第2章 第1节 函数及函数的表示方法（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第二章　函 数 第一节　函数及函数的表示方法 必备知识 基础落实 解析法 图象法 列表法 必备知识 基础落实 并集 空集 必备知识 基础落实 × × × √ 必备知识 基础落实 ACD 必备知识 基础落实 D 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 求函数的定义域(自主练通) B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 求函数的解析式(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 分段函数的应用(多维贯通) A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（五） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域． 2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 1．函数的概念 函数的定义：设A，B是两个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一的数y和它对应，那么称这样的对应f：A→B为定义于A取值于B的函数，也记作y＝f(x)(x∈A，y∈B). 2．函数的三要素 定义域、对应关系、值域． 3．相等函数 两个函数f(x)和g(x)，当且仅当有相同的定义域U且对每个x∈U都有f(x)＝g(x)时，叫作相等． 两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝2x2，x∈[0，2]与函数f(x)＝2x2，x∈[－2，0]. 4．函数的三种常用表示法 ______、______、______． 5．分段函数 (1)一般地，如果自变量在定义域的不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数叫作分段函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的____；各段函数的定义域的交集是____． 1．判断正误 (1)函数y＝1或y＝x0是同一个函数．(　　) (2)对于函数f：A→B，其值域是集合B.(　　) (3)已知f(x)＝5(x∈R)，则f(x2)＝25.(　　) (4)函数f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点．(　　) 2．(多选)下列四个图象中，是函数图象的是(　 　) 解析：根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有B不满足． 3．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是(　　) A．y＝x与y＝( eq \f(1,x) )－1 B．y＝|x|与y＝( eq \r(x) )2 C．y＝x与y＝eln x D．y＝x与y＝ eq \r(5,x5) 解析：A选项，函数y＝x的定义域为R，函数y＝( eq \f(1,x) )－1的定义域为{x|x≠0}，不是相同函数． B选项，函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝( eq \r(x) )2的定义域为{x|x≥0}，不是相同函数． C选项，函数y＝x的定义域为R，函数y＝eln x的定义域为{x|x>0}，不是相同函数． D选项，由于y＝ eq \r(5,x5) ＝x，所以y＝x与y＝ eq \r(5,x5) 的定义域、值域都为R，对应关系也相同， 所以y＝x与y＝ eq \r(5,x5) 是相同函数． 故选D. 4．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,2x，x>0，)) 则f(f( eq \f(1,2) ))＝(　　) A．2 B．－ eq \f(5,2) C． eq \f(5,4) D．－1 解析：f(f( eq \f(1,2) ))＝f(2× eq \f(1,2) )＝f(1)＝2×1＝2.故选A. 5．函数f(x)＝lg (1－x)＋ eq \r(x) 的定义域为________． 答案：{x|0≤x<1}　 解析：由函数f(x)有意义得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x≥0，)) 得0≤x<1. 所以函数f(x)的定义域为{x|0≤x<1}． 6．(忽视变量的范围致误)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x))) ＝x－1，则f(x)＝________． 答案：x2－1(x≥0)　 解析：令t＝ eq \r(x) ，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0). 1.(2025·安徽江南十校模拟)函数y＝ eq \f(\r(－x2＋2x＋3),lg （x＋1）) 的定义域为(　　) A．(－1，3] B．(－1，0)∪(0，3] C．[－1，3] D．[－1，0)∪(0，3] 解析：要使函数有意义，x需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3≥0，,x＋1>0，,x＋1≠1，)) 解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]. 2．(2024·重庆南开中学模拟)已知函数f(x)＝ eq \r(kx2－3x＋k) 的定义域为R，则实数k满足(　　) A．k≥0或k≤－ eq \f(3,2) B．k≥ eq \f(3,2) C．－ eq \f(3,2) ≤k≤ eq \f(3,2) D．0<k≤ eq \f(3,2) 解析：由题意可得，kx2－3x＋k≥0恒成立， 当k＝0时，即－3x≥0，显然不满足， 当k≠0时，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝9－4k2≤0，)) 解得k≥ eq \f(3,2) . 综上可得，k≥ eq \f(3,2) .故选B. 3．已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则函数y＝ eq \f(f（x＋2）,\r(－x2－3x＋4)) 的定义域是________． 答案：(－2，1)　 解析：由题意知函数y＝ eq \f(f（x＋2）,\r(－x2－3x＋4)) 需满足 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,－x2－3x＋4>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x2＋3x－4<0，)) 解得x>－2且－4<x<1，即－2<x<1， 故函数y＝ eq \f(f（x＋2）,\r(－x2－3x＋4)) 的定义域是(－2，1). 