第15讲 投影 （知识清单+4大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第15讲 投影 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正投影 题型二 平行投影 题型三 中心投影 题型四 视点、视角和盲区 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区． 题型练习 【题型一】正投影 【例1】（24-25九年级上·山东威海·期末）线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影，熟练掌握正投影的概念是解题的关键．根据正投影的概念即可解答． 【详解】解：根据正投影的定义可知，当与投影面平行时，； 当与投影面不平行时，； 综上所述，． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正投影 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 2．（22-23九年级上·全国·课前预习）当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个 ．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的 投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能 ． 【答案】 视图 正 不同 【知识点】正投影 【解析】略 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】正投影 【分析】本题考查了立体图形的有关知识，正投影的面积等于正方形和长方形的面积和是解本题的关键． （1）根据题中说明，画出立体图形在投影面上的正投影即可； （2）正投影的面积是由正方形和长方形组成，计算它们的面积和即可． 【详解】（1）如图所示： （2）正投影的面积正方形面积长方形面积． 【题型二】平行投影 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【答案】D 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影， 根据平行形的投影是平行或重合，即可得出几何图形，并逐个判断即可． 【详解】解：矩形框在水平地面上形成的投影形状可能是矩形，正方形，平行四边形，线段，所以不可能是圆． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在有阳光的某天下午，咱区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则m、n、r的先后顺序是（  ） A．m、r、n B．m、n、r C．r、m、n D．r、n、m 【答案】D 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影，正确掌握平行投影的性质是解题关键． 直接利用平行投影的性质，结合影子与物体长度关系分析得出答案． 【详解】解：由题意可得：都是下午拍摄，影子越长说明太阳倾斜越大， 投影长度， ∴m、n、r的先后顺序是r、n、m． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下处，楼前有一堵高墙．小明 看见亮亮．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了视线．熟练掌握射线，俯角的概念，是解题的关键． 连接点A与墙上顶点，看亮亮是否在观察范围内即可． 【详解】∵B处不在四楼A处的小明视线范围内， ∴当小明站在A处时，不能看到楼下处的亮亮． 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在阳光下，小杰站在处，此时他的影长为，在处有一根直立在地面的木杆，请画出同一时刻下木杆的影长． 【答案】见解析 【知识点】平行投影 【分析】本题考查了平行投影；连接，过点B作的平行线，过点作的平行线，两线交于点F，则即为影长． 【详解】解：如图，连接，过点B作的平行线，过点作的平行线，两线交于点F，则即为木杆的影长． 【题型三】中心投影 【例3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）在中心投影下，一条线段的投影不可能是（    ） A．比原线段长的线段 B．一段圆弧 C．比原线段短的线段 D．一个点 【答案】B 【知识点】中心投影 【分析】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，根据中心投影的性质，进行判断即可． 【详解】在中心投影下，一条线段的投影可能是线段或点，一条线段的投影不可能是一段圆弧； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】C 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，关键是正确确定投影中心位置．根据中心投影的意义，画出图形即可确定亮灯窗口． 【详解】解：如图所示，亮灯窗口为3楼窗口； 故答案为：C． 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）皮影戏是一种用蜡烛或灯光等光源照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧，这种汉族民间艺术形式很受人们的欢迎，“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指从一点发出的光线形成的投影；平行投影是指在同一时刻，没有光源的情况下，阳光下物体的影子；由此判断即可得解． 【详解】解：皮影戏是由灯光照射下形成的影子，故“皮影戏”中的皮影是中心投影， 故答案为：中心投影． 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析． 