第14讲 直线和圆的位置关系 （知识清单+21大题型+好题必刷）核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第14讲 直线和圆的位置关系 （知识清单+21大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 题型八 证明某直线是圆的切线 题型九 切线的性质定理 题型十 切线的性质和判定的综合应用 题型十一 应用切线长定理求解 题型十二 应用切线长定理求证 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十四 圆外切四边形模型 题型十五 三角形内心有关应用 题型十六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十七 三角形内切圆与外接圆综合 题型十八 圆和圆的位置关系 题型十九 圆内知识综合(圆的综合问题) 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 题型二十一 其他问题(圆的综合问题) 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型练习 【题型一】判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，先确定圆的半径为，而圆心到直线的距离为，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为，圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据题意可得直线l在外，即可得解，熟练掌握直线与圆的位置关系是解此题的关键． 【详解】解：∵的半径为6，圆心O到直线l的距离为7， ∴直线l在外， ∴直线l与的公共点的个数是0个， 故选：A． 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 【答案】或 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？ 【答案】直线与相切，直线与相交，理由见解析． 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查正方形的性质，直线与圆的位置关系判定，求点到的距离，即，可知与的半径相等，故圆与直线相切，点到的距离，小于的半径，故圆与直线相交，根据点到直线的距离与半径的大小关系判定直线与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】由题中已知条件，得，， 即点到的距离为，与的半径相等， ∴直线与相切， ∵，， ∴，垂足为，且， ∴直线与相交． 【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为10，直线l与相切于点P， ∴． 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】D 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键． 直接根据直线与圆的位置关系得到半径，再逐项判断即可． 【详解】解：∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离， ∴半径． ∴只有D选项符合题意． 故选D． 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线与相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 【答案】（答案不唯一，大于的数均可） 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距与半径之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线与相交，圆心到直线的距离为， ∴的半径大于， ∴的半径可能为， 故答案为：． 3．木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C． （1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？ （2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　． 【答案】（1）13；（2）0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】（1）利用在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122，求出r即可． （2）根据切线的性质，连接OC，则OC⊥BC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径． 【详解】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8 在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122 解得：r＝13； 答：该圆的半径r为13； （2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a； ②当r＞8时， 如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D， ∵BC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥BC， 则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB． 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 即：r2＝（r﹣8）2+a2， 整理得：r＝a2+4． 故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，r＝a 2+4． 【点睛】本题考查切线的性质及勾股定理在实际中的运用，根据已知条件作出辅助线，熟知垂径定理的内容是解题的关键． 【题型三】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查直线与圆相离的判定，根据相离的判定逐项验证即可得到答案，熟记直线与相离，得到圆心到直线的距离大于半径是解决问题关键． 【详解】解：的半径为5，若直线与相离， 由相离定义可知圆心到直线的距离大于半径5， 根据四个选项中的距离可知，只有6符合要求， 故选：A． 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交②直线l和相切，③直线l和相离． 【详解】解：∵直线m与公共点的个数为2个， ∴直线与圆相交， ∴半径3， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．． 根据与直线相离，则圆心到直线的距离大于圆的半径即可得问题答案． 【详解】解：∵半径为4的与直线相离， ∴圆心到直线的距离大于圆的半径， 即； 故答案为：． 3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【答案】，或. 【知识点】其他问题(二次函数综合)、已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【分析】本题主要考查了圆与直线的相切关系，及二次函数的概念；熟练掌握圆与坐标轴的位置关系是解本题的关键．与轴相切，即圆心到轴的距离等于的半径，也就是圆心的纵坐标y为，把y代入中，即可求出符合题意的圆心的坐标． 【详解】解：与轴相切，设圆心到x轴的距离为d， ，即点的纵坐标y为； 当时，即，解得：， 点的坐标为或； 当时，即，解得：， 点的坐标为； 综上，符合题意点的坐标为，或． 【题型四】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【例4】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 【答案】A 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可． 【详解】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（﹣2，0），所以平移的距离为-2-（-3）=1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为（2，0），所以平移的距离为2-（-3）=5． 