第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 y轴 原点 必备知识 基础落实 非零常数T 每一个 f(x＋T)＝f(x) 周期 所有周期中 最小的正数 最小正数 必备知识 基础落实 × × √ √ 必备知识 基础落实 BC 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 函数的奇偶性(多维贯通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 函数的周期性及应用(讲练融通) A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 AC 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 函数的对称性(讲练融通) B 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（七） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念及几何意义． 2．了解函数周期性、对称性及其几何意义． 3．会依据函数的性质进行简单的应用． 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象 偶函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为偶函数 关于____对称 奇函数 如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)为奇函数 关于____对称 2.函数的周期性 周期函数：一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在____________，使得当x取定义域内的______x值时，x±T都有定义，并且_______________，则称这个函数f(x)为周期函数，T称为这个函数的一个周期． 最小正周期：对于一个____函数f(x)，如果在它的__________存在一个__________，那么这个________就叫作它的最小正周期． 1．判断正误 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．(　　) (2)若函数f(x)是奇函数，则一定有f(0)＝0.(　　) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) (4)若函数y＝f(x＋2)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)中心对称．(　　) 2．(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x＋ eq \f(1,x) C．f(x)＝x3＋2x D．f(x)＝x2＋x＋1 解析：对于A，f(x)＝|x|的定义域为R，关于原点对称，而f(－x)＝|－x|＝f(x)，为偶函数； 对于B，f(x)＝x＋ eq \f(1,x) 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－x－ eq \f(1,x) ＝－f(x)，为奇函数； 对于C，f(x)＝x3＋2x的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－f(x)，为奇函数； 对于D，f(x)＝x2＋x＋1的定义域为R，关于原点对称，而f(－x)＝x2－x＋1≠－f(x)，不是奇函数．故选BC. 3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝ eq \f(xex,eax－1) 是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为f(x)＝ eq \f(xex,eax－1) 为偶函数，则f(x)－f(－x)＝ eq \f(xex,eax－1) － eq \f(（－x）e－x,e－ax－1) ＝ eq \f(x[ex－e（a－1）x],eax－1) ＝0. 又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 4．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0，2)时，f(x)＝2－x，则f(2 024)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：∵f(x)的周期为2，∴f(2 024)＝f(0)＝20＝1. 5．已知f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－ex＋1 解析：设x<0，则－x>0，因为函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e－x－1， 可得f(x)＝－f(－x)＝－(ex－1)＝－ex＋1. 故选D. 6．(忽视定义域致误)函数f(x)＝(x＋1)· eq \r(\f(x－1,x＋1)) 是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 答案：非奇非偶　 解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，其定义域不关于原点对称．故f(x)为非奇非偶函数． 7．我们知道函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心是________． 答案：(1，－2) 角度1　函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ eq \r(3－x2) ＋ eq \r(x2－3) ； (2)f(x)＝ eq \f(lg （1－x2）,|x－2|－2) ； (3)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2＋x，x>0；)) (4)f(x)＝log2(x＋ eq \r(x2＋1) ). 解：(1)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2≥0，,x2－3≥0，)) 得x2＝3，解得x＝± eq \r(3) ， 即函数f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3))) ， 从而f(x)＝ eq \r(3－x2) ＋ eq \r(x2－3) ＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x－2|≠2，)) 得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝ eq \f(lg （1－x2）,－x) . 又∵f(－x)＝ eq \f(lg [1－（－x）2],x) ＝ eq \f(lg （1－x2）,x) ＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)， 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，故函数f(x)为奇函数． (4)显然函数f(x)的定义域为R， f(－x)＝log2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\r(（－x）2＋1))) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)－x)) ＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x)) eq \s\up12(－1) ＝－log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋1)＋x)) ＝－f(x)，故f(x)为奇函数． 