1.根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． 2．抽象函数的定义域问题 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； (2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． 【例1】 求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f(x＋ eq \f(1,x) )＝x2＋ eq \f(1,x2) ，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． 解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) ＝x2＋ eq \f(1,x2) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))) eq \s\up12(2) －2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， ∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，② 由①②解得f(x)＝3x. 求函数解析式的三种常用方法 待定系数法 当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式 换元法 如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式 解方程组法 如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式 【练1】 若函数f(x)满足f(x)＋2f( eq \f(1,x) )＝3x，则f(3)＝________． 答案：－ eq \f(7,3) 　 解析：因为f(x)＋2f( eq \f(1,x) )＝3x，① 所以f( eq \f(1,x) )＋2f(x)＝ eq \f(3,x) ，② ②×2－①，得f(x)＝ eq \f(2,x) －x， 所以f(3)＝ eq \f(2,3) －3＝－ eq \f(7,3) . 角度1　函数求值问题 【例2】 (2025·武汉模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋2－x，x≤2，,f（x－1），x>2，)) 则f(log212)＝(　　) A． eq \f(10,3) B． eq \f(13,3) C． eq \f(35,6) D． eq \f(37,6) 解析：f(log212)＝f(log212－1)＝f(log26)＝f(log26－1)＝f(log23)＝2log23＋ eq \f(1,2log23) ＝3＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(10,3) .故选A. 求分段函数的函数值的方法 先确定要求的值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． 【练2】 已知f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥9，,f（f（x＋4）），x<9，)) 求f(7)的值． 解：∵7＜9，∴f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)＝f(8).又∵8＜9，∴f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝9－3＝6，即f(7)＝6. 角度2　与方程结合问题 【例3】 (2025·泰州模拟)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≤0，,－x2，x>0，)) 若f(f(a))－f(a)＋2＝0，则实数a的值为(　　) A． eq \r(2) －1 B．－ eq \r(2) －1 C． eq \r(2) ＋1 D．－ eq \r(2) ＋1 解析：令f(a)＝t，f(f(a))－f(a)＋2＝0， 则f(t)＝t－2. ①当t≤0 时，t2＋2t＝t－2，则t2＋t＋2＝0，无解． ②当t>0 时，－t2＝t－2，∴t＝1，∴f(a)＝1. 当a≤0 时，a2＋2a＝1，解得a＝－ eq \r(2) －1；当a>0 时，－a2＝1 无解． 综上，a＝－ eq \r(2) －1. (1)若分段函数中含有参数，则直接根据条件选择相应区间上的解析式代入求参数． (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值． 【练3】 (2024·哈尔滨二模)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,\f(1,x2)，x<0，)) 若f(a)＝2，则实数a＝______． 答案：1或－ eq \f(\r(2),2) 　 解析：若a≥0，则f(a)＝a2＋1＝2，解得a＝1，若a<0，则f(a)＝ eq \f(1,a2) ＝2，解得a＝－ eq \f(\r(2),2) ，故a＝1 或a＝－ eq \f(\r(2),2) . 角度3　求解不等式问题 【例4】 (2025·石家庄模拟)设函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2＋2，x<1，,－2x，x≥1，)) 则不等式f(3)＋f(|x|－4)>0 的解集为(　　) A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－7，7) D．(－∞，－7)∪(7，＋∞) 解析：因为f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x＋1）2＋2，x<1，,－2x，x≥1，)) 所以f(3)＝－6，f(－3)＝(－3＋1)2＋2＝6， 则f(3)＋f(|x|－4)>0，即f(|x|－4)>－f(3)＝6＝f(－3)， f(x) 的函数图象如下所示． 由函数图象可知，当x>－3 时，f(x)<6 且f(x) 在(－∞，－3)上单调递减，所以f(|x|－4)>f(－3) 等价于|x|－4<－3，即|x|<1，解得－1<x<1，即x∈(－1，1). 涉及与分段函数有关的不等式问题，主要表现为解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解． 【练4】 已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2x，x<0，,x2－2x，x≥0，)) 若f(f(－2))>f(t)，则实数t的取值范围是________． 答案：(－4，4)　 解析：由题可得f(－2)＝4，f(4)＝8，不等式f(f(－2))>f(t)可化为f(t)<8.当t<0时，－2t<8，解得－4<t<0；当t≥0时，t2－2t<8，即(t－1)2<9，解得0≤t<4.综上所述，t的取值范围是(－4，4). $$