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论． 2．如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 【答案】3或4/4或3 【知识点】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【分析】根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切，然后分两种情况：⊙O在直线AB左侧和在直线AB右侧，进行计算即可． 【详解】∵直线AB⊥l， ∴当⊙O在直线AB左侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7－1=6cm，所需时间为6÷2=3s； 当⊙O在直线AB右侧距AB的距离为1cm时，⊙O与直线AB相切， 此时⊙O移动了7+1=8cm，所需时间为8÷2=4s． 故答案为：3或4． 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，切线的判定，明确判定定理是解题的关键． 3．如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【答案】相切;1cm＜d＜5cm 【知识点】判断直线和圆的位置关系、求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【详解】试题分析：（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm， 作O′C⊥PA于C， ∵∠P=30度， ∴O′C=PO′=1cm， ∵圆的半径为1cm， ∴⊙O与直线PA的位置关系是相切； （2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交， 当移动到C″时，相切， 此时C″P=PO′=2， ∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交 考点：直线与圆的位置关系． 【题型五】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例5】如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】作出OC⊥AB，利用垂径定理求出BC＝4，再利用勾股定理求出OC＝3，即可求出要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移的长度． 【详解】解：作OC⊥AB， 又∵⊙O的半径为5cm，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm ∴BO＝5，BC＝4， ∴由勾股定理得OC＝3cm， ∴要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移2cm． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质定理与垂径定理，根据图形求出OC的长度是解决问题的关键． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 【答案】D 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】分圆P在y轴的左侧与y轴相切、圆P在y轴的右侧与y轴相切两种情况，根据切线的判定定理解答即可求得． 【详解】解：根据题意可得：OP=3，圆P的半径为2， 当圆P在y轴的左侧与y轴相切时，平移的距离为3-2=1， 当圆P在y轴的右侧与y轴相切时，平移的距离为3+2=5， 故圆与轴相切，则平移的距离为1或5， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，图形的平移，分类讨论是解决本题的关键． 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【答案】或 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离、含30度角的直角三角形 【分析】在射线上或在射线上，设对应的圆的圆心分别在M，根据切线的性质，在中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得的长，进而求得的长，从而求得由P到M移动的时间；根据，即可求得，也可以求得由P到M移动的时间． 【详解】解：当在射线上，设与相切于点E，P移动到M时，连接． ∵与直线相切， ∴， ∵在中，，， ∴， 则， ∵以的速度沿由A向B的方向移动， ∴移动时与直线相切． 当在射线上时，同理可求移动时与直线相切． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键． 3．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切． 【答案】需要平移2cm． 【知识点】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【分析】根据直线和圆相切，则只需满足OH=5．又由垂径定理构造直角三角形可求出此时OH的长，从而计算出平移的距离． 【详解】∵直线和圆相切时，OH=5， 又∵在直角三角形OHA中，，OA=5， ∴OH=3． ∴需要平移5-3=2cm． 【点睛】考查垂径定理以及直线和圆的位置关系.注意：直线和圆相切时，应满足 【题型六】切线的应用 【例6】以坐标原点为圆心，1为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的应用 【分析】求出直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限和当直线与圆相切时，函数经过二、三、四象限b的值，则b的值在相交时与相切时两个b之间； 【详解】当直线与圆相切时，函数经过一、二、四象限，如图所示： 在中，令x=0，y=b，则与y轴的交点为B(0，b)， 令x=b，y=0，则与x轴的交点为A(b，0)， 则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形， 连接圆心O与切点C，则OC=1， ∴ △BOC也是等腰直角三角形， ∴ BC=OC=1， ∴ ， 同理当直线与圆相切时且函数经过二、三、四象限，b= ， ∴ 当直线与圆相交时，b的取值范围是 ； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的关系的综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】切线的应用 【分析】连接PQ、OP，如图，根据切线的性质得：PQ⊥OQ，再利用勾股定理得出OQ，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，即可求解． 【详解】连接PQ、OP，如图， ∵直线OQ切⊙P于点Q， ∴PQ⊥OQ， 在直角中，， 当OP最小时，OQ最小， 当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2， ∴OQ的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了勾股定理，熟练掌握切线的性质以及勾股定理是解答本题的关键． 2．如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 ． 【答案】或 【知识点】切线的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】根据切线的性质得到△OBC是等腰直角三角形，当△OAC是直角三角形时，分两种情况讨论即可； 【详解】解：∵BC是⊙O的切线， ∴∠OBC＝90°， ∵BC＝OA， ∴OB＝BC＝1， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠ACO≤45°， ∵当△OAC是直角三角形时，①∠AOC＝90°，连接OB， ∴OC＝OB＝， ∴AC＝； ②当△OAC是直角三角形时，∠OAC＝90°，连接OB， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠CBO＝∠OAC＝90°， ∵BC＝OA＝OB， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴OC＝， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了圆的切线性质和等腰三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． 