【练1】 (2024·天津卷)下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)＝ eq \f(ex－x2,x2＋1) B．f(x)＝ eq \f(cos x＋x2,x2＋1) C．f(x)＝ eq \f(ex－x,x＋1) D．f(x)＝ eq \f(sin x＋4x,e|x|) 解析：通解　对于A选项，f(－x)＝ eq \f(e－x－（－x）2,（－x）2＋1) ＝ eq \f(e－x－x2,x2＋1) ≠f(x)，故f(x)不是偶函数；对于B选项，f(－x)＝ eq \f(cos （－x）＋（－x）2,（－x）2＋1) ＝ eq \f(cos x＋x2,x2＋1) ＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(－x)＝ eq \f(sin （－x）＋4（－x）,e|－x|) ＝ eq \f(－sin x－4x,e|x|) ＝－ eq \f(sin x＋4x,e|x|) ＝－f(x)，故f(x)是奇函数．故选B. 优解一(特殊值法)　对于A选项，f(1)＝ eq \f(e－1,1＋1) ＝ eq \f(e－1,2) ，f(－1)＝ eq \f(e－1－1,1＋1) ＝ eq \f(e－1－1,2) ，f(1)≠f(－1)，故f(x)不是偶函数；对于B选项， f(－x)＝ eq \f(cos （－x）＋（－x）2,（－x）2＋1) ＝ eq \f(cos x＋x2,x2＋1) ＝f(x)，故f(x)是偶函数；对于C选项，f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数；对于D选项，f(π)＝ eq \f(sin π＋4π,e|π|) ＝ eq \f(4π,e|π|) ，f(－π)＝ eq \f(sin （－π）－4π,e|－π|) ＝ eq \f(－4π,e|π|) ，f(π)≠f(－π)，故f(x)不是偶函数．故选B. 优解二(性质法)　易知y＝x2＋1与y＝e|x|均为偶函数，且恒为正． 对于A选项，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数；对于B选项，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f(x)是偶函数；对于C选项，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数；对于D选项，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 【练2】 (多选)设函数f(x)＝ eq \f(ex－e－x,2) ，则下列结论正确的是(　 　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：因为f(x)＝ eq \f(ex－e－x,2) ，所以f(－x)＝ eq \f(e－x－ex,2) ，所以f(x)是奇函数，所以|f(x)|是偶函数，－f(x)是奇函数．因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数，f(|x|)f(x)是奇函数．故选ABC. 角度2　函数奇偶性的简单应用 【例2】 (1)(2025·福州模拟)已知f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则f(ln eq \f(1,2) )＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－1 C．1 D． eq \f(1,2) (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln eq \f(2x－1,2x＋1) 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． eq \f(1,2) D．1 解析：(1)因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)，且ln eq \f(1,2) <0， 故可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln \f(1,2))) ＝－f(ln 2)＝－(eln 2－1)＝－2＋1＝－1.故选B. (2)因为f(x) 为偶函数，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x> eq \f(1,2) 或x<－ eq \f(1,2) ， 则其定义域为{x|x＞ eq \f(1,2) 或x<－ eq \f(1,2) }，关于原点对称，则 f(1)＝f(－1)， 所以(1＋a)ln eq \f(1,3) ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0， 当a＝0时，f(x)＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1) ， f(－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1) ＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1) ＝(－x)ln ( eq \f(2x－1,2x＋1) )－1＝x ln eq \f(2x－1,2x＋1) ＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数．故选B. 应用函数奇偶性可解决的问题及解题方法 (1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出． (3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． 【练3】 (2025·郑州模拟)已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋m，则当x<0时，f(x)＝(　　) A．x2－4－x＋1 B．－x2－4－x－1 C．－x2＋4－x－1 D．－x2＋4－x＋1 解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝m－1＝0，即m＝1. 当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4－x＋1]＝－x2＋4－x－1. 【练4】 (2025·华南师大附中模拟)已知函数f(x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x(a∈R)为偶函数，则a＝______. 答案： eq \f(1,2) 　 解析：根据题意，函数f(x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x，其定义域为R，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)， 则有a(－x)－log2(2－x＋1)＋cos (－x)＝ax－log2(2x＋1)＋cos x， 变形可得2ax＝log2(2x＋1)－log2(2－x＋1)＝x，解得a＝ eq \f(1,2) . 【例3】 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(－x).若f( eq \f(3,4) )＝－ eq \f(1,3) ，则f( eq \f(13,4) )＝(　　) A． eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,3) C． eq \f(1,4) D．