课时作业(9) 二次函数与幂函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(九)　二次函数与幂函数 [基础保分练] 1．(2025·上海黄浦区高三模拟)设m∈R，若幂函数y＝xm2－2m＋1定义域为R，且其图象关于y轴成轴对称，则m的值可以为(　　) A．1 B．4 C．7 D．10 答案：C 2．(2023·天津河西区高三期末)下面关于函数f(x)＝x2＋3x＋4的说法正确的是(　　) A．f(x)>0恒成立 B．f(x)的最大值是5 C．f(x)与y轴无交点 D.f(x)没有最小值 答案：A 3．(2025·北京高三模拟)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd 在第一象限的图象如图所示，则(　　) A．a>b>c>d B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>b>d>a 答案：B 4．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)＝x2－x＋2，若f(x)＞3x＋m在区间[－1，3]上恒成立，则实数m满足(　　) A．m<－5 B．m>－5 C．m<11 D．m>11 答案：A 5．(2025·石家庄模拟)设a∈R，函数f＝若f的最小值为f，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． A　解析：当x>1时，x2＋－3a＝x2＋＋－3a≥3－3a＝12－3a， 当且仅当x2＝时，等号成立， 即当x>1时，函数f的最小值为12－3a； 当x≤1时，f＝x2－2ax＋9＝2＋9－a2， 要使得函数f的最小值为f，则满足解得1≤a≤2， 即实数a的取值范围是. 6．(多选)已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋4(a>0)，若x1<x2，则(　　) A．当x1＋x2>－2时，f(x1)<f(x2) B．当x1＋x2＝－2时，f(x1)＝f(x2) C．当x1＋x2>－2时，f(x1)>f(x2) D．f(x1)与f(x2)的大小与a有关 答案：AB 7．(多选)已知函数f(x)＝|x2－2ax＋b|(x∈R)，给出下列命题，其中是真命题的是(　　) A．若a2－b≤0，则f(x)在区间[a，＋∞)上单调递增 B．存在a∈R，使得f(x)为偶函数 C．若f(0)＝f(2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．若a2－b－2＞0，则函数h(x)＝f(x)－2有2个零点 答案：AB 8．(多选)函数f(x)＝－x2＋ax－6，g(x)＝x＋4，若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的可能取值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：ABC 9．(2025·深圳模拟)已知函数f(x) 的图象关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为f(x)＝________． 答案：x3(答案不唯一)　解析：设幂函数f(x)＝xα，由题意得f(x)＝xα 为奇函数，且在定义域内单调递增，所以α＝2n＋1(n∈N)或α＝(m，n 是奇数且互质)，所以满足上述条件的幂函数可以为f(x)＝x3. 10．(2024·泉州模拟)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则复数z＝f(2)＋f(5)·i(其中i为虚数单位)的模的大小为__________． 答案：　解析：设幂函数f(x)＝xa，因为函数图象过点(2，)， 所以2a＝，解得a＝，所以f(x)＝x， 所以f(2)＝2＝，f(5)＝5＝， ∴z＝f(2)＋f(5)·i＝＋i，∴|z|＝. [技能提分练] 11．(多选)(2024·潮州二模)已知幂函数f(x) 的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有(　　) A．函数f(x) 的定义域为R B．函数f(x) 为非奇非偶函数 C．过点P且与f(x) 图象相切的直线方程为y＝x＋ D．若x2>x1>0，则>f 答案：BC 12．(2024·重庆二模)关于x的不等式(x－1)9 999－29 999·x9 999≤x＋1的解集为________． 答案：[－1，＋∞)　解析：由题设，(x－1)9 999－(2x)9 999≤x＋1，而y＝x9 999 在R上单调递增， 当x－1>2x，即x<－1时，(x－1)9 999－(2x)9 999>0>x＋1，原不等式不成立； 当x－1≤2x ，即x≥－1时，(x－1)9 999－(2x)9 999≤0≤x＋1，原不等式恒成立． 