3．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）作图见解析；（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切；理由见解析；（3）⊙O的半径为3． 【知识点】切线的应用、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心； （2）根据切线的判定即可判断直线BC与⊙O的位置关系； （3）根据AB=8，BD=4，即可求⊙O的半径． 【详解】（1）如图，⊙O即为所求； （2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下： 连接OD， ∴OD＝OA， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴AC∥OD， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴OD⊥BC，OD是半径， ∴直线BC与⊙O相切； （3）设⊙O的半径为x， 在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4， ∴（8﹣x）2＝x2+42， 解得x＝3． 答：⊙O的半径为3． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图． 【题型七】判断或补全使直线为切线的条件 【例7】如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【答案】A 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件 【分析】根据AB=AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以证明DE是⊙O的切线，可判断B选项正确； 若DE是⊙O的切线，同上法倒推可证明AB=AC，可判断D选项正确； 根据CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线，可判断C选项正确； 若，没有理由可证明DE是⊙O的切线． 【详解】解：当AB=AC时，如图：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴CD=BD， ∵AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以B选项正确； 当DE是⊙O的切线时，如图：连接AD， ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD， ∵DE⊥AC， ∴OD∥AC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴CD∥BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∴AB=AC，所以D选项正确； 当CD=BD时，又AO=BO， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线，所以C选项正确． 若，没有理由证明DE是⊙O的切线，所以A选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 【答案】D 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件 【分析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论． 【详解】解：如图， 过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中， 能够与该圆弧相切的格点坐标是(6，2)． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定定理是解题的关键. 2．张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为 ． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）． ． 【答案】 3 ，求的长 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件 【分析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCD=90°，再根据含30°的直角三角形三边的关系得到OD=2，然后计算OA+OD即可； (2)添加∠DCB=30°，求ACAC的长，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明∠A=∠DCB=30°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系求AC的长． 【详解】解：(1)连接OC，如图， ∵CD为切线， ∴OC⊥CD， ∴∠OCD=90°， ∵∠D=30°， ∴OD=2OC=2， ∴AD=AO+OD=1+2=3； (2)添加∠DCB=30°，求AC的长， 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠ACO+∠OCB=90°，∠OCB+∠DCB=90°， ∴∠ACO=∠DCB， ∵∠ACO=∠A， ∴∠A=∠DCB=30°， 在Rt△ACB中，BC= AB=1， ∴AC= = ． 故答案为3；，求的长. 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系． 3．已知内接于，过点作直线． （1）如图1所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的一个条件是________________． （2）如图2所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗？试证明你的判断． 【答案】（1）或 或等；（2）是，证明见解析． 【知识点】判断或补全使直线为切线的条件、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）根据切线的性质添加适合的条件即可； （2）作直径，连，利用圆的性质直径所对的角为直角以及同弧所对的圆周角相等，进行等角转换，即可得出，即可判定其为切线. 【详解】（1）或 或等(其他填法正确也可) （2）是； 作直径，连 则， 为直径 是的切线． 【点睛】此题主要考查圆的性质和切线的性质和判定，熟练掌握，即可解题. 【题型八】证明某直线是圆的切线 【例8】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查圆的相关知识，利用等弧的定义、切线的判定、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，故错误； （2）同圆或等圆中弦相等所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， （5）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线．故错误； 正确的只有1个， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】证明某直线是圆的切线、根据三线合一证明 【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．结合等腰三角形三线合一的性质和平角的定义分析即可． 【详解】解：A、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； B、由、可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； C、由，可得，又因为是半径，则直线是切线，不符合题意； D、不能判断出直线是切线，符合题意； 故选：D． 2．（2023·江苏泰州·三模）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点．