第04讲 全等三角形及其性质 （知识清单+3大题型+好题必刷）（讲义）满分全攻略备课系列-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第04讲 全等三角形及其性质 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 知识清单 知识点1、全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 知识点2、全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点3、全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 图形语言：如图14.1 -4所示. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 题型方法 【题型一】图形的全等 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）下列各组中的两个字母，是全等形的一组是（    ） A．A a B．B b C．C C D．D d 【举一反三】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”） 3．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【题型二】全等三角形的概念 【例2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【题型三】全等三角形的性质 【例3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 2．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，A与，B与是对应点，周长为，则 ， ． 3．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 好题必刷 一、单选题 1．下列图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，与所给图案是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 4．如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（    ） A．50° B．60° C．65° D．120° 5．已知的三边长分别为4，7，8，的三边长分别为4，，．若这两个三角形全等，则的值为（    ） A．1 B．2.5 C．3 D．4 6．如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是 （    ） A．x B．180°2x C．180°x D．2x 7．如图，已知（　　）    A． B． C． D． 8．如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是(　　) A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 10．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”） 12．如图，，，，，则的周长为 ． 13．如图，，若，，，则的度数为 °． 14．如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 15．如图，，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．    三、解答题 16．如图，已知．说出它们的对应边和对应角． 17．如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 19．如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点．请在图中画出四边形，它与平行四边形有什么关系？ 20．如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 全等三角形及其性质 （知识清单+3大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形的全等 题型二 全等三角形的概念 题型三 全等三角形的性质 知识清单 知识点1、全等形 1. 定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等变换的常见方式：平移、翻折、旋转. 知识点2、全等三角形 1. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点3、全等三角形的性质 1. 性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 图形语言：如图14.1 -4所示. 2. 拓展：全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 题型方法 【题型一】图形的全等 【例1】（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）下列各组中的两个字母，是全等形的一组是（    ） A．A a B．B b C．C C D．D d 【答案】C 【知识点】图形的全等 【分析】本题主要考查了全等的性质，熟练掌握全等的性质是解题的关键． 根据大小、性质均相同的图形是全等形即可判断． 【详解】解：全等指大小和形状完全相同， A．大小、形状均不同，故本项不符合题意； B．大小、形状均不同，故本项不符合题意； C．大小、形状均相同，故本项符合题意； D．大小、形状均不同，故本项不符合题意； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列图形中，是全等图形的是（　　） A．a，b，c，d B．a与b C．b，c，d D．a与c 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，掌握全等的定义是解题的关键．根据全等形的定义：能够完全重合的两个图形是全等形对各图形进行判断． 【详解】解：考虑三角形的阴影，图形顺时针旋转可得到图形， 因此，与是全等图形， 故选：D． 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查的是全等图形的概念，根据能够互相重合的两个图形是全等形可得答案． 【详解】解：由全等形的概念可知：由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片，大小一样，所以是全等图形； 故答案为：是 3．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）沿图中的虚线画线，把下面的图形划分为两个全等的图形（用二种不同方法）：    【答案】见解析 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了查全等图形的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据全等图形的定义：对应边都相等，对应角都相等的图形进行构造即可． 【详解】解：如图所示：    【题型二】全等三角形的概念 【例2】（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，，点和是对应点，点和是对应点，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念即可判断，正确找出对应边，对应角是解题的关键． 【详解】解：∵，点和是对应点，点和是对应点， ∴的对应角是， 故选：． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）若，则的对应边是 ． 【答案】/ 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查了全等三角形的概念，根据全等三角形的概念判断即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是， 故答案为：． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图所示，已知，指出它们的对应边和对应角．    【答案】见解析 【知识点】全等三角形的概念 【分析】根据全等三角形的概念，正确的确定对应边和对应角即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是， 的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题考查全等三角形的概念．熟练掌握全等三角形对应边和对应角的概念，是解题的关键． 【题型三】全等三角形的性质 【例3】（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，与相交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：由全等三角形的性质可得． 故选：A． 【举一反三】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 2．（23-24八年级上·广东汕头·期中）已知，A与，B与是对应点，周长为，则 ， ． 【答案】 2 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，属于简单题，熟练掌握全等三角形的性质，注意求边长时要在同一个三角形中进行是解题关键． 根据全等三角形的对应边相等，周长也相等，可求出的长，做题时要根据已知，找准对应边． 【详解】解：∵，A与，B与是对应点，C与是对应点， ∴，， 在中，周长为， ∴， 即． 故答案为：，2． 3．（24-25八年级上·贵州·阶段练习）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)5 【知识点】全等三角形的性质 【分析】此题考查了全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质得到，即可判定； （2）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．下列图形是全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的两个图形是全等形，根据全等形的定义对各图形进行判断即可．掌握全等的性质是解题的关键． 【详解】解：A．两个图形不全等，故此选项不合题意； B．两个图形不全等，故此选项不符合题意； C．两个图形不全等，故此选项不合题意； D．两个图形全等，故此选项符合题意． 故选：D． 2．如图，与所给图案是全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义即可得． 【详解】解：由全等图形的定义可知，与所给图案是全等图形的是选项C， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等图形，解题的关键是熟记全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形． 3．