课时作业(6) 函数的单调性与最值（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（湘教版）

课时作业(六)　函数的单调性与最值 　　　　　　　　　　　　　　　　　[基础保分练] 1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 答案：C 2．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[1，3] D．[－1，1] 答案：D 3．(2024·长沙二模)定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(－3)＝0，若不等式f(x－m)>0的解集为(－1，5)，则m的值为(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 答案：B 4．已知函数f(x)在R上是递减函数，a，b∈R且a＋b<0，则有(　　) A．f(a)＋f(b)<0 B．f(a)＋f(b)>0 C．f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b) D．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) 答案：D 5．若函数y＝在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝(　　) A． B．2 C． D． 答案：A 6．(多选)下列函数中，在区间(2，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝|x－3| B．f(x)＝x＋ C．f(x)＝x3＋2x D．f(x)＝ 答案：BC 7．(多选)(2025·淄博模拟)已知函数f(x)＝a(a>0且a≠1)在区间[1，3)上单调递增，则实数a的取值可能是(　　) A． B． C． D． 答案：ABC 8．已知函数f(x)的定义域为R，当x＞0时满足：①f(x)－2f(－x)＝0；②对任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2，有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＞0恒成立；③f(4)＝2f(2)＝2，则不等式x[f(x)－1]＞0的解集为________．(用区间表示) 答案：(－4，0)∪(2，＋∞)　解析：根据题意，当x＞0时满足f(x)－2f(－x)＝0，即f(x)＝2f(－x)， 又由f(4)＝2f(2)＝2，则f(－4)＝1，f(2)＝1. 若对任意x1＞0，x2＞0，x1≠x2有(x1－x2)(f(x1)－f(x2))＞0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 设x1＜x2＜0，则－x1＞－x2＞0，有[(－x1)－(－x2)]·[f(－x1)－f(－x2)]>0， 即(x2－x1)[f(x1)－f(x2)]>0，所以(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0， 则f(x)在(－∞，0)上为减函数， x[f(x)－1]＞0⇒或 分析可得－4＜x＜0或x>2，即不等式的解集为(－4，0)∪(2，＋∞). 9．函数f(x)＝x＋的值域为________． 答案：[，＋∞)　解析：由2x－1≥0，得x≥，∴函数f(x)的定义域为[，＋∞). 又函数f(x)＝x＋在[，＋∞)上单调递增， ∴当x＝时，函数取最小值f()＝， ∴函数f(x)的值域为[，＋∞). 10．已知函数f(x)＝. (1)写出函数f(x)的定义域和值域； (2)证明：函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，并求f(x)在区间[2，8]上的最大值和最小值． (1)解：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．又f(x)＝1＋，所以值域为{y|y≠1}． (2)证明：设0<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.又0<x1<x2，所以x1x2>0，x2－x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数，在区间[2，8]上，f(x)的最大值为f(2)＝2，最小值为f(8)＝. [技能提分练] 11．(2025·临沂模拟)若实数x，y满足2 022x－2 022y<2 023－x－2 023－y，则(　　) A．x－y<0 B．x－y>0 C．<1 D．>1 答案：A 12．(多选)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(x)在R上为增函数 B．f(e)>f(2) C．若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0 D．当x∈[－1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 答案：BC 13．已知定义域为(0，＋∞)的减函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f(2)＝－1，则不等式f(x＋2)＋f(x＋4)>－3的解集为__________． 答案：(－2，0)　解析：由题意知， －3＝3f(2)＝f(8)，f(x＋2)＋f(x＋4)＝f(x2＋6x＋8)， f(x＋2)＋f(x＋4)>－3⇒⇒⇒－2<x<0. 14．(2025·南通模拟)已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1对任意的x∈(0，＋∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)＝________． 答案：1－log3x(答案不唯一)　解析：由题意可知，f(x)＋f(y)可变化为f(xy)的形式，由此可想到对数函数，又因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数且f(x)＋f(y)＝f(xy)＋1，所以满足条件的一个函数可取f(x)＝1－log3x，故答案为1－log3x(答案不唯一). 15．(2025·厦门集美中学模拟)已知函数f(x)是定义域为R的函数，f(2＋x)＋f(－x)＝0，对任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1<x2)，均有f(x2)－f(x1)>0，已知a，b(a≠b)为关于x的一元二次方程x2－2x＋t2－3＝0的两个解，求关于t的不等式f(a)＋f(b)＋f(t)>0的解集． 解：由f(2＋x)＋f(－x)＝0，得f(1)＝0且函数f(x)关于点(1，0)对称． 由对任意x1，x2∈[1，＋∞)(x1<x2)，均有f(x2)－f(x1)>0， 可知函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 又因为函数f(x)的定义域为R，所以函数f(x)在R上单调递增． 因为a，b(a≠b)为关于x的一元二次方程x2－2x＋t2－3＝0的两个解， 所以Δ＝4－4(t2－3)>0，解得－2<t<2，且a＋b＝2，即b＝2－a. 又f(2＋x)＋f(－x)＝0，令x＝－a，则f(a)＋f(b)＝0， 则由f(a)＋f(b)＋f(t)>0，得f(t)>0＝f(1)，所以t>1. 综上，t的取值范围是(1，2). 16．已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1(x，y∈R)，当x>0时，f(x)>1，且f(1)＝2. (1)求f(0)，f(－1)的值，并判断f(x)的单调性； (2)当x∈[1，2]时，不等式f(ax2－3x)＋f(x)<1恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)令x＝y＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1，得f(0)＝1， 令x＝－1，y＝1，得f(0)＝f(－1)＋f(1)－1， 得f(－1)＝0. 设x1，x2是任意两个不相等的实数，且x1<x2，所以x2－x1>0，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1， 因为x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1，所以f(x2－x1)－1>0， 因此f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)，所以f(x)在R上为增函数． (2)因为f(ax2－3x)＋f(x)<1，即f(ax2－2x)＋1<1，即f(ax2－2x)<0， 又f(－1)＝0，所以f(ax2－2x)<f(－1)， 又f(x)在R上为增函数，所以ax2－2x<－1在x∈[1，2]上恒成立， 得ax2－2x＋1<0在x∈[1，2]上恒成立，即a<－在x∈[1，2]上恒成立，即a<，x∈[1，2]. 因为－＝－＋1，当x＝2时，－取得最小值，所以a<， 所以实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$