则＝ °    【答案】60 【知识点】切线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】由切线的性质得，则，由折叠得，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵与所在的圆相切于点B， ∴， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键． 3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】本题考查了切线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据平行线判定推出，推出，根据切线的判定推出即可； （2）设，根据勾股定理得出，求出，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是切线； （2）解：设， 在中，，， ∴， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴， ∴． 【题型九】切线的性质定理 【例9】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质定理、圆周角定理、多边形内角和问题 【分析】此题考查切线的性质、圆周角定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据切线的性质推导出，则，而，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，根据切线的性质得，再利用四边形的内角和得到，根据圆周角定理可计算出． 【详解】解：∵和为的两条切线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，的内切圆分别与、、相切于点、、，若，，，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】切线的性质定理 【分析】本题主要考查三角形了内切圆及切线长定理等知识点，由切线长定理可知，，，再根据线段的和差即可求得答案，灵活运用切线长定理是解题的关键． 【详解】解：∵的内切圆分别与相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴的周长， 故答案为： ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处，如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后与直线相切？ 【答案】4秒或8秒后与直线相切 【知识点】切线的性质定理、含30度角的直角三角形 【分析】根据相切的意义，分在的左侧相切和右侧相切两种情况，利用直角三角形的性质，切线的性质，解答即可． 本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：当点P在直线的左侧，由题意与圆相切于点E， ∴， 又，， ∴在中， 又∵， ∴， ∴圆P到达圆需要时间为：（秒） ∴与直线相切时，时间为4秒， 当点P在点O的右侧时，同法可得， 综上，4秒或8秒后与直线相切． 【题型十】切线的性质和判定的综合应用 【例10】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【答案】B 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、切线的判定等知识，熟练掌握圆的切线的判定是解题关键．根据点与的位置，分别进行分析即可得． 【详解】解：如果点在外，则过点作的切线有两条； 如果点在内，则过点的直线与相交； 如果点在上，则过点作的切线只有一条； 如图，连接，过点作的切线，则， 是唯一的， 过点作的切线只有一条， 故选：B． 【举一反三】 1．如图，在直线上有相距的两点和O（点在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点作直线将以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线上），则与直线相切时，时间为（    ） A．3s B．3.5s C．3s或4s D．3s或3.5s 【答案】C 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】根据切线的判定方法，点O到AB距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点O到AB距离为1cm时，⊙O与AB相切， ∵开始时O点到AB的距离为， ∴当圆向右移动或时，点O到AB距离为1cm，此时⊙O与AB相切， ∴或， 即⊙O与直线AB在3秒或4秒时相切， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，圆的切线垂直与经过切点的半径，经过半径的外端且垂直与这条半径的直线时圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点A作直线．将以的速度向右移动（点O始终在直线l上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【知识点】切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面内，给定不在同一条直线上的三点，如图所示，点到点的距离均等于(为常数)，到点的距离等于的所有点组成图形． (1)画出图形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)连接点与的中点，点在的延长线上，连接，，．依题意补全图形，并求直线与图形的公共点个数． 【答案】(1)见解析 (2)个 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、画圆(尺规作图) 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，切线的性质与判定； （1）点到、、的距离均等于则、、三点共圆，可得图形是圆心为，半径为的圆； （2）先求得，得到，加上为半径，得出为切线，即可得出结论； 【详解】（1）解：点到、、的距离均等于， ， 、、三点共圆， 到点的距离等于的所有点都在圆心为，半径为的圆上， 图形是圆心为，半径为的圆，如图 （2）直线与图形的公共点个数为个， 连接、，如图， 在四边形中，， ， ，点为中点， ， ， ， ， ， 又为半径， 为切线， 直线与图形公共点个数为个． 【题型十一】应用切线长定理求解 【例11】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】此题主要是考查了切线长定理．设和圆的切点分别是P，N，M，Q，根据切线长定理得到，，所以的周长即是的值，求解即可． 【详解】解：设和圆的切点分别是P，N，M，Q，设， 根据切线长定理，得，， 则有， 解得：． 所以的周长． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，且，，.则的长为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，关键是推出，，，用了方程思想． 设，根据切线长定理得出，，，求出，，根据，代入求出a即可． 【详解】解：设， ∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， 即， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 【答案】 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】本题考查切线长定理，熟知切线长定理内容是解题关键．由切线长定理可知，，，进而可得，即可解决问题． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴． 【题型十二】应用切线长定理求证 【例12】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求证 【分析】连接，，根据切线长定理可得，再证明，问题得解． 【详解】连接，，如图，    ∵切于，切于， ∴，即是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴，即平分， ∴，即A、B、C三项都正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握切线长定理，是解答本题的关键． 