课时作业(15) 函数模型及其应用（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(十五)　函数模型及其应用 [基础保分练] 1．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据： x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近(其中a，b为待定系数)(　　) A．y＝a B．y＝ax＋b C．y＝ax2＋b D．y＝ax(a>1) 答案：D 2．(2024·葫芦岛一模)某高中综合实践兴趣小组做一项关于某水果酿制成醋的课题研究．经大量实验和反复论证得出，某水果可以酿成醋的成功指数M与该品种水果中氢离子的浓度N有关，酿醋成功指数M与浓度N满足M＝2.8－lg N．已知该兴趣小组同学通过数据分析估计出某水果酿醋成功指数为2.9，则该水果中氢离子的浓度约为(参考数据：≈1.259)(　　) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 答案：D 3．Peukert于1898年提出铅酸蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间的经验公式：C＝In·t，其中n为Peukert常数．现有某铅酸蓄电池，在电池容量不变的条件下，当放电电流为20 A时，放电时间为50 h，当放电电流为40 A时，放电时间为20 h，则当放电电流为5 A时，放电时间t为(　　) A．80 h B．125 h C．312.5 h D．400 h 答案：C 4．(2025·山东师大附中模拟)已知某电子产品电池充满时的电量为3 000毫安时，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电300毫安时；模式B：电量呈指数衰减，即：从当前时刻算起，t h后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x h后，切换为B模式，若使其在待机10 h后有超过5%的电量，则x的取值范围是(　　) A.1<x<2 B．1<x≤2 C．8<x<9 D．8≤x≤9 答案：C 5．(2025·昆明一中模拟)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式：y＝－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25元时，在线购买人数为2 015人，假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则下列说法错误的是(　　) A．实数m的值为10 000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时利润最大 D．利润最大值为10 000 答案：D 6．(多选)(2025·武汉模拟)某一池塘里浮萍面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系为y＝2t，则下列说法中正确的是(　　) A．浮萍每月的增长率为1 B．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2 C．浮萍每月增加的面积都相等 D．若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3 答案：ABD 7．(2025·武汉调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为 m，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的关系．请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝t＋a；④y＝＋a 中(其中a为正的常数)，生长年数与树高的关系拟合最好的是__________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________m. 答案：②　　解析：由散点图的走势，知模型①不合适． 曲线过点，则后三个模型的解析式分别为②y＝＋log2t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不符合，易知拟合最好的是②. 将t＝8代入②式，得y＝＋log28＝(m). 8．(2024·福州三模)某地在20年间经济高质量发展，GDP的值P(单位：亿元)与时间t(单位：年)之间的关系为P(t)＝P0(1＋10%)t，其中P0 为t＝0 时P的值．假定P0＝2，那么在t＝10 时，GDP增长的速度(单位：亿元/年)大约是__________． (精确到0.01亿元/年，当x取很小的正数时，ln (1＋x)≈x.参考数据：1.110≈2.59) 答案：0.52　解析：由题意可知P(t)＝2(1＋10%)t＝2×1.1t，所以P′(t)＝2×1.1t ln 1.1， 所以P′(10)＝2×1.110ln 1.1≈2×2.59×0.1＝0.518≈0.52，即GDP增长的速度大约是0.52. 9．为了加强某疾病的防控，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4 m，底面为24 m2，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室的后背靠墙，无需建造费用，公司甲给出的报价为：应急室正面的报价为400元/m2，左右两侧报价为300元/m2，屋顶和地面报价共计9 600元，设应急室的左右两侧的长度均为x(1≤x≤5)m，公司甲的整体报价为y元． (1)试求y关于x的函数解析式； (2)现有公司乙也要参与此应急室建造的竞标，其给出的整体报价为(580x＋20 000)元，若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由． 解：(1)因为应急室的左右两侧的长度均为x m，则应急室正面的长度为 m，于是得 y＝300×4×2x＋400×4×＋9 600 ＝2 400＋9 600，1≤x≤5， 所以y关于x的函数解析式是 y＝2 400＋9 600(1≤x≤5). (2)由(1)知，对于公司甲2 400＋9 600≥2 400×2＋9 600＝28 800，当且仅当x＝，即x＝4时取等号， 则当左右两侧墙的长度为4 m时，公司甲的最低报价为28 800元， 对于乙，函数y＝580x＋20 000在[1，5]上单调递增，20 580≤580x＋20 000≤22 900，即乙公司最高报价为22 900元， 因为22 900＜28 800，因此，无论x取何值，公司甲的报价都比公司乙的高，所以公司乙能竞标成功． [技能提分练] 10．