综上，关于x的不等式的解集为[－1，＋∞). 13．(2023·长沙模拟)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝2a，a为常数．若对任意x1，x2∈，且x1＜x2，都有f(x1)－f(x2)＜g(x1)－g(x2)，则实数a的取值范围是________． 答案：[0，1] 　解析：对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f(x1)－f(x2)＜g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＜f(x2)－g(x2)，令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2a，即F(x1)＜F(x2)只需F(x)在[0，2]上单调递增即可， 当x＝1时，F＝1，函数图象恒过点； 当x＞1时，F(x)＝x2－2ax＋2a； 当x＜1时，F(x)＝x2＋2ax－2a， 要使F(x)在区间[0，2]上单调递增，则当1＜x≤2时，F(x)＝x2－2ax＋2a的图象的对称轴为直线x＝a，即a≤1； 当0≤x＜1时，F(x)＝x2＋2ax－2a的对称轴为直线x＝－a，即a≥0， 且1＋2a×1－2a≤1－2a×1＋2a，综上，a的取值范围为[0，1]. 14．已知函数f(x)＝|x2－ax＋2|＋a，a∈R，若f(x) 在区间[－1，1] 上的最大值是3，则a 的取值范围是________． 答案：(－∞，0]　解析：由题意知f(0)＝2＋a≤3，即a≤1，所以f(1)＝|3－a|＋a＝3－a＋a＝3，又f(－1)＝|3＋a|＋a≤3，所以a≤0.下证当a≤0时，f(x) 在[－1，1]上的最大值为3.当x∈(0，1]时，f(x)＝|x2－ax＋2|＋a＝x2－ax＋2＋a，f(x)max＝f(1)＝3；当x∈[－1，0]时，若≤－1，即a≤－2，则f(x)max＝f(0)<3，满足f(x)≤3；若－1<≤0，即－2<a≤0，此时f＝＋a＝2－＋a＝－(a－2)2＋3<3， 而f(x)max＝max，满足f(x)≤3. 综上，a的取值范围为(－∞，0]. 15．定义：如果在函数y＝f(x)的定义域内的给定区间[a，b]上存在x0(a<x0<b)，满足f(x0)＝，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如y＝x4是[－1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，求实数m的取值范围． 解：因为函数f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1，1]上的平均值函数，设x0为均值点，所以＝m＝f(x0)，即关于x0的一元二次方程－x＋mx0＋1＝m在(－1，1)内有实数根，解方程得x0＝1或x0＝m－1. 所以必有－1<m－1<1，即0<m<2，所以实数m的取值范围是(0，2). 16．(2025·天津模拟)已知值域为[－1，＋∞) 的二次函数f(x) 满足f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程f(x)＝0 的两个实根x1，x2 满足|x1－x2|＝2. (1)求f(x) 的表达式； (2)函数g(x)＝f(x)－kx 在区间[－2，2] 上的最大值为f(2)，最小值为f(－2)，求实数k的取值范围． 解：(1)由f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得f(x) 的图象关于直线x＝－1 对称． 因为函数f(x) 的值域为[－1，＋∞)，所以二次函数的顶点坐标为(－1，－1)，所以设f(x)＝a(x＋1)2－1＝ax2＋2ax＋a－1. 由根与系数的关系，可得x1＋x2＝－2，x1x2＝，因为方程f(x)＝0 的两个实根x1，x2 满足|x1－x2|＝2. 则|x1－x2|＝＝＝＝2，解得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x. (2)由于函数g(x)在区间[－2，2]上的最大值为f(2)，最小值为f(－2)，则函数g(x)在区间[－2，2]上单调递增，又g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x－kx，即g(x)＝x2＋(2－k)x，所以g(x)的对称轴方程为x＝，则≤－2，即k≤－2，故k的取值范围为(－∞，－2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$