【举一反三】 1．如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 【答案】D 【知识点】应用切线长定理求证 【分析】连接OA、OB、OC，由切线性质得OB⊥PB、OA⊥PA，从而求得∠AOB的度数，再由切线长定理得到DB=DC，从而证得OD平分∠BOC，同理得OE平分∠AOC，最后由∠DOE=∠AOB得到∠DOE的度数． 【详解】解：如下图 连OA、OB、OC ∵PB切⊙O于B，PA切⊙O于A ∴OB⊥PB，OA⊥PA 又∠P=50° ∴∠AOB=130° ∵DB切⊙O于B，DE切⊙O于C ∴DB=DC且OC⊥DC ∴OD平分∠BOC，即∠DOC=∠BOC 同理得∠EOC=∠AOC ∴∠DOE=∠DOC+∠EOC =∠BOC+∠AOC =(∠BOC+∠AOC) =∠AOB=×130° =65°． 故选：D． 【点睛】此题考查切线的性质、切线长定理，发现∠DOE=∠AOB是关键． 2．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 【答案】3cm． 【知识点】应用切线长定理求证 【分析】连接OA，根据题意求出∠OAB＝60°，再根据直角三角形的性质和勾股定理求得OB，从而得出光盘的直径． 【详解】如图，作OB⊥AB，连接OA， ∵∠CAD＝60°， ∴∠CAB＝120°， ∵AB和AC与⊙O相切， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴∠OAB＝∠CAB＝60° ∵AB＝3cm， ∴OA＝6cm， ∴由勾股定理得3cm， ∴光盘的半径是3cm． 故答案为：3cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【答案】(1) (2)解答见解析 【知识点】应用切线长定理求证 【分析】此题主要考查了新定义圆的外切四边形，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键． （1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论； （2）根据切线长定理即可得出结论； 【详解】（1）解：与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H， 猜想， （2）解：已知：四边形的四边，，，都于相切于G，F，E，H， 求证：， 证明：，和相切， ， 同理：，，， ， 即： 【题型十三】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例13】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的内切圆和面积，设的内切圆为，与 分别相切于点，由，，得，，连接，由可得，即得，同理得，进而即可求解，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：设的内切圆为，与 分别相切于点， ∵，，， ∴， ， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， 连接，，，，，，则， ∵ ，且，，， ∴， 解得， 同理可得，， 解得， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质；勾股定理求得，进而根据等面积法求得，三角形的内切半径，根据，即可求解． 【详解】解：中，，， ， ，， 内切圆半径， ， 设与切于点，与切于点，连接、， 则四边形为正方形， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 【答案】/ 【知识点】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】此题考查了外接圆半径和内接圆半径，根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半求出半径，根据直角三角形的面积公式求出内接圆半径． 【详解】解：∵中，，， ∴是等腰直角三角形， ∵根据直角三角形外接圆的半径是斜边的一半得圆的半径为4． ∴ ∴ 设内切圆半径为，则有， ∴此三角形内切圆的半径 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）连接，由三角形的内心性质得到内心，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （2）过点I分别作，垂足分别为，根据内切圆的性质和切线长定理得到，利用勾股定理求得，，进而可求解． 【详解】（1）解：，理由： 如图，连接， 为的内心， ∴， ， ， ， ； （2）解：如图，过点I分别作，垂足分别为， 为的内心，即为的内切圆的圆心， 分别为该内切圆与三边的切点， ， ， ， ， ， 的周长为 ． 【题型十四】圆外切四边形模型 【例14】下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】C 【知识点】圆外切四边形模型 【分析】根据内切圆的定义以及特殊四边形的性质进行分析，从而可得答案． 【详解】角平分线上的点到角的两边距离相等，角平分线的交点是内切圆的圆心，菱形的对角线平分对角， 所以菱形的两条对角线的交点到菱形的各边的距离相等，以交点为圆心，交点到菱形的边为半径的圆就是菱形的内切圆， 选项中只有菱形，对角线平分对角． 故选C 【点睛】本题考查了内切圆的定义，菱形的性质，掌握内切圆的定义是解题的关键． 【举一反三】 1．如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】圆外切四边形模型 【分析】延长FO交AB于点G，根据折叠对称可以知道OF⊥CD，所以OG⊥AB，即点G是切点，OD交EF于点H，点H是切点．结合图形可知OG=OH=HD=EH，等于⊙O的半径，先求出半径，然后求出正方形的边长． 【详解】解：如图：延长FO交AB于点G，则点G是切点，OD交EF于点H，则点H是切点， ∵ABCD是正方形，点O在对角线BD上， ∴DF=DE，OF⊥DC， ∴GF⊥DC， ∴OG⊥AB， ∴OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圆的半径． 在等腰直角三角形DEH中，DE=2， ∴EH=DH==AE． ∴AD=AE+DE=+2． 故选C． 【点睛】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质，结合正方形的特点求出正方形的边长． 2．如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    【答案】 【知识点】圆外切四边形模型、根据正方形的性质求线段长 【分析】连接，由题意可知过点，，且，列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于，过点作于，    ∵正方形，正方形和正方形都在正方形内， ∴， ∵分别与，，，相切， ∴四边形是正方形， ∴过点，， 四边形为正方形， ，，． ． ． 设的直径为，则 ． ， ．， ， （） 解得：． 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及正方形的内切圆，掌握相关知识是解题的关键． 3．如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【答案】见解析. 【知识点】圆外切四边形模型 【分析】由切线长定理可得AD+BC=AB+CD=2AB，根据梯形中位线定理可得AD+BC=2EF，进而可得EF=AB. 【详解】∵等腰梯形ABCD是的外切等腰梯形， ∴AD+BC=AB+CD=2AB， ∵梯形中位线为EF， ∴AD+BC=2EF， ∴EF=AB. 【点睛】本题考查切线长定理及梯形的中位线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；熟知圆外切四边形对边和相等是解题关键. 【题型十五】三角形内心有关应用 【例15】（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 【答案】B 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握内心与外心的区别．连接，，根据点O是的内心，，可得，再根据点O也是的外心，和圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O是的内心，， ∴，是，的平分线， ∴，， ∴ ， ∵点O也是的外心， ∴， 则的度数为． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【答案】B 【知识点】折叠问题、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等． 【详解】解：如图：过点作，，，    由题意得：，， 为角平分线的交点， ， 点到三边的距离相等． 点是的内心． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是的内切圆，，则的大小为 ．    【答案】115° 【知识点】三角形内心有关应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形内角和定理，由三角形的内切圆与内心及三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键． 先由三角形内角和定理求出的度数，再由是的内接圆得到，最后根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∵是的内切圆， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、应用切线长定理求解、三角形内心有关应用 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 【详解】解：设半径为 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则， 由切线长定理易知：，， ， 在中，， ． 整理，得：， 解得， ． ． 【题型十六】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例16】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查的是三角形的内切圆与内心、三角形面积，设内切圆的半径为，切点分别为、、，连接、、、、、，则，得出，即可得出结果． 【详解】解：设内切圆的圆心为，半径为，切点分别为、、，，，， 连接、、、、、，如图所示： 则， ∵三角形的三边长分别为3，4，5，， ∴为直角三角形， ， ， 即， 解得：， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】本题考查三角形的内切圆，根据三角形的面积与三角形的周长和内切圆半径之间的关系，进行求解即可． 【详解】解：如图，，为的内切圆，与三边相切于点，连接，连接， 则：点是三条角平分线的交点， ， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴，即的半径为； 故选C． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 【答案】50 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】根据三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：的面积为； 故答案为：50． 【点睛】本题考查三角形的内切圆．熟记三角形的面积等于三角形的周长与内切圆半径的乘积的一半，是解题的关键． 3．的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 【答案】rl 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【分析】利用三角形内切圆的性质结合三角形面积求法得出即可. 【详解】解：如图所示：设△ABC的内切圆O与AB、BC、AC的切点分别为D、E、F， S＝＋＋＝r（）＝rl 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与圆心，正确表示出S的值是解题关键. 【题型十七】三角形内切圆与外接圆综合 【例17】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【答案】C 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，关键是掌握三角形外心的定义．由三角形外心的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵是的外接圆， ∴点O是的外心． 故选：C． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合、三角形内心有关应用 【分析】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，根据三角形内角和定理即可求得的度数，然后根据内心的定义即可求得然后根据三角形内角和定理即可求解，掌握内心定义是解决本题的关键. 【详解】解： ， ∵点是的内心， ， 故选：． 2．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，则的外接圆的直径是 ． 【答案】 【知识点】三角形内切圆与外接圆综合 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心，根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得外接圆的直径，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：设圆的圆心为点，则的外接圆如图，连接,，过点作， ∵在中,，， ∴， ∵ ∴，， ∴ ∴，即外接圆的直径是， 故答案为：． 3．根据下列条件作图： （1）如图①，请用直尺和圆规作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，点A为圆上一点，请用直尺和圆规作出直径AB（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【知识点】画圆(尺规作图)、三角形内切圆与外接圆综合、三角形内心有关应用 【分析】（1）作∠ABC，∠ACB的角平分线交于点I，作IE⊥BC于E，以I为圆心，IE为半径作⊙I即可． （2）作弦AC，AD，作线段AC，AD的垂直平分线交于点O，作直线AO交⊙O于B，线段AB即为所求． 【详解】解：（1）如图①中，⊙I即为所求． （2）如图②中，线段AB即为所求． 【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【题型十八】圆和圆的位置关系 【例18】（24-25九年级上·安徽六安·期末）两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【答案】D 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，根据圆心距等于两圆的半径的和可得两圆外切，即可求解． 【详解】解：∵两圆的半径分别为和，圆心距为，, ∴这两圆的位置关系为外切. 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 【答案】D 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了圆的内切和外切的性质．根据两圆的位置关系分内切和外切两种即可解答． 【详解】解：①当与外切时， ∵，的半径是， ∴的半径为；    ②当与内切时， ∵，的半径是， ∴的半径为，    故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）同一平面内，点和圆有三种位置关系，直线和圆有三种位置关系，圆和圆有 种位置关系． 【答案】五/5 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系．熟练掌握圆和圆有外离，外切，相交，内切，内含共五种位置关系是解题的关键． 根据圆和圆有外离，外切，相交，内切，内含共五种位置关系求解作答即可． 【详解】解：由题意知，圆和圆有外离，外切，相交，内切，内含共五种位置关系， 故答案为：五． 3．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆和圆的位置关系 【分析】（1）联结O1O2，即O1O2为连心线，欲证明O1AO2B，只需推知∠A＝∠B； （2）利用（1）中的结论，结合平行线截线段成比例得到，通过计算求得AT的值． 