课时作业(69) 离散型随机变量的分布列及数字特征（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(六十九)　离散型随机变量的分布列及数字特征

[基础保分练]

1．(2025·常州模拟)下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数a的值是(　　)

A．    B．    C．    D．

答案：C

2．(2025·烟台高三模拟)口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)

A．    B．    C．2    D．

答案：D

3．(2024·宁波三模)已知随机变量ξ1和ξ2的分布列如下表：

则有(　　)

A．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)

D．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)

答案：A

4．某实验测试的规则如下：每位学生最多可做3次实验，一旦实验成功，则停止实验，否则做完3次为止．设某学生每次实验成功的概率为p(0<p<1)，实验次数为随机变量X，若X的数学期望E(X)>1.39，则p的取值范围是(　　)

A．(0，0.6)     B．(0，0.7)   

C．(0.6，1)     D．(0.7，1)

答案：B

5．(2025·邢台高三月考)随机变量X的分布列如下：

当D(X)取到最大值时，b＝(　　)

A．     B．

C．     D．

答案：C

6．(多选)设离散型随机变量X的概率分布列为

则下列各式正确的是(　　)

A．P(X＝1.5)＝0     B．P(X>－1)＝1

C．P(2<X<4)＝     D．P(X<0)＝

答案：AC

7．(多选)已知投资A，B两种项目获得的收益分别为X，Y，其分布列如下表，则(　　)

A.m＋n＝0.5

B．E(2X＋1)＝4

C．投资两种项目的收益期望一样多

D．投资A项目的风险比B项目高

答案：ACD

8．若随机变量X的分布列如下表所示：

则a2＋b2的最小值为________．

答案：　解析：由分布列的性质，知＋a＋＋b＝1，即a＋b＝.

因为a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝－2ab≥－2×＝，当且仅当a＝b＝时取等号.

所以a2＋b2的最小值为.

9．袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回地从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则E(X)＝________．

答案：0　解析：由题意可得X的取值可能为0，1，－1，2，－2，P(X＝0)＝＋×××2＋××××6＝，P(X＝1)＝P(X＝－1)＝×＋××××3＝，P(X＝2)＝P(X＝－2)＝××＝，

故E(X)＝0×＋1×＋(－1)×＋2×＋(－2)×＝0.

10．(2022·北京卷)在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；

丙：9.85，9.65，9.20，9.16.

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．

(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；

(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；

(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)

解：(1)由题意可知甲获得优秀的概率为0.4.

(2)乙获得优秀奖的概率为0.5.丙获得优秀奖的概率为0.5.设甲获得优秀奖为事件A1，乙获得优秀奖为事件A2，丙获得优秀奖为事件A3，

P(X＝0)＝P(123)＝0.6×0.5×0.5＝，

P(X＝1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝，

P(X＝2)＝P(A1A23)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×