【知识点】中心投影 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，解题的关键是理解题意，掌握中心投影的性质． （1）分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求； （2）连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）解：（1）如图，分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求． （2）解：如图，连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【题型四】视点、视角和盲区 【例4】（22-23九年级上·宁夏中卫·期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【答案】B 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】根据站的越高，人的视角就越大，对于圆形地球可视面就越大，盲区越小进行判断即可． 【详解】解∶选项A，站的越高，人的视角就越大，不是增大盲区，错误； 选项B，减少盲区，正确； 选项C，不可能改变光点，错误； 选项D，不是增加亮度，选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了盲区的相关知识，正确理解盲区的概念是解决本题的关键，盲区是指视野盲区，视野盲区就是指人的视线达不到的地方，站得高可以减少盲区． 【举一反三】 1．如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现(　　) A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M 【答案】D 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，P处为视点，凯凯只有藏在盲区才不会被发现． 【详解】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现． 故选D． 【点睛】本题考查了视点，视角和盲区的定义． 2．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 【答案】17 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出． 【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16， 在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2， 因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1， 因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米． 故答案为17. 【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 3．已知小明和树的高与影长，试找出点光源和旗杆的影长． 【答案】见解析 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】首先根据小明的身高和影长与树的高度和影长确定点光源，然后由过点光源和旗杆的顶部确定旗杆的影长即可 【详解】如图：连接AB、CD并延长交于点O，点O即为点光源，EG为旗杆的影子． 【点睛】投影和视图是本题的考点，是中考的易考点. 好题必刷 一、单选题 1．如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（    ）    A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 【答案】B 【分析】根据平行投影的特点即可得出答案. 【详解】根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是矩形，故答案选择B. 【点睛】本题主要考查了正投影的知识，掌握常见几何体的正投影是解决本题的关键. 2．如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（    ） A．图1，2的影子都是在太阳光下形成的 B．图1 的影子是在灯光下形成的，图2 的影子是在太阳光下形成的 C．图1的影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的 D．图1，2的影子都是在灯光下形成的 【答案】C 【分析】本题考查平行投影和中心投影定义．根据题意利用平行投影和中心投影定义即可解答． 【详解】解：∵图1可看成是平行投影形成的，图2可看成是中心投影形成的， ∴图1的影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的， 故选：C． 3．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（    ） A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5 【答案】B 【分析】由题意可得，根据平行线分线段成比例的性质可得，求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得， 根据平行线分线段成比例的性质可得， 即， 解得：， ， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例性质的应用，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质． 4．球在平面上的正投影是( ) A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 【答案】A 【分析】根据正投影的定义即可求解，正投影是指平行投射线垂直于投影面． 【详解】解：球在平面上的正投影是圆面， 故选：A． 【点睛】本题考查了正投影的定义，熟练掌握正投影的定义是解题的关键． 5．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（    ） A．小明比小强的个子高 B．小强比小明的个子高 C．两个人的个子一样高 D．无法判断谁的个子高 【答案】D 【分析】在同一路灯下由于位置不确定，根据中心投影的特点判断得出答案即可． 【详解】解：在同一路灯下由于小明与小强位置不确定，虽然影子一样长，但无法判断谁的个子高． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 6．