【详解】（1）证明：联结O1O2，即O1O2为连心线， 又∵⊙O1与⊙O2外切于点T， ∴O1O2经过点T． ∵O1A＝O1T，O2B＝O2T． ∴∠A＝∠O1TA，∠B＝∠O2TB． ∵∠O1TA＝∠O2TB， ∴∠A＝∠B． ∴O1AO2B； （2）∵O1AO2B， ∴． ∵O1A＝2，O2B＝3，AB＝7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，平行线分线段成比例，平行线的判定，掌握圆与圆的位置关系是解题的关键． 【题型十九】圆内知识综合(圆的综合问题) 【例19】平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（　　） A．6或10 B．3或5 C．6 D．5 【答案】A 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得出答案． 【详解】解：当点P在圆内时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为10， 当点P在圆外时，因为点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，所以圆的直径为6． 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径． 【举一反三】 2．如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，且点E在第一象限，CF⊥AE于点F，当点E在⊙G的圆周上运动的过程中，线段BF的长度的最小值为（　　） A．3 B．22 C．6﹣2 D．4 【答案】C 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】要求线段BF的最小值，首先要找到点F的运动轨迹，根据分析计算可知点F的运动轨迹是以AC为直径的圆，求出圆心与点B之间的距离，然后用该距离减去半径就是线段BF的最小值. 【详解】连接AC、BC，如图所示： ∵以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点， ∴OC＝6，OG＝2，AG＝4，OA＝OB，AC＝BC， ∴OA2， AB＝2OA＝2×24， ∵CF⊥AE， ∴∠CFA＝90°， 在中，由勾股定理得 AC4， ∴点F的运动轨迹是以AC为直径的圆，设圆心为H，连接BH交⊙H于点F′，则BF′即为线段BF的最小长度， ∵AC＝BC＝AB＝4， ∴△ABC是等边三角形， ∴△ABH是直角三角形， AHAC42， BH6， ∴BF′＝BH﹣HF′＝BH﹣AH＝6﹣2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段的最小值，能够根据题目中给出的已知条件找到点F的运动轨迹是解题的关键. 2．已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是 ． 【答案】 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值为． 【详解】解：连接， 点是的中点， ， 点在以为直径的圆上，设为， ， 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为， 作于，与， ， 是的中点， ， ， ，，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理关系，等腰三角形的性质，以及解直角三角形等，确定点在以为直径的圆上是解题的关键． 3．如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆内知识综合(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，证明，得，由，得，则，即平分； （2）连接交于点，由得，则垂直平分，是的中位线，则，而，根据勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：证明：如图1，连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）如图2，连接交于点， ， ， ，， ， ，，， ， 设的半径为，则， ， ，， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 的半径为． 【点睛】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 【题型二十】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【例20】（22-23九年级上·重庆渝北·期末）如图，是的外接圆，，若的半径为4，则弦的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可推出，然后根据三边关系直接求解即可． 【详解】过作于 ∵ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】此题考查圆与三角形的综合，解题关键是推出特殊角度的直角三角形，然后利用勾股定理直接求解． 【举一反三】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】C 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、圆与四边形的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查角度的最值问题，矩形的判定，圆的基本性质，通过角度构造圆是解决问题的关键． 构造的外接圆，当为圆的切线时，的角度最大，易证为矩形，通过勾股定理求得的长度，从而得到结果． 【详解】解：如图所示，为的外接圆， 延长交于点，连接，则， ，当的半径最小时，最大， ∵点C在上， ∴当为的切线时，最大． 连接，过点O作于点F，则， ， ， ∴四边形为矩形， ， ， ． 故选择：C． 2．（2024·广东广州·二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆与三角形的综合(圆的综合问题)、切线的性质和判定的综合应用 【分析】（1）连接，由E是的中点可得，进而可得．再证，即可求证是的切线． （2）先根据求出，再证，则可得，进而可得，最后再根据勾股定理即可求出的长． 本题考查了勾股定理，与圆有关的计算，涉及圆切线的证明，锐角三角函数等知识点，正确作出辅助线，熟练掌握好圆切线的判定与性质以及能熟练解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵E是的中点， ∴， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 即， ， 是圆的直径， 是的切线； （2）解：在中，， ， 是的切线， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型二十一】其他问题(圆的综合问题) 【例21】如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【答案】B 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT．根据垂径定理以及三角形的中位线定理，可得DE＝PT，当PT是直径时，DE的长最大，再证明∠AOB＝90°，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长CD交⊙O 于P，延长CE交⊙O于T，连接PT． ∵OA⊥PC，OB⊥CT， ∴CD＝DP，CE＝TE， ∴DE＝PT， ∴当PT是直径时，DE的长最大， 连接OC， ∵OP＝OC＝OT，OD⊥PC，OE⊥CT， ∴∠COA＝∠POA，∠COB＝∠BOT， ∴∠AOB＝∠COA+∠COB＝∠POT＝90°， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握垂径定理及三角形中位线定理是解题关键． 【举一反三】 1．如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是（  ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D，根据切线的性质可知PC⊥y轴，故可得出四边形PDOC是矩形，所以PD=OC=3，再求出AB的长，由垂径定理可得出AD的长，故可得出OD的长，进而得出P点坐标，再把P点坐标代入直线y=kx-1即可得出结论． 