如图，作直线x＝2，y＝x，直线x＝2与y＝xn，y＝x－1，y＝xm，y＝x的图象的交点的纵坐标从下至上分别为2n，2－1，2m，21， 从图中可观察得2n＜2－1＜1＜2m＜21， 由指数函数y＝2x在R上是增函数，可得n＜－1，0＜m＜1. A．p，q均为奇数，且 eq \f(p,q) >0 B．q为偶数，p为奇数，且 eq \f(p,q) <0 C．q为奇数，p为偶数，且 eq \f(p,q) >0 D．q为奇数，p为偶数，且 eq \f(p,q) <0 2．已知幂函数y＝x eq \s\up16(\f(p,q)) (p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　) 解析：因为函数y＝x eq \s\up16(\f(p,q)) 的图象关于y轴对称，所以函数y＝x eq \s\up16(\f(p,q)) 为偶函数，即p为偶数．又函数y＝x eq\s\up6(\f(p,q)) 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有 eq \f(p,q) <0.又因为p，q互质，则q为奇数，所以只有选项D正确． 3．(2024·安康模拟)已知命题p：函数f(x)＝x－m2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，命题q：m<a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________． 答案：[1，＋∞)　 解析：因为函数f(x)＝x－m2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，所以－m2＋m>0，解得0<m<1，又p是q的充分不必要条件，则(0，1)是(－∞，a)的真子集，即a的取值范围是[1，＋∞). 应用幂函数图象的注意点 (1)对于幂函数图象，要抓住直线x＝1，y＝1，y＝x将第一象限分成的六个区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由幂函数的奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． 【例1】 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解：方法一(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.)) 故所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 方法二(利用顶点式) 设f(x)＝a(x－m)2＋n.因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝ eq \f(2＋（－1）,2) ＝ eq \f(1,2) ，所以m＝ eq \f(1,2) .又根据题意，函数f(x)有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋8.因为f(2)＝－1，所以a eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2) ＋8＝－4x2＋4x＋7. 方法三(利用零点式) 由已知f(x)＋1＝0的两根分别为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数f(x)有最大值8，即 eq \f(4a（－2a－1）－a2,4a) ＝8， 解得a＝－4或a＝0(舍去)， 故所求函数f(x)的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 求二次函数解析式的方法 【练1】 设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为2 eq \r(2) ，则f(x)的解析式为________，f(2)＝________． 答案：f(x)＝ eq \f(1,2) x2＋2x＋1　7　 解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，两根分别为x1，x2. 由f(x－2)＝f(－x－2)，得4a－b＝0.① 又∵|x1－x2|＝ eq \f(\r(b2－4ac),|a|) ＝2 eq \r(2) ，∴b2－4ac＝8a2.② 又由已知得c＝1.③ 由①②③解得b＝2，a＝ eq \f(1,2) ，c＝1， ∴f(x)＝ eq \f(1,2) x2＋2x＋1，∴f(2)＝ eq \f(1,2) ×22＋2×2＋1＝2＋4＋1＝7. 角度1　二次函数的图象 【例2】 (多选)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x＝1，点B坐标为(－1，0)，则下面结论中正确的是(　 　) A．2a＋b＝0 B．4a－2b＋c<0 C．b2－4ac>0 D．当y<0时，x<－1或x>4 解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，所以x＝－ eq \f(b,2a) ＝1，得2a＋b＝0，故A正确；当x＝－2时，y＝4a－2b＋c<0，故B正确； 该函数图象与x轴有两个交点，则b2－4ac>0，故C正确； 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，点B的坐标为(－1，0)，所以点A的坐标为(3，0)，所以当y<0时，x<－1或x>3，故D错误． (1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析； (2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件． 【练2】 (2024·北京海淀区一模)已知二次函数f(x)对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)，则f(x)的图象可能是(　　) 解析：由二次函数f(x)对任意的x∈R，有f(2x)<2f(x)， 令x＝0，得f(0)<2f(0)，即f(0)>0，故选项C，D都不可能； 对于B，二次函数f(x)的对称轴方程为x＝－ eq \f(b,2a) ，由图象可知f(－ eq \f(b,2a) )<0， 设f(x)的图象与x轴的两个交点为x1，x2，且0<x1<x2， 则x1＋x2＝－ eq \f(b,a) >0， 所以0<x1<－ eq \f(b,2a) <x2<－ eq \f(b,a) ， 所以f(－ eq \f(b,a) )>0， 当x＝－ eq \f(b,2a) 时，f(2x)＝f(－ eq \f(b,a) )<2f(－ eq \f(b,2a) )<0，两者相矛盾，故选项B不可能．故选A. 