第1章 第1节 集 合（课件PPT）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

高考总复习 数学 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 每个元素 A包含于B A B 相等 A＝B 包含于 子集 必备知识 基础落实 既属于A又属于B {x|x∈A且x∈B} {x|x∈A或x∈B} 必备知识 基础落实 {x|x∈U且x∉A} 必备知识 基础落实 × × × √ × 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 B 必备知识 基础落实 C 必备知识 基础落实 A 必备知识 基础落实 必备知识 基础落实 考点 集合的基本概念(自主练通) B 关键能力 精准突破 B 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 集合间的基本关系(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 集合的基本运算(多维贯通) A 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 D 关键能力 精准突破 C 关键能力 精准突破 A C 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 考点 集合的新定义问题(讲练融通) 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 A 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 ABD 关键能力 精准突破 关键能力 精准突破 请完成：课时作业（一） 温馨提示 谢谢观看！ 课标解读 1.了解集合、全集、空集的含义，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的基本关系． 3．理解并掌握集合的基本运算． 1．集合与元素 (1)集合中元素的基本属性：______、______、______． (2)元素与集合的关系是____或______，用符号__或__表示． (3)集合的表示法：______、______、______． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 正实数集 符号 N N＋ Z Q R R＋ 2.集合间的基本关系 (1)子集：如果集合A的________都是集合B的元素，就说A包含于B，或者说B包含A.记作A⊆B(或B⊇A).读作“A包含于B”(或 “B包含A”).若__________，则称A是B的一个子集． (2)真子集：如果A⊆B但A≠B，就说A是B的真子集，记作_____．读作“A真包含于B”(或“B真包含A”). (3)相等：如果A⊆B并且B⊆A，就说两个集合____，记作______． (4)空集的性质：空集合______任一集合，是任一集合的____． 3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 把所有_______________的元素组成的集合 A∩B＝_______________ 并集 把集合A，B中的元素放在一起组成的集合 A∪B＝_______________ 运算 自然语言 符号语言 Venn图 补集 若A是全集U的子集，U中不属于A的元素组成的子集 ∁UA＝________________ 1．判断正误 (1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1.(　　) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(　　) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(　　) 2．(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3} B．{3，4，9} C．{1，2，3，4} D．{2，3，4，5} 解析：由题意可知B＝{0，1，2，3，4，8}，A∩B＝{1，2，3，4}，故选C. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． eq \f(2,3) D．－1 解析：依题意，a－2＝0或2a－2＝0， 当a－2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 当2a－2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意．故选B. 4．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A.{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} 解析：由集合的运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}． 5．(2023·天津卷)已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则(∁UB)∪A＝(　　) A．{1，3，5} B．{1，3} C．{1，2，4} D．{1，2，4，5} 解析：U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}， 则∁UB＝{3，5}，故(∁UB)∪A＝{1，3，5}．故选A. 6．(忽视空集讨论致误)已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 答案：0或1或－1　 解析：易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1. 1.(2025·常州模拟)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝ eq \r(3) x＋4}，则A∩B中元素的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：∵集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|y＝ eq \r(3) x＋4}， 把y＝ eq \r(3) x＋4代入x2＋y2＝4，得x2＋2 eq \r(3) x＋3＝0，解得x＝－ eq \r(3) ，有唯一解，故集合A∩B中元素的个数为1. 2．设集合A＝{x|x(x－4)(x－5)＝0}，则集合A的非空真子集的个数是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意，A＝{0，4，5}，故A的非空真子集个数为23－2＝6.