课时作业(7) 函数的奇偶性、对称性与周期性（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(七)　函数的奇偶性、对称性与周期性 [基础保分练] 1．(2024·北京西城一模)下列函数中，值域为R且为奇函数的是(　　) A．y＝x＋2 B．y＝sin x C．y＝x－x3 D．y＝2x 答案：C 2．设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋)为偶函数，则(　　) A.f()＝0 B．f()＝0 C．f(－)＝0 D．f(－1)＝0 答案：D 3．已知函数f(x)＝(ex－ae－x)(1－)为R上的奇函数，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．－1 D．1或－1 答案：C 4．(2025·南阳模拟)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－1，若f(x0)>－1，则x0的取值范围是(　　) A．(－2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1) 答案：C 5．(2025·滁州模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间[－1，0)上是增函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则有(　　) A．f<f<f(1) B．f(1)<f<f C．f(1)<f<f D．f<f(1)<f 答案：A 6．(2025·哈尔滨模拟)函数f(x)＝(x2－2x)·(ex－1－e1－x)＋x在区间[－1，3]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C 7．(多选)若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则(　　) A．f(2)>f(3) B．f(2)＝f(6) C．f(3)＝f(5) D．f(3)>f(6) 答案：BCD 8．(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x 答案：BD 9．(2025·重庆巴蜀中学模拟)函数f(x)＝ax＋(x≠0)是偶函数，则实数a＝________． 答案：1　解析：因为f(x)＝ax＋(x≠0)，且f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)， 即－ax－＝ax＋，－a－＝a＋，2a＋－＝0， 即2a＝2，所以实数a＝1. 10．已知函数f(x)是定义在R上的函数，若对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)，且函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，f(－1)＝3，求f(2 025)的值． 解：因为函数f(x－2)的图象关于直线x＝2对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)是偶函数，则有f(x)＝f(－x). 因为对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)， 令x＝－4，得f(－4＋8)＝f(－4)＋f(4)⇒f(－4)＝f(4)＝0， 所以对任意x∈R，都有f(x＋8)＝f(x)＋f(4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8， 则f(2 025)＝f(253×8＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3. [技能提分练] 11．若函数f(x)是R上的奇函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则下列结论：①y＝|f(x)|是偶函数；②对任意的x∈R都有f(－x)＋|f(x)|＝0；③y＝f(－x)在(－∞，0]上单调递增；④y＝f(x)f(－x)在(－∞，0]上单调递增．其中正确结论的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 12．已知函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，且(k)＝1，则f(1)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 13．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上是增函数，下面关于f(x)的判断正确的是(　　) A．f(x)的图象关于点P(1，0)对称 B．f(0)是函数f(x)的最大值 C．f(x)在[2，3]上是减函数 D．f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z 答案：ABD 14．(2024·佛山三模)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x＋2)＝4f(x).当x∈时，f(x)＝log3(＋2)，则f(－8)＋f(4)＝________． 答案：－60　解析：由题意知定义域为R的函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数， 当x>0时，f(x＋2)＝4f(x)； 当x∈时，f(x)＝log3， 则f(8)＝f(6＋2)＝4f(6)＝4f(4＋2)＝4×4f(4)＝16f(2＋2)＝16×4f(2)＝64f(2)， 则f(－8)＋f(4)＝－64f(2)＋4f(2) ＝－60f(2)＝－60×log33＝－60. 15．(2024·佛山三模)已知函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称，若f(2x－1)>，求x的取值范围． 解：定义在R上的函数f(x)＝2x＋a·2－x的图象关于原点对称， 则f(0)＝20＋a·20＝0，解得a＝－1，经检验符合题意． 因为y＝2x，y＝－2－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－2－x为R上的增函数， 又f(1)＝21－2－1＝，所以不等式f(2x－1)>等价于2x－1>1，解得x>1. 故x的取值范围是(1，＋∞). 16．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求x的取值范围． 解：(1)因为对于任意x1，x2∈D， 有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0. (2)f(x)为偶函数，证明如下： f(x)的定义域关于原点对称， 令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝f(1)＝0. 令x1＝－1，x2＝x，得f(－x)＝f(－1)＋f(x)， 所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2， 由(2)知f(x)是偶函数， 所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16). 又f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以0<|x－1|<16， 解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17). 学科网（北京）股份有限公司 $$