【详解】解：连接PC，PA，过点P作PD⊥AB于点D， ∵⊙P与y轴相切于点C（0，3）， ∴PC⊥y轴， ∴四边形PDOC是矩形， ∴PD=OC=3， ∵A（1，0），B（7，0）， ∴AB=7-1=6， ∴AD=AB=×6=3， ∴OD=AD+OA=3+1=4， ∴P（4，3）， ∵直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积， ∴3=4k-1，解得k=1． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出P点坐标即可得出结论． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】因为点A的坐标是（a，a），所以A在直线y=x上，作BH⊥直线y=x，连接AB、BC和OC，易得△BOH为等腰直角三角形，所以BH=，由AC是与⊙B相切，可得在Rt△ACB中，，所以AB最小时，AC的值最小，利用垂线段最短即可解决． 【详解】∵点A的坐标是（a，a） ∴A在直线y=x上 作BH⊥直线y=x，连接AB、BC和OC ∵∠AOB=45° ∴△BOH为等腰直角三角形 ∴BH== ∵AC是与⊙B相切 ∴BC⊥AC 在Rt△ACB中， ∴AB最小时，AC的值最小 而A在H点时，AB最小，此时AB=BH= ∴AC的最小值为： 故答案为： 【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是确定AB的最小值． 3．如图，是的直径，、是上的点，平分，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)4 【知识点】其他问题(圆的综合问题) 【分析】（1）连接，由圆的基本性质结合题意易证，即证明，从而可证明，得出为的切线； （2）设交于点．由圆周角定理结合（1）可知，，即可证明四边形为矩形，推出，．再由垂径定理可推出，最后在中，利用勾股定理即可求出r的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴为的切线； （2）设交于点， ∵为得直径 ∴ ∴ ∴四边形为矩形 ∴，， ∴ ∵在中，， 又∵， 即， 解得， ∴的半径为4． 【点睛】本题为圆的综合题，涉及切线的判定，平行线的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质以及勾股定理等知识．连接常用的辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．圆的半径是，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 【答案】A 【分析】先确定圆的半径为6.5，而圆心到直线的距离为4.5，即圆心O到直线的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点． 【详解】解：∵圆的半径为， ∵圆心到直线的距离为， ∴圆心到直线的距离＜圆的半径， ∴直线与圆相交， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为，直线和相交⇔；直线和相切⇔；当直线相离⇔． 2．如图，已知的直径与弦的夹角为，过点的切线与的延长线交于点，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可通过构建直角三角形求解．连接OC，在Rt△POC中，根据圆周角定理，可求得∠POC=2∠A=60°，已知PC的长，即可求出OC的值，也就是半径的长． 【详解】 连接OC，则OC⊥PC， 根据圆周角定理得：∠POC=2∠A=60， 在Rt△OCP中，∠POC=60，PC=5， 因此OC=. 故选A . 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数值. 3．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质．连接，根据切线的性质得到，根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．已知的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则直线L与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】A 【分析】将圆心到直线距离与半径比较，即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为2，， ∴直线L与的位置关系是相交， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆与直线的位置关系，解题的关键是掌握圆心到直线距离为d，半径为r，当时，直线与圆相离；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相交． 5．图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】A 【详解】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A. 6．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】C 【详解】已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，因6＞5，即d＜r，所以直线l与⊙O的位置关系是相离. 故选C 7．下列命题中是假命题的是（   ） A．圆的切线垂直于过切点的半径 B．垂直于切线的直线必经过切点 C．若圆的两条切线平行,那么经过两切点的直线必经过圆心 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线 【答案】B 【分析】根据直线与圆的关系及真假命题的定义进行作答. 【详解】A.真命题，所以A错误； B. 垂直于切线的直径必经过切点，因此B为假命题，所以B正确；C.真命题，所以C错误；D.真命题，所以D错误.综上，选B. 【点睛】本题考查了直线与圆的关系及真假命题的定义，熟练掌握直线与圆的关系及真假命题的定义是本题解题关键. 8．以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限，和当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限b的值，则相交时b的值在相切时的两个b之间． 【详解】当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时如图 在中，令x=0,y=b，则与y轴的交点为（0,b） 令y=0,x=b，则与x轴的交点为（b,0） 则OA=OB，即△AOB是等腰直角三角形 连接圆心O和切点C，则OC=1 ∴△BOC也是等腰直角三角形 ∴BC=OC=1 ∴BO= 同理当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，b=-， ∴直线与⊙O相交，则b的取值范围是 故选D． 【点睛】此题主要考查直线与圆的关系综合，解题的关键是根据题意找到直线与圆相切时b的值． 9．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，�从这点到圆的最短距离为（   ） A．9 B．9（-1） C．9（-1） D．9 【答案】C 【详解】如图所示,点A为圆外一点,AB切⊙O于点B,则AC是点A到⊙O的最短距离, 连接OB,则OB⊥AB, 设AC=x,则OA=9－x, 在Rt△ABO中, 因为 所以 解得或(舍去), 所以这点到圆的最短距离为,故选C. 10．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．⊙O的直径为12，圆心O到直线l的距离为12，则直线l与⊙O的位置关系是 【答案】相离 【详解】∵⊙O的直径为12 ∴r=6，∵d=12 ∴d＞r ∴直线l与⊙O的位置关系是相离. 故答案是：相离.   12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. 那么∠APB= °. 【答案】60 【分析】由PA、PB分别切 O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小. 【详解】∵PA、PB分别切O于A. B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠PAO=∠PBO=90， ∵∠C=60， ∴∠AOB=2∠C=2×60=120， ∴∠APB=360−∠PAO−∠PBO−∠AOB=60. 故答案为60. 【点睛】本题考查切线