－ eq \f(1,4) 解析：由题设，f(x－2)＝f(－x)＝－f(x)， 且f(x)＝－f(x＋2)， 所以f(x－2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期为4的奇函数， 所以f( eq \f(13,4) )＝f(4－ eq \f(3,4) )＝f(－ eq \f(3,4) )＝－f( eq \f(3,4) )＝ eq \f(1,3) .故选A. 函数周期性有关问题的求解策略 (1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x轴的直线上，对称轴平行于y轴)，那么这个函数一定具有周期性． 【练5】 已知函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)且f(4－x)＋f(x)＝0成立，若f(0)＝0，则f(2 025)＋f(2 024)＋f(2 023)的值为(　　) A．4 B．2 C．0 D．－2 解析：由f(x＋2)＝f(－x)，可知f(2－x)＝f(x). 又f(4－x)＝－f(x)，∴f(4－x)＋f(2－x)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数y＝f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(2 025)＝f(1)，f(2 024)＝f(0)，f(2 023)＝f(3). 由f(4－x)＋f(x)＝0可得f(4－1)＋f(1)＝0，即f(3)＋f(1)＝0，又f(0)＝0. ∴f(2 025)＋f(2 024)＋f(2 023)＝0＋0＝0. 【练6】 (多选)(2025·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x均满足f(2＋x)＝f(x)，f(2－x)＝f(x)，且x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋1，则下列说法正确的是(　　) A．2是f(x)的周期 B．x＝－1不是f(x)图象的对称轴 C．f(2 025)＝2 D．方程f(x)＝ eq \f(1,2) |x|只有4个实根 解析：因为定义在R上的函数f(x)对任意实数x均满足f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的周期函数，故A选项正确；因为f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，又f(x)是周期为2的周期函数，所以函数f(x)关于直线x＝－1对称，故B选项错误；f(2 025)＝f(1)＝12＋1＝2，故C选项正确；在同一直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝ eq \f(1,2) |x|的图象，如图所示． 由图象可知两函数共有6个不同的交点，则方程f(x)＝ eq \f(1,2) |x|有6个实根，故D选项错误．故选AC. 【例4】 (1)(2024·海口二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，函数g(x)＝|x－2|f(x)的图象关于直线x＝2对称，若f(－1)＝－1，则g(3)＝(　　) A．5 B．1 C．－1 D．－5 (2)(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则f(k)＝(　　) A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 解析：(1)因为g(x)的图象关于直线x＝2对称，则g(x＋2)＝|x|f(x＋2)是偶函数， g(2－x)＝|－x|f(2－x)＝|x|f(2－x)，且g(x＋2)＝|x|f(x＋2)， 所以|x|f(2－x)＝|x|f(2＋x)对任意的x∈R恒成立，所以f(2－x)＝f(2＋x). 因为f(－1)＝－1且f(x)为奇函数，所以f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝－f(－1)＝1， 所以g(3)＝|3－2|f(3)＝f(1)＝1. (2)因为y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，所以g(2－x)＝g(x＋2). 因为g(x)－f(x－4)＝7，所以g(x＋2)－f(x－2)＝7， 即g(x＋2)＝7＋f(x－2). 因为f(x)＋g(2－x)＝5，所以f(－x)＋g(x＋2)＝5， 代入得f(x)＋[7＋f(x－2)]＝5，即f(x)＋f(x－2)＝－2， 所以f(3)＋f(5)＋…＋f(21)＝(－2)×5＝－10， f(4)＋f(6)＋…＋f(22)＝(－2)×5＝－10. 因为f(x)＋g(x＋2)＝5，所以f(1)＝5－g(3)＝－1. 所以 eq \i\su(k=1,22,f) (k)＝f(1)＋f(2)＋[f(3)＋f(5)＋…＋f(21)]＋[f(4)＋f(6)＋…＋f(22)]＝－1－3－10－10＝－24. 对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2) 对称． (2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点( eq \f(a＋b,2) ，0)对称． (3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点( eq \f(a＋b,2) ， eq \f(c,2) )对称． 【练7】 设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－5)与函数y＝f(1－x)的图象关于(　　) A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称 C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称 解析：函数y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一个单位得到， 函数y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一个单位得到， 又函数y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称， 所以函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)关于直线x＝1对称． 又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4个单位长度得到， 所以函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－5)关于直线x＝3对称． 【练8】 (2025·西安模拟)已知函数f(x)满足f(x－π)＝－f(－x)，且函数f(x)与g(x)＝cos x(x≠－ eq \f(π,2) )的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则 eq \i\su(i＝1,4, )(xi＋yi)＝(　　) A．－4π B．－2π C．2π D．4π 解析：函数f(x)满足f(x－π)＝－f(－x)， 则f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 成中心对称． 又g(x)＝cos x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,2))) 的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 成中心对称， 所以函数f(x)与g(x)的图象的交点关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0)) 对称， 则x1＋x2＋x3＋x4＝－2π，y1＋y2＋y3＋y4＝0， 所以 eq \i\su(i＝1,4, ) (xi＋yi)＝－2π. $$