角度2　二次函数的单调性与最值 【例3】 (2025·山东广饶一中模拟)已知函数f(x)＝x2－2ax－3. (1)已知f(x)在[3，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)求f(x)在[－1，2]上的最小值． 解：(1)由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a， 要使得f(x)在[3，＋∞)上单调递增，则满足a≤3， 所以a的取值范围为(－∞，3]. (2)当a<－1时，函数f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)的最小值为f(－1)＝2a－2； 当－1≤a≤2时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在[a，2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(a)＝－a2－3； 当a>2时，函数f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)＝1－4a， 综上可得，f(x)在[－1，2]上的最小值为f(x)min＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2，a<－1，,－a2－3，－1≤a≤2，,1－4a，a>2.)) 【变式探究】 本例条件不变，求f(x)在[－1，2]上的最大值． 解：由函数f(x)＝x2－2ax－3，可得f(x)的图象开口向上，且对称轴为直线x＝a， 当a<－1时，函数f(x)在[－1，2]上单调递增，所以f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当－1≤a≤ eq \f(1,2) 时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a； 当 eq \f(1,2) <a≤2时，函数f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2； 当a>2时，函数f(x)在[－1，2]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. 综上，当a≤ eq \f(1,2) 时，函数f(x)的最大值为f(2)＝1－4a；当a> eq \f(1,2) 时，函数f(x)的最大值为f(－1)＝2a－2. (1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解． (2)“动轴定区间”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： ①根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； ②根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； ③将分类讨论的结果整合得到最终结果． 【练3】 (2024·沈阳高三一模)若函数f(x)＝x2－4x＋4在区间[a，a＋1]上的最小值为4，则a的取值集合为________． 答案：{－1，4}　 解析：函数f(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，对称轴为直线x＝2， 当a＋1≤2，即a≤1时， f(x)min＝f(a＋1)＝4，即(a＋1)2－4(a＋1)＋4＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)，故a＝－1. 当a<2<a＋1，即1<a<2时， f(x)min＝f(2)＝0，不符合题意，舍去， 当a≥2时， f(x)min＝f(a)＝4，即a2－4a＋4＝4，解得a＝4或a＝0(舍去)， 故a的取值集合为{－1，4}． 角度3　二次函数中的恒成立问题 【例4】 (2025·烟台模拟)已知函数f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[0，2]，函数g(x)＝ax－1，x∈[－1，1]，对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] B．[3，＋∞) C.(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞) 解析：因为f(x)＝－(x－1)2＋2，x∈[0，2]， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( f（x）min＝f（0）＝1，, f（x）max＝f（1）＝2，,)) 即f(x)的值域为[1，2]， 因为对于任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g(x2)＝f(x1)成立， 所以f(x)的值域[1，2]是g(x)在[－1，1]上值域的子集． 当a>0时，g(x)在[－1，1]上为增函数，所以g(－1)<g(1)，所以g(x)∈[－a－1，a－1]， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a－1≤1，,a－1≥2，)) 解得a≥3. 当a<0时，g(x)在[－1，1]上为减函数， 所以g(1)<g(－1)，所以g(x)∈[a－1，－a－1]， 所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1≤1，,－a－1≥2，)) 解得a≤－3， 综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞). 由不等式恒成立求参数取值范围的思路 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数，二是不分离参数； (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 【练4】 已知函数f(x)＝kx2－kx＋1. (1)若∀x∈R，f(x)>0恒成立，求实数k的取值范围； (2)若f(－2)＝7，解关于x的不等式f(ex)>3. 解：(1)当k＝0时，f(x)＝1满足∀x∈R，f(x)>0恒成立， 当k≠0时，则只需 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝k2－4k<0，)) 解得0<k<4. 综上，要使∀x∈R，f(x)>0恒成立，则0≤k<4，即实数k的取值范围为[0，4). (2)因为f(－2)＝4k＋2k＋1＝6k＋1＝7，所以k＝1， 此时f(x)＝x2－x＋1， 所以f(ex)>3，即e2x－ex＋1>3. 令ex＝t，即为t2－t－2>0，解得t<－1或t>2，即ex<－1或ex>2. 因为ex>0，所以ex<－1无解， 由ex>2得x>ln 2， 所以不等式f(ex)>3的解集为{x|x>ln 2}． $$