故选B. 3．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m，n}，若3－m∈A，n＋1∈A，则非零实数m＋n的可能取值构成的集合是________． 答案：{2}　 解析：因为3－m∈A，所以3－m＝1或3－m＝2或3－m＝3， 解得m＝2或m＝1或m＝0. 因为n＋1∈A，所以n＋1＝1或n＋1＝2或n＋1＝3， 解得n＝0或n＝1或n＝2. 又B＝{1，m，n}，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝0)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝2，)) 即m＋n＝2. 与集合中元素有关问题的求解思路 (1)确定集合的元素特征，即集合是数集还是点集． (2)看清元素的限制条件． (3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性． 【例1】 (1)(2024·泰安二模)设全集U＝R，则集合M＝{0，1，2}和N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}的关系可表示为(　　) (2)(2024·吉安期中)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则使B⊆A成立的实数m的取值范围是________． 答案：(1)A　(2)(－∞，4]　 解析：(1)因为N＝{x|x·(x－2)·log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集．故选A. (2)①当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时B⊆A成立，符合题意． ②当B≠∅时，要使B⊆A，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤7，)) 解得2≤m≤4. 综上，实数m的取值范围是(－∞，4]. 【变式探究】 在本例(2)中，若把“B⊆A”改为“A⊆∁UB”，则实数m的取值范围是________． 答案： (－∞，2)∪ (6，＋∞)　 解析：①当B≠∅时，则m＋1≤2m－1，即m≥2， 因为集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 所以∁UB＝{x|x＜m＋1或x＞2m－1}． 又A⊆∁UB，则m＋1＞7或2m－1＜－2， 解得m＞6或m<－ eq \f(1,2) ，又m≥2，所以m＞6. ②当B＝∅时，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时∁UB＝R，符合题意． 综上所述，实数m满足m＞6或m＜2. 判断集合间关系的常用方法 列举法 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，找出集合之间的关系 结构法 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断 数轴法 在同一个数轴上表示出两个集合(集合为数集)，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系 【练1】 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合A＝{－1，2}，B＝{x|ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为________． 答案： eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( 0，\f (1,2)，2)) 　 解析：当a＝0 时，B＝∅，此时满足B⊆A，则A，B集合构成“鲸吞”；当a>0 时，B＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\r(\f(2,a))，\r(\f(2,a)))) ，此时A，B 集合只能构成“蚕食”关系， 所以当A，B 集合有公共元素－ eq \r(\f(2,a)) ＝－1 时，解得a＝2，当A，B 集合有公共元素 eq \r(\f(2,a)) ＝2 时，解得a＝ eq \f(1,2) ，故a 的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( 0，\f (1,2)，2)) . 【练2】 (2025·张家口模拟)若x∈A，且 eq \f(1,x) ∈A，则称A是伙伴关系集合，集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3，4)) 的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为__________． 答案：15　 解析：因为1∈A， eq \f(1,1) ＝1∈A； －1∈A， eq \f(1,－1) ＝－1∈A； 2∈A， eq \f(1,2) ∈A；3∈A， eq \f(1,3) ∈A； 这样所求集合即由1，－1，“3和 eq \f(1,3) ”，“2和 eq \f(1,2) ”这“四大”元素所组成的集合的非空子集， 所以满足条件的集合的个数为24－1＝15. 角度1　集合交、并、补运算 【例2】 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} (2)(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U(M∪N)＝(　　) A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k－1，k∈Z} C．{x|x＝3k－2，k∈Z} D．∅ 解析：(1)方法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－ eq \r(3,5) <x< eq \r(3,5) }，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 方法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A， 3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. (2)∵A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}， ∴A∪B＝{x|x＝3k＋1或x＝3k＋2，k∈Z}． 又U为整数集， ∴∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}．