课时作业(68) 事件的独立性、条件概率与全概率公式（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(六十八)　事件的独立性、条件概率与全概率公式 [基础保分练] 1．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：D 2．(2025·武昌模拟)甲、乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从橙汁、苹果汁、芒果汁这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响．记事件A＝“甲选择苹果汁”，事件B＝“甲和乙选择的饮品不同”，则P＝(　　) A． B． C． D． D　解析：事件A＝“甲选择苹果汁”，则P(A)＝， 事件B＝“甲和乙选择的饮品不同”， 则事件AB＝“甲选择苹果汁，乙选择的是橙汁或芒果汁”， 所以P(AB)＝×＝， 所以P＝＝. 3．(2025·江西模拟)某大学选拔新生补充进“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”“电子竞技”“国学”三个社团的概率依次为m，，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m＞n，则m＋n＝(　　) A． B． C． D． 答案：C 4．(2024·长沙一模)甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以A1，A2分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是(　　) A．A1，A2互斥 B．P(B|A1)＝ C．P(A2B)＝ D．P(B)＝ 答案：C 5．(2025·吉林模拟)某射击小组共有25名射手，其中一级射手5人，二级射手10人，三级射手10人，若一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9，0.8，0.4，则任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率为(　　) A．0.48 B．0.66 C．0.70 D．0.75 答案：B 6．(多选)(2025·潍坊模拟)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若甲同学必选物理，则下列说法正确的是(　　) A．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B．甲同学不同的选法共有15种 C．已知乙同学选了物理，则乙同学选技术的概率是 D．乙、丙两名同学都选物理的概率是 答案：BD 7．(多选)(2024·济南一模)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 答案：BCD 8．(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为________；将三个盒子中的球混合后任取一个球，是白球的概率为________． 答案：　　解析：通解　设A＝“从甲盒子中取一个球，是黑球”，B＝“从乙盒子中取一个球，是黑球”，C＝“从丙盒子中取一个球，是黑球”，由题意可知P(A)＝40%＝，P(B)＝25%＝，P(C)＝50%＝，现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝；设D1＝“取到的球是甲盒子中的”，D2＝“取到的球是乙盒子中的”，D3＝“取到的球是丙盒子中的”，E＝“取到的球是白球”，由题意可知P(D1)＝＝，P(D2)＝＝，P(D3)＝＝，P(E|D1)＝1－＝，P(E|D2)＝1－＝，P(E|D3)＝1－＝，所以P(E)＝P(D1E＋D2E＋D3E)＝P(D1E)＋P(D2E)＋P(D3E)＝P(D1)P(E|D1)＋P(D2)P(E|D2)＋P(D3)P(E|D3)＝×＋×＋×＝. 优解　设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5，4，6，其中甲盒子中黑球的个数为2，白球的个数为3；乙盒子中黑球的个数为1，白球的个数为3；丙盒子中黑球的个数为3，白球的个数为3.则从三个盒子中各取一个球，共有5×4×6种结果，其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果，所以取到的三个球都是黑球的概率为＝；将三个盒子中的球混合在一起共有5＋4＋6＝15(个)球，其中白球共有3＋3＋3＝9(个)，所以混合后任取一个球，共有15种结果，其中取到白球有9种结果，所以混合后任取一个球，是白球的概率为＝. 9．(2025·安徽模拟)已知甲盒装有3个红球，m个白球，乙盒装有3个红球，1个白球，丙盒装有2个红球，2个白球，这些球除颜色以外完全相同．先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是，则m＝________． 答案：4　解析：从甲盒中随机取一个球，取得白球的概率是P1＝， 从乙盒中随机取一个球，取得白球的概率是P2＝， 从丙盒中随机取一个球，取得白球的概率是P3＝， 因为随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球， 取得白球的概率是，所以·(P1＋P2＋P3)＝×＝， 解得m＝4. 10．(2025·广东东莞四中模拟)某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件． (1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量； (2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率； (3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？ 解：(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a， 则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8－a， 由已知可得600a＋800×(0.8－a)＋500×0.2＝640，解得a＝0.5. 所以需要从甲厂订购配件M的数量为 10×0.5＝5(万个)； 从乙厂订购配件M的数量为 10×(0.8－0.5)＝3(万个). (2)由(1)知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2， 所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为0.5×0.04＋0.3×0.02＋0.2×0.01＝0.028， 所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028. (3)设A＝“该轿车使用了次品配件M”，B1＝“配件M来自甲厂”，B2＝“配件M来自乙厂”，B3＝“配件M来自本厂”．由(2)可知P(A)＝0.028.该次品配件M来自甲厂的概率为P(B1|A)＝＝＝＝，该次品配件M来自乙厂的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，该次品配件M来自本厂的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，所以甲厂应承担的费用为14 000×＝10 000(元)，乙厂应承担的费用为14 000×＝3 000(元)，本厂应承担的费用为14 000×＝1 000(元). [技能提分练] 11．设A，B是两个随机事件，且A发生B必定发生，0<P(A)<1，0<P(B)<1，给出下列各式，其中正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(A) B．P(A|B)＝ C.P(A＋B)＝P(B) D．P(AB)＝P(B) 答案：C 12．(多选)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是(　　) A．P(B)＝ B．P(B|A1)＝ C．事件B与事件A1相互独立 D．A1，A2，A3是两两互斥的事件 答案：BD 13．对于正方体6个面的中心，甲，乙两人分别从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率等于(　　) A． B． C． D． 答案：A 14．(2023·张家口模拟)已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为__________． 答案：　解析：设A1，A2，A3分别为从乙盒中任取两球是两红、两白、一红一白的两两互斥事件， 事件B为最终取到的球是白球， 由全概率公式得P(B)＝(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝. 15．(2025·连云港模拟)甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球．先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球． (1)求第一次取出的球为红球的概率； (2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 解：(1)设第一次取出的球为红球为事件A，取到甲袋、乙袋、丙袋为事件B1，B2，B3，则P(B1)＝P(B2)＝P(B3)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝×＋×＋×＝.故第一次取出的球为红球的概率是. (2)设第二次取出的球是白球为事件C，由全概率公式可得 P(AC)＝P(AC|B1)P(B1)＋P(AC|B2)P(B2)＋P(AC|B3)P(B3)＝××＋××＋××＝， 所以P(C|A)＝＝＝. 故第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$