课时作业(67) 随机事件的概率与古典概型（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(六十七)　随机事件的概率与古典概型 [基础保分练] 1．(多选)(2025·海南东方高考数学质检)下列说法正确的有(　　) A．对任意的事件A，都有P(A)>0 B．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 C．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0 D．若事件A⊆事件B，则P(A)≤P(B) 答案：BCD 2．某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生” (　　) A．是对立事件 B．都是不可能事件 C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件 答案：D 3．在二行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点).开始时，骰子如图1摆放，朝上的点数是3，最后翻动到如图2所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上的点数为1的概率为(　　) A． B． C． D． 答案：B 4．(2025·安阳模拟)为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更高质量就业，教育部今年实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及全部3家用人单位的概率为(　　) A． B． C． D． D　解析：因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有C＋C＝3＋1＝4种选择， 所以甲、乙两所高校共有4×4＝16种选择， 其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有C＝3种， 所以甲、乙两所高校的选择涉及全部3家用人单位的概率为P＝1－＝. 5．(2025·福州模拟)口袋里装有1红，2白，3黄共6个形状相同的小球，从中取出2球，事件A＝“取出的两球同色”，事件B＝“取出的2球中至少有一个黄球”，事件C＝“取出的2球至少有一个白球”，事件D＝“取出的2球不同色”，事件E＝“取出的2球中至多有一个白球”，则下列判断正确的是(　　) A．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) B．P(C)＋P(D)＝1 C．P(C∪E)＝1 D．P(B)＝P(C) 答案：C 6．(多选)支气管炎患者会咳嗽气喘，给患者日常生活带来严重的影响．某医院老年患者治愈率为20%，中年患者治愈率为30%，青年患者治愈率为40%.该医院共有600名老年患者，500名中年患者，400名青年患者，则(　　) A．若从该医院所有患者中抽取容量为30的样本，老年患者应抽取12人 B．该医院青年患者所占的频率为 C．该医院的平均治愈率约为28.7% D．该医院的平均治愈率约为31.3% 答案：ABC 7．(多选)(2025·江苏南通海安高级中学调研)以下对各事件发生的概率判断正确的是(　　) A．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为 B．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为 C．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率为 D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率为 答案：BCD 8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1，2，4组的频数分别为6，7，9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双． 答案：60　解析：∵第1，2，4组的频数分别为6，7，9， ∴第1，2，4组的频率分别为＝0.15，＝0.175, ＝0.225. ∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2， ∴售出的这300双皮鞋中含尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双). 9．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介： 院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝丫不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是________． 答案：　解析：依题意，基本事件的总数为A＝24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A包含1×A＝6个样本点； ②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含2×2×A＝8个样本点． 综上，A包含6＋8＝14个样本点， 所以P＝＝. 10．某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表： 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中满意率是指某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值． (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，求这个客户不满意的概率； (2)从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率． 解：(1)由题表中数据知，Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6，则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人，这个客户不满意的概率为1－0.6＝0.4. (2)由题意知，回访客户的总人数是250＋100＋200＋700＋350＝1 600，回访客户中满意的客户人数是250×0.5＋100×0.3＋200×0.6＋700×0.3＋350×0.2＝125＋30＋120＋210＋70＝555，所以回访客户中客户的满意率为＝，所以从所有客户中随机选取1个人，估计这个客户满意的概率为. [技能提分练] 11．口袋中装有编号为①，②的2个红球和编号为①，②，③，④，⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是(　　) A．A与B互斥 B．A与B对立 C．P(A＋B)＝ D．P(AB)＝ 答案：C 12．(多选)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等).现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．则下列说法正确的是(　　) A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大 C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平 答案：BD 13．(多选)某商场为了促进销售，对于进入商场的人员，可以进入商场掷骰子进行奖励，规定每位进入商场的人员可以随机投掷一颗质地均匀的正方体的骰子，每面上分别写着1，2，3，4，5，6，随机投掷该骰子三次，三次投掷向上点数分别为a1，a2，a3，若满足|a1－a2|＋a3＝1，|a1－a2|＋a3＝2，|a1－a2|＋a3＝3，分别为一等奖，二等奖，三等奖，只有这三种奖项，则(　　) A．中一等奖的概率为 B．中二等奖的概率为 C．中三等奖的概率为 D．没有中奖的概率为 答案：AC 14．现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三所学校支教，每所学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为________． 答案：　解析：将5名学生按1∶1∶3和1∶2∶2分成3组的不同分法有C＋＝10＋＝25(种)， 因此5名学生按每个学校至少去1人，分配到甲、乙、丙三校的不同分法数为25A＝150， 恰好有2名学生分配到甲校的不同分法数为CCA＝60， 所以恰好有2名大学生分配到甲校的概率P＝＝. 15．(2024·嘉兴模拟)某中学进行篮球定点投篮测试，规则为：每人投篮三次，先在A处投一次三分球，投进得3分，未投进得0分，然后在B处投两次两分球，每投进一次得2分，未投进得0分，测试者累计得分高于3分即通过测试．甲同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每轮在A处和B处各投10次，根据统计甲同学各轮三分球和两分球的投进次数如下图表： 若以五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率，求甲同学通过测试的概率． 解：依题意甲同学两分球投篮命中的概率为 P＝＝0.6， 甲同学三分球投篮命中的概率为 P＝＝0.3， 设甲同学累计得分为X，则P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＋P(X＝7)＝(1－0.3)×0.6×0.6＋C×0.3×0.6×(1－0.6)＋0.3×0.6×0.6＝0.504， ∴甲同学通过测试的概率为0.504. 16．(2025·四川模拟)某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在[80，100]内为优秀，成绩低于60分为不及格． (1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求； (2)若样本中成绩优秀的男生为5人，现从样本的优秀答卷中随机选取3份做进一步分析，求其中至少有1份是男生的概率． 解：(1)由频率分布直方图得(0.004＋a＋0.011＋0.036＋0.023＋0.014＋a)×10＝1， 解得a＝0.006， 成绩不及格的频率为(0.004＋0.006＋0.011)×10＝0.21， ∴“成绩不及格”的概率估计值为21%. ∵21%＞20%， ∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20%”的要求． (2)方法一　样本中成绩优秀有100×(0.014＋0.006)×10＝20人，其中男生5人，故女生15人， 记事件A＝“从样本的优秀答卷中随机选取3份做进一步分析，求其中至少有1份是男生”， 则P(A)＝ ＝＝， ∴所求概率P为. 方法二　样本中成绩优秀的有100×(0.014＋0.006)×10＝20人，其中男生5人，故女生15人， 记事件A＝“从优秀答卷中随机选取3份，其中至少有1份是男生”， 则＝“从优秀答卷中随机选取3份，全是女生”， 则P＝＝＝， ∴P(A)＝1－P＝， ∴所求概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$