故选A. 集合基本运算问题的解题策略 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． (3)数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和Venn图． 【练3】 (2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x| eq \r(x) ∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 【练4】 (2025·八省高考综合改革适应性演练)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} 解析：由题意可得A∩B＝{0，1}． 角度2　利用集合的运算求参数的值或取值范围 【例3】 (1)(2025·岳阳质量检测)已知集合A＝{x|x－1≤0}，B＝{x|x≥a}．若A∪B＝R，则实数a的值不可以为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 (2)(2025·郑州模拟)已知集合A＝{x|x2＋x－2＜0}，B＝{x|x＋m＞0}，且A∪B＝{x|x>－2}，则m的取值范围为(　　) A．[－1，2] B．[－2，1] C．(－1，2] D．[－2，1) 解析：(1)因为A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，所以实数a≤1，所以a的值不可以为2.故选A. (2)∵A＝{x|x2＋x－2＜0}＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＋m＞0}＝{x|x＞－m}，A∪B＝{x|x>－2}，∴－2≤－m＜1，∴－1＜m≤2，∴m的取值范围为(－1，2]. 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． (2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 【例4】 (1)(2025·临沂模拟)定义集合P＝{p|a≤p≤b}的“长度”是b－a，其中a，b∈R.已知集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(m≤x≤m＋\f(1,2))))) ，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(n－\f(3,5)≤x≤n)))) ，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________． (2)(2025·青岛模拟)设P，Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙ ”：P⊙Q＝{x|x∈P∪Q，且x∉P∩Q}，如果P＝{y|y＝ eq \r(4－x2) }，Q＝{y|y＝4x，x>0}，则P⊙Q＝ ____________． 答案：(1) eq \f(1,10) 　(2)[0，1]∪(2，＋∞)　 解析：(1)因为集合M＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(m≤x≤m＋\f(1,2))))))) ，N＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1( x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(n－\f(3,5)≤x≤n)))))) ，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(m≥1，,m＋\f(1,2)≤2，)))) 可得1≤m≤ eq \f(3,2) ；由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\ (\a\vs4\al\co1(n－\f(3,5)≥1，,n≤2，)))) 可得 eq \f(8,5) ≤n≤2.所以集合M∩N的“长度”的最小值是 eq \f(8,5) － eq \f(3,2) ＝ eq \f(1,10) . (2)对于集合P，y＝ eq \r(4－x2) ，x∈[－2，2]，y∈[0，2]，即P＝{y|0≤y≤2}，对于集合Q，y＝4x，x∈(0，＋∞)，y∈(1，＋∞)，即Q＝{y|y>1}． P∩Q＝{y|1<y≤2}，P∪Q＝{y|y≥0}， 则P⊙Q＝[0，1]∪(2，＋∞). 解决以集合为背景的新定义问题的两个注意点 (1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并应用到具体的解题过程之中． (2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素． 【练5】 (2024·北京房山一模)已知U是非空数集，若非空集合A1，A2满足以下三个条件，则称(A1，A2)为集合U的一种真分拆，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为集合U的同一种真分拆． ①A1∩A2＝∅； ②A1∪A2＝U； ③Ai(i＝1，2)的元素个数不是Ai 中的元素． 则集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆的种数是(　　) A．5 B．6 C．10 D．15 解析：由题意，集合U＝{1，2，3，4，5，6}的真分拆有A1＝{5}，A2＝{1，2，3，4，6}；A1＝{1，4}，A2＝{2，3，5，6}；A1＝{3，4}，A2＝{1，2，5，6}；A1＝{4，5}，A2＝{1，2，3，6}；A1＝{4，6}，A2＝{1，2，3，5}，共5种，故选A. 【练6】 (多选)(2025·白山高三模拟)若对任意x∈A， eq \f(1,x) ∈A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是(　　 ) A．{－1，1} B．{ eq \f(1,2) ，2} C．{x|x2>1} D．{x|x>0} 解析：对于集合{1，－1}，当x＝1时， eq \f(1,x) ＝1，当x＝－1时， eq \f(1,x) ＝－1显然符合题意； 对于集合{ eq \f(1,2) ，2}，x＝2时， eq \f(1,x) ＝ eq \f(1,2) ，当x＝ eq \f(1,2) 时， eq \f(1,x) ＝2，显然符合题意； {x|x>0}，任取x>0，则 eq \f(1,x) >0，显然符合题意； {x|x2>1}＝{x|x>1或x<－1}， 取x＝2时， eq \f(1,2) ∉A，C选项不符合题意． 故选ABD. $$