下列投影中，正投影有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】在平行投影中，如果投影光线垂直于投影面，那么这种投影叫正投影；根据概念可得是正投影的有：（3）、（4）. 故选B. 点睛：掌握正投影的概念. 7．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 【答案】B 【分析】若不能看到建筑物PD，则PD位于此线段的盲区内，可据此进行判断． 【详解】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段. 故选B． 【点睛】理解视点、视角和盲区的定义是解答此类题目的关键． 8．将一个梯形木板放在阳光下做投影实验，木板在地面上形成的影子不可能是（  ） ①梯形；②线段；③三角形；④平行四边形． A．②③ B．②④ C．①④ D．③④ 【答案】D 【详解】解：将梯形木框立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将梯形木框与地面平行放置时，形成的影子为梯形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且梯形两底不相等，得到投影不可能是三角形和平行四边形．故选D． 点睛：本题考查投影与视图的有关知识，是一道与实际生活密切相关的热点试题，灵活运用平行投影的性质是解题的关键． 9．下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是(      ) A．①→②→③→④ B．④→②→③→① C．③→④→①→② D．①→③→②→④ 【答案】C 【详解】根据平行投影的特点和规律可知，③④是上午，①②是下午， 根据影子的长度可知先后为③→④→①→②. 故选C. 10．如图，是一座建筑物的平面图，其中的庭院有两处供出入的门，过路的人可以在门外观看但不能进入庭院，图中标明了该建筑物的尺寸（单位：米），所有的壁角都是直角，那么过路人看不到的门内庭院部分的面积是（　　） A．250 B．300 C．400 D．325 【答案】D 【详解】首先根据过路的人可以在门外观看但不能进入庭院，找出过路人看不到的门内庭院部分的部分，再利用三角形的相似性质，求出关键点的长度，从而解决问题． 解：如图1：连接BK，并延长到D，连接AW，并延长到E，连接AB，DE，作CG⊥DE，CR⊥AB， 根据图上所标数据可知： ∵AB=40，DE=20，BX=KX=10， ∴KE=DE=20， ∴RG=30， ∴AB：DE=RC：CG， CR=20，CG=10， ∴S△CED=×20×10=100， ∴矩形EJYD面积为：20×10=200， 如图2： ∵∠EAB=∠EBA=45°， ∵AB=40， ∴AE=BE=20， ∴在Rt△AEF中，EF=20， ∴HE=10+15=20=5， ∵△CDE∽△BAE， ∴， 即， ∴CD=10， ∴S△COD=CD•HE=×10×5=25， ∴过路人看不到的门内庭院部分的面积是：200+100+25=325． 故选D． 二、填空题 11．一棵大树在阳光下的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可． 【详解】解：一棵大树在阳光下的影子属于平行投影； 故答案为：平行． 12．底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是 . 【答案】等腰三角形 【分析】根据已知可知投影射线与圆锥体的底面平行，再结合正投影的定义，问题即可解答. 【详解】解：∵圆锥体的底面与投影面垂直， ∴投影射线与圆锥体的底面平行， ∴其正投影为等腰三角形. 故答案为等腰三角形. 【点睛】本题主要考查了正投影的定义. 13．身高相同的小刚和小美站在一盏路灯下的不同位置，已知小刚的影子比小美长，我们可以判定小刚离灯较 ． 【答案】远 【分析】根据中心投影的特点判断即可． 【详解】解：中心投影的特点是：等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．所以小刚离灯较远． 故答案为远. 【点睛】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短． 14．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为米，那么他最多离开树干 米才可以不被阳光晒到？ 【答案】 【分析】设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到 ，解得，然后计算两影长的差即可． 【详解】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米， 根据题意，得， 解得， 即小明这个时刻在水平地面上形成的影长为米， 因为米， 所以他最多离开树干米才可以不被阳光晒到． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用和平行投影．由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比． 15．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 【答案】 【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接，过作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解． 16．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查平行投影，相似三角形的实际应用，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∴ ∴， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故答案为：． 17．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 【答案】17 【分析】如图题目所求的实际是△OFE和梯形BCDH的面积，Rt△ABH中，AB=BH=2，∠BAH=45°，利用三角函数即可求出． 【详解】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16， 在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2， 因此，FE=OF÷2=1 S△OFE=2×1÷2=1， 因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米． 故答案为17. 【点睛】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 18．如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 【答案】 C 【分析】（1）利用甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的，一部分落在斜坡上即可得到点光源的位置； （2）延长交于点，已知点光源发出的过点的光线，，可得，根据，可得，在中，已知，可得，结合，即可求得乙杆的高度； 【详解】（1）如图所示，点即为点光源所在的位置， 故答案为：C （2）延长交于点， ∵点光源发出的过点的光线， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴乙杆的高度为米． 故答案为： 【点睛】本题主要考查中心投影及勾股定理的应用，根据已知条件确定点光源的位置是解题的关键． 三、解答题 19．如图，把下列物体与它们的投影连接起来． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行投影：在平行投影中，光线垂直投影面得到的投影为正投影，据此判断即可． 【详解】解：连线如图所示： 20．晚上，一个身高米的人站在路灯下，发现自己的影子刚好是块地砖的长（地砖是边长为米的正方形），当他沿着影子的方向走了块地砖时，发现自己的影子刚好是块地砖的长，根据他的发现，你能不能计算路灯的高度？ 【答案】路灯的高度为8 m. 【分析】画图，根据中心投影性质可知△CAB∽△COP，△ECD∽△EOP，所以，，进一步可解得OP＝8. 【详解】如答图，AC＝4×0.5＝2(m)，CE＝5×0.5＝2.5(m)，AB＝CD＝1.6 m，∵AB∥OP， ∴△CAB∽△COP， ∴， 即，① ∵CD∥OP，∴△ECD∽△EOP， ∴，即，② 由①②，得，解得AO＝8， ∴，解得OP＝8. 答：路灯的高度为8 m. 【点睛】本题考核知识点：中心投影. 解题关键点：理解中心投影中，物高与影子长成比例. 21．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡． （1）确定图中路灯灯泡所在的位置； （2）在图中画出表示小赵身高的线段． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用中心投影的图形的性质连接对应点得出灯泡位置即可； （2）根据灯泡位置即可得出小赵身高的线段． 【详解】如图所示：（1）点P即为路灯灯泡所在的位置； （2）线段AB即为所求． 【点睛】本题主要考查中心投影的定义和性质，解题的关键是熟练掌握中心投影的定义和性质． 22．如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6m，计算的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【分析】（1）根据平行投影的定义，作出在阳光下的投影即可； （2）根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构造比例关系，计算可得． 【详解】解：（1）如图所示，为在阳光下的投影． （2）∵该投影为平行投影， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行投影的特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．要求学生通过投影的知识并结合图形解题． 23．在一直线上有几根竹竿．它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）．    (1)根据灯光下的影子确定光源的位置． (2)画出竹竿的影子（用线段表示）； (3)画出影子为的竹竿．（用线段表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求； （2）作射线与地面的交点，可得线段即为所求； （3）连接光源P与影子顶端D，过C作垂直于地面的直线，与交于点F，CF即为所求． 【详解】（1）如图，点P即为光源所在位置；    （2）BE即为竹竿的影子； （3）是以为影子的竹竿 【点睛】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源． 24．如图，和是直立在地面上的两根立柱，已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出，计算的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）利用平行投影的性质得出即可； （2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案． 【详解】（1）如图所示：即为所求； （2）由题意可得： ， 解得：， 答：的长为． 【点睛】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等解题是解题关键． 25．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 【答案】(1)AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影是BD；(2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影，根据正投影的定义求解即可； （2）①，结合两角对应相等的两三角形相似，可得△BCD∽△BAC，根据相似三角形对应边成比例可证明结论； ②同理可证△ACD∽△CBD，根据相似三角形对应边成比例可证明结论成立． 试题解析： 解：（1）∵CD⊥AB， 而平行光线垂直AB， ∴AC的投影是AD，CD的投影是点D，BC的投影为BD； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于D， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°． ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∴BC2＝BD•AB； ②同理可得：△ACD∽△CBD， ∴， ∴CD2＝AD•BD． 点睛：本题考查了正投影的定义和相似三角形的判定与性质，熟记正投影的定义是解决（1）的关键，结合图形得出相似三角形是解决（2）的关键． 26．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长． 【答案】(1)的投影是，的投影是点，的投影是 (2)证明过程见详解 (3)①证明过程见详解；② 【分析】（1）根据投影的定义，即可求解； （2）根据中，，，可得，是公共角，由三角形相似的判定及性质即可求证； （3）①根据射影定理可得，，且，根据三角形相似的判定方法即可求解；②先计算，，，的长度，在根据①中的结论即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，的投影是，的投影是点，的投影是． （2）证明：∵中，，， ∴，， ∴，且是公共角， ∴， ∴， ∴． （3）解：①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 中， ∵，， ∴， ∴，即，且（公共角）， ∴； ②∵，且， ∴，， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形，直角三角形，相似三角形的综合，掌握正方形的性质，直角三角形中判定三角形的相似，以及相似三角形的性质是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 投影 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正投影 题型二 平行投影 题型三 中心投影 题型四 视点、视角和盲区 知识清单 知识点1．平行投影 （1）物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影现象．一般地，用光线照射物体，在某个平面（底面，墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面． （2）平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． （3）平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的． （4）判断投影是平行投影的方法是看光线是否是平行的．如果光线是平行的，所得到的投影就是平行投影． （5）正投影：在平行投影中，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影． 知识点2．中心投影 （1）中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影． （2）中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系． （3）判断投影是中心投影的方法是看光线是否相交于一点，如果光线是相交于一点，那么所得到的投影就是中心投影． 知识点3．视点、视角和盲区 （1）把观察者所处的位置定为一点，叫视点． （2）人眼到视平面的距离视固定的（视距），视平面左右两个边缘到人眼的连线得到的角度就是视角． （3）盲区：视线到达不了的区域为盲区． 题型练习 【题型一】正投影 【例1】（24-25九年级上·山东威海·期末）线段是线段的正投影，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·全国·课前预习）当我们从某一方向观察一个物体时，所看到的图形叫做物体的一个 ．视图也可以看作物体在某一个方向的光线下的 投影，对于同一物体，如果从不同方向观察，所得到的视图可能 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方体上面放着一个圆柱，已知正方体的一个侧面平行于投影面，圆柱下底面的中心正对正方体上底面的中心，圆柱的高等于，底面圆的直径为，若． (1)画出该立体图形在投影面P上的正投影； (2)计算正投影的面积． 【题型二】平行投影 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）在太阳光的照射下，一个矩形框在水平地面上形成的投影形状不可能是（    ） A．矩形 B．正方形 C．平行四边形 D．圆 【举一反三】 1．（24-25九年级上·陕西西安·期末）在有阳光的某天下午，咱区某初中的小明，在不同时刻对一景物拍了三张风景照m、n、r，冲洗后不知道拍照的时间顺序了，已知投影长度，则m、n、r的先后顺序是（  ） A．m、r、n B．m、n、r C．r、m、n D．r、n、m 2．（24-25九年级上·广东河源·阶段练习）如图，小明在四楼A处窗户旁，亮亮在楼下处，楼前有一堵高墙．小明 看见亮亮．（填“能”或“不能”） 3．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）在阳光下，小杰站在处，此时他的影长为，在处有一根直立在地面的木杆，请画出同一时刻下木杆的影长． 【题型三】中心投影 【例3】（24-25九年级上·山东淄博·期末）在中心投影下，一条线段的投影不可能是（    ） A．比原线段长的线段 B．一段圆弧 C．比原线段短的线段 D．一个点 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）一幢5层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是（     ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 2．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）皮影戏是一种用蜡烛或灯光等光源照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏剧，这种汉族民间艺术形式很受人们的欢迎，“皮影戏”中的皮影是 （填写“平行投影”或“中心投影”） 3．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【题型四】视点、视角和盲区 【例4】（22-23九年级上·宁夏中卫·期末）“白日依山尽，黄河入海流．欲穷千里目，更上一层楼．”这里主要是（    ） A．增大盲区 B．减少盲区 C．改变光点 D．增加亮度 【举一反三】 1． 如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现(　　) A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M 2． 如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 2． 已知小明和树的高与影长，试找出点光源和旗杆的影长． 好题必刷 一、单选题 1．如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（    ）    A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱 2．如图1，2分别反映了小树在同一时刻的影子，关于影子的形成说法正确的是（    ） A．图1，2的影子都是在太阳光下形成的 B．图1 的影子是在灯光下形成的，图2 的影子是在太阳光下形成的 C．图1的影子是在太阳光下形成的，图2 的影子是在灯光下形成的 D．图1，2的影子都是在灯光下形成的 3．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离BC＝1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5米，AC在地面的影长CM＝4.5米，则AB高为（    ） A．3.5 B．2 C．1.5 D．2.5 4．球在平面上的正投影是( ) A．圆面 B．椭圆面 C．点 D．线段 5．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（    ） A．小明比小强的个子高 B．小强比小明的个子高 C．两个人的个子一样高 D．无法判断谁的个子高 6．下列投影中，正投影有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 8．将一个梯形木板放在阳光下做投影实验，木板在地面上形成的影子不可能是（  ） ①梯形；②线段；③三角形；④平行四边形． A．②③ B．②④ C．①④ D．③④ 9．下面四幅图是两个物体在不同时刻在太阳光下的影子，按照时间的先后顺序正确的是(      ) A．①→②→③→④ B．④→②→③→① C．③→④→①→② D．①→③→②→④ 10．如图，是一座建筑物的平面图，其中的庭院有两处供出入的门，过路的人可以在门外观看但不能进入庭院，图中标明了该建筑物的尺寸（单位：米），所有的壁角都是直角，那么过路人看不到的门内庭院部分的面积是（　　） A．250 B．300 C．400 D．325 二、填空题 11．一棵大树在阳光下的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”） 12．底面与投影面垂直的圆锥体的正投影是 . 13．身高相同的小刚和小美站在一盏路灯下的不同位置，已知小刚的影子比小美长，我们可以判定小刚离灯较 ． 14．如图，一棵树的高度为米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为米，现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为米，那么他最多离开树干 米才可以不被阳光晒到？ 15．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为 （取）． 16．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为 ． 17．如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为 平方米（不计墙的厚度）. 18．如图所示，在某点光源下有两根直杆，垂直于平整的地面，甲杆的影子为，乙杆的影子一部分落在地面上的处，一部分落在斜坡上的处． ①点光源所在的位置是 （从，，，中选择一个）； ②若点光源发出的过点的光线，斜坡与地面的夹角为，米，米，则乙杆的高度为 米． 三、解答题 19．如图，把下列物体与它们的投影连接起来． 20．晚上，一个身高米的人站在路灯下，发现自己的影子刚好是块地砖的长（地砖是边长为米的正方形），当他沿着影子的方向走了块地砖时，发现自己的影子刚好是块地砖的长，根据他的发现，你能不能计算路灯的高度？ 21．如图，一个广告牌挡住了路灯的灯泡． （1）确定图中路灯灯泡所在的位置； （2）在图中画出表示小赵身高的线段． 22．如图，和是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻在阳光下的投影． （1）请你在图中画出此时在阳光下的投影． （2）在测量的投影时，同时测量出在阳光下的投影长为6m，计算的长． 23．在一直线上有几根竹竿．它们在同一灯光下的影子如图所示（图中的粗线段）．    (1)根据灯光下的影子确定光源的位置． (2)画出竹竿的影子（用线段表示）； (3)画出影子为的竹竿．（用线段表示）． 24．如图，和是直立在地面上的两根立柱，已知，某一时刻在太阳光下的影子长． (1)在图中画出此时在太阳光下的影子； (2)在测量的影子长时，同时测量出，计算的长． 25．如图所示，△ABC被平行光线照射，CD⊥AB于D，AB在投影面上． (1)指出图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？ (2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB＝90°)时，易得AC2＝AD·AB，此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它在斜边射影与斜边的乘积，这一结论我们称为射影定理．通过上述结论的推理，请证明以下两个结论． ①BC2＝BD·AB；②CD2＝AD·BD． 26．操作与研究∶如图，被平行于的光线照射，于，在投影面上． (1)指出图中的投影是什么，与的投影呢？ (2)探究∶ 如图1，中，，，我们可以利用与相似证明， 这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理． (3)【结论运用】如图2，正方形的边长为，点是对角线的交点，点在上，过点作，垂足为，连接， ①试利用射影定理证明； ②若，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$