如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则下列结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC．其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可． 【详解】解：∵△ABC≌△AEF， ∴AC=AF，EF=BC，∠EAF=∠BAC，故①③正确； ∵∠EAF=∠BAC， ∴∠FAC=∠EAB≠∠FAB，故②错误，④正确； 综上所述，结论正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，准确确定出对应边和对应角是解题的关键． 4．如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（    ） A．50° B．60° C．65° D．120° 【答案】B 【分析】根据得到∠D=∠A=36°，运用三角形外角性质得到∠DEC=∠D+∠F=60°． 【详解】∵， ∴∠D=∠A=36°， ∴∠DEC=∠D+∠F=60°． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形，三角形外角，熟练掌握全等三角形角的性质和三角形外角性质是解决此题的关键． 5．已知的三边长分别为4，7，8，的三边长分别为4，，．若这两个三角形全等，则的值为（    ） A．1 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得出对应边相等，然后分两种情况分析求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴对应边相等， ①当时， 解得：，此时，不符合题意； ②当时， 解得：，此时，符合题意； ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查全等三角形的性质及解一元一次方程，根据题意进行分类讨论求解是解题关键． 6．如图，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC△，△AEB△，且BC，记BE，CD交于点F，若∠BAC=x°，则∠BFC的大小（用含x的式子表示）是 （    ） A．x B．180°2x C．180°x D．2x 【答案】B 【点睛】延长交AC于M，如图，根据全等的性质得∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x，再利用三角形外角性质得∠=∠+∠=∠+2x，接着利用得到∠AEB=∠，而根据三角形内角和得到∠=180°-∠-x，则∠+2x=180°-∠-x，所以∠+∠=180°-3x，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC=∠C=x+∠+∠，所以∠BFC=180°-2x． 【详解】解：延长交AC于M，如图， ∵△ADC△，△AEB△， ∴∠=∠ACD，∠=∠CAD=∠=x， ∴∠=∠+∠=∠+2x， ∵， ∴∠AEB=∠， ∵∠=180°∠∠=180°∠-x， ∴∠+2x=180°-∠x， ∴∠+∠=180°3x， ∵∠BFC=∠BDF+∠DBF =∠BDF+∠ =x+∠ACD+∠ =x+∠+∠ =x+180°3x =180°2x． 故选：B． 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质． 7．如图，已知（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据，得到，然后根据三角形内角和求的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 8．如图，如果，且点D在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的外角性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．根据全等三角形的对应角相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 9．如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是(　　) A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′ 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵△ABC≌△A′B′C， ∴， ∴， ∴∠BCB′＝∠ACA′，故A正确； ∵△ABC≌△A′B′C， ∴， ∴， ∵， ∴∠ACB＝2∠B，故B正确； ∵△ABC≌△A′B′C， ∴， ∵无法判断和是否相等， ∴∠B′CA和∠A不一定相等， ∴∠B′CA和∠B′AC不一定相等，故C错误； ∵△ABC≌△A′B′C， ∴， ∵， ∴， 即B′C平分∠BB′A′，故D正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 10．如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 二、填空题 11．由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片的图案 全等形．（填“是”或“不是”） 【答案】是 【分析】本题考查的是全等图形的概念，根据能够互相重合的两个图形是全等形可得答案． 【详解】解：由全等形的概念可知：由同一张底片冲洗出来的两张五寸照片，大小一样，所以是全等图形； 故答案为：是 12．如图，，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质求出，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质．掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 13．如图，，若，，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点，全等三角形的对应角相等，对应边相等．首先根据三角形内角和定理求出，然后根据全等三角形的性质得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，，若的面积为，的面积为2，则的面积为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了全等三角形的性质、与三角形中线有关的面积的计算，由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，，．，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为．设点Q的运动速度为，若使得与全等，则x的值为 ．    【答案】或2 【分析】根据题意进行分类讨论：当时，当时，结合全等三角形的性质，即可解答． 【详解】解：当时， ∵与全等， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时， ∵与全等， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， 综上：x的值为或2． 故答案为：或2． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等． 三、解答题 16．如图，已知．说出它们的对应边和对应角． 【答案】的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是，的对应角是 【分析】根据全等三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的对应边是，的对应边是，的对应边是，的对应角是，的对应角是，的对应角是． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的性质是解题的关键． 17．如图，，和，和是对应边，点在边上，与交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握以上知识，数形结合分析方法是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得，由即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，根据三角形内角和定理可得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ， ． 18．如图所示，，，三点在同一条直线上，且， (1)证明：． (2)探究当满足什么条件时，？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)满足时，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等的应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 即； （2）解：满足时，， 理由是：， ， ， ． 19．如图，平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点．请在图中画出四边形，它与平行四边形有什么关系？ 【答案】图见解析；全等 【分析】本题考查了平移的性质． 先根据坐标变化画出图形，再根据图形作答即可． 【详解】∵平行四边形四个顶点的坐标分别是．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点， ∴四边形如图所示： 可知四边形与平行四边形全等． 20．如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．      (1)直接填空：与的位置关系是__________； (2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值； (3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？ 【答案】(1) (2)9 (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断； （2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可； （3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答． 【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，在上取点，使得，连接， 根据对称的性质，，    ∴， 要求的最小值，求的最小值即可， ∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值， 此时，如图所示，    由对称的性质，， ∵取得最小值时，， ∴， 即：，解得：， ∴的最小值为9； （3）解：①当时，； ∵由翻折变换的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由翻折的性质，当时，． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$