“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m(亿吨)后开始下降，其二氧化碳的排放量y(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式y＝mat，若经过5年，二氧化碳的排放量为(亿吨).已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨)，则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过(参考数据：lg 2≈0.3)(　　) A．43年 B．44年 C．45年 D．46年 答案：C 11．(2024·茂名二模)双碳，即“碳达峰”与“碳中和”的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A 时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A，放电时间为(　　) A．28 h B．28.5 h C．29 h D．29.5 h 答案：B 12．(多选)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a(1≤a≤4，且a∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y(单位：g/L)随着时间x(单位：min)变化的函数关系式近似为y＝a·m，其中当0≤x≤4时，m＝－1，当4＜x≤10时，m＝5－x.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(g/L)时，它才能起到有效去污的作用．则下列结论正确的是(参考数据：≈1.414)(　　) A．一次投放4个单位的洗衣液，在2 min时，洗衣液在水中释放的浓度为 g/L B．一次投放4个单位的洗衣液，有效去污时间可达8 min C．若第一次投放2个单位的洗衣液，6 min后再投放2个单位的洗衣液，第8 min洗衣液在水中释放的浓度为5 g/L D．若第一次投放2个单位的洗衣液，6 min后再投放2个单位的洗衣液，接下来的4 min能够持续有效去污 答案：ABD 13．某景区套票原价300元/人，如果多名游客组团购买套票，则有如下两种优惠方案供选择： 方案一：若人数不低于10，则票价打9折；若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票价打7折．不重复打折． 方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000元． 已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游团购票总费用的最小值为________元． 答案：11 710　解析：由方案一可知，满10人可打9折，则单人票价为270元， 由方案二可知，满5 000减1 000元，按原价计算≈16.7，则满5 000元至少凑齐17人， 17×300－1 000＝4 100，则单人票价为≈241， 满10 000元时，≈33.3，则需34人，单人票价约为241元， 满15 000元时，＝50，人数不足， ∵241＜270， ∴用方案二先购买34张票，剩余13人，不满足方案二，但满足方案一， ∴总费用为 34×300－2 000＋13×300×0.9＝11 710(元). 14．李明在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. (1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元； (2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________． 答案：(1)130　(2)15　解析：(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠x元，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元). (2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15，即x的最大值为15. 15．土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高粱一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云南土豆也称洋芋． (1)在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低，请建立一个函数模型，来说明以上结论； (2)小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：①投资金额固定；②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；③投资年数x(x∈N＋)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种： 方案一：当x＝3时，y＝6，以后x每增加1时，y增加2； 方案二：y＝x2； 方案三：y＝. 请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案． 解：(1)设顾客一次购买x斤土豆，每斤土豆的单价为f(x)元， 由题意知，f(x)＝(1≤x≤5，x∈N＋)， 因为f(x)＝＝1＋，所以y＝f(x)在[1，5]上为单调递减函数． 说明一次购买的斤数越多，单价越低． (2)根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为y＝6＋(x－3)×2＝2x. 列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，进而可得出如下表结论： 总回报y 投资年数x 3 4 5 6 7 8 9 10 方案一 6 8 10 12 14 16 18 20 方案二 3 12 27 方案三 3 3 3 9 3 3 27 3 当投资年数为3～5年时，选择方案一最佳； 当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳； 当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳； 当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳； 当投资年数为10年时，选择方案三最佳． 学科网（北京）股份有限公司 $$