课时作业(30) 正弦定理、余弦定理及应用举例（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(三十)　正弦定理、余弦定理及应用举例 [基础保分练] 1．(2025·镇海模拟)在△ABC中，A＝30°，BC＝1，则△ABC外接圆的半径为(　　) A．1 B． C．2 D．3 答案：A 2．(2025·芜湖模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a cos A＋b cos (A＋C)＝0，则△ABC为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 答案：D 3．(2024·北京昌平二模)在△ABC 中，B＝45°，c＝4，只需添加一个条件，即可使△ABC 存在且唯一．在条件：①a＝3；②b＝2；③cos C＝－中，所有可以选择的条件的序号为(　　) A．① B．①② C．②③ D．①②③ 答案：B 4．(2025·北京101中学模拟)岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14 m，则岳阳楼的高度CD 约为(≈1.414，≈1.732)(　　) A．18 m B．19 m C．20 m D．21 m 答案：B 5．(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． 答案：B 6．(多选)△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝(3b－c)sin B，且cos A＝，则下列结论正确的是(　　) A．a＋c＝3b B．tan A＝2 C．△ABC的周长为4c D．△ABC的面积为a2 答案：ABD 7．(多选)在△ABC中各角所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有(　　) A．＝＝，则△ABC 为等边三角形 B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝60° C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的度数为30° D．在a＝5，A＝60°，b＝4的条件下，解三角形有两解 答案：ABC 8．(2024·北京二模)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，则能使＝成立的一组A，B的值是________． 答案：A＝B＝(答案不唯一)　解析：由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B， ∵＝，∴＝， ∴sin A cos A＝sin B cos B， ∴sin 2A＝sin 2B， ∵A∈(0，π)，B∈(0，π)，∴A＝B＝，或2A＋2B＝π，A＋B＝(答案不唯一). 9．(2025·泰州模拟)在锐角△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知BC 边上的高等于a. (1)求证：sin A＝sin B sin C； (2)若∠BAC＝45°，求＋的值． (1)证明：设BC 边上的高为AD，则AD＝b sin C， 所以a＝b sin C， 由正弦定理得sin A＝sin B sin C. (2)解：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos 45°＝b2＋c2－bc， 因为bc sin 45°＝a·a，所以a2＝bc， 所以bc＝b2＋c2－bc，即b2＋c2＝bc，所以＋＝. [技能提分练] 10．(多选)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　) A．若tan A＋tan B＋tan C>0，则△ABC是锐角三角形 B．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形 C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形 D．若＝＝，则△ABC是等边三角形 答案：ACD 11．(多选)(2024·石家庄模拟)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c 求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝.现有△ABC 满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，且△ABC的面积S△ABC＝6，请运用上述公式判断下列命题正确的是(　　) A．△ABC 周长为10＋2 B．△ABC 三个内角A，C，B 成等差数列 C．△ABC 外接圆直径为 D．△ABC 中线CD的长为3 答案：ABC 12．(2022·全国甲卷)已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当取得最小值时，BD＝________． 答案：－1　解析：如图所示，设CD＝2BD＝2m>0， 则在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m， 在△ACD中， AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m， 所以＝＝＝4－≥4－＝4－2，当且仅当m＋1＝，即m＝－1时，等号成立， 所以当取最小值时，m＝－1. 13．(2024·南宁二模)已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(b－a)(sin B＋sin A)＝(b－c)·sin C. (1)求A； (2)从下列条件中：①a＝；②S△ABC＝ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)因为(b－a)(sin B＋sin A)＝(b－c)sin C， 由正弦定理得(b－a)(b＋a)＝(b－c)c，即b2＋c2－a2＝bc， 由余弦定理得cos A＝＝，A∈(0，π)， 所以A＝. (2)选择①a＝.由正弦定理＝＝＝2， 即△ABC周长l＝2sin B＋2sin C＋＝2sin B＋2sin ＋＝3sin B＋cos B＋＝2sin (B＋)＋， ∵ B∈， ∴<B＋<，<sin ≤1， 即△ABC周长的取值范围为(2，3]. 选择②S△ABC＝，得S△ABC＝bc sin A＝bc＝， 得bc＝4. 由(1)得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－12， 即△ABC周长l＝a＋b＋c＝＋b＋c， ∵b＋c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， ∴ l＝a＋b＋c≥＋4＝6，即△ABC周长的取值范围是[6，＋∞). 14．(2025·深圳模拟)在一水域上建一个演艺广场．演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台Ⅰ，看台Ⅱ分别是以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍；矩形表演台BCDE中，CD＝10 m；三角形水域ABC的面积为400 m2.设∠BAC＝θ. (1)当θ＝时，求BC的长； (2)若表演台的造价为0.3万元/m2，求表演台的最低造价． 解：因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍， 所以AB＝AC. 在△ABC中，S△ABC＝AB·AC·sin θ＝400， 所以AC2＝. 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos θ＝4AC2－2AC2·cos θ＝－2·cos θ＝1 600·， 即BC＝40，θ∈(0，π). (1)当θ＝时，BC＝40＝40 m. (2)设表演台的总造价为W万元．因为CD＝10 m，表演台每平方米的造价为0.3万元， 所以W＝0.3CD·BC＝120，θ∈(0，π). 记f(θ)＝，θ∈(0，π)，则f′(θ)＝. 由f′(θ)＝＝0(θ∈(0，π))，解得θ＝，当θ∈时，f′(θ)<0；当θ∈时，f′(θ)>0. 故f(θ)在θ∈上单调递减，在θ∈上单调递增，从而当θ＝时，f(θ)取得最小值，最小值为f＝1，所以Wmin＝120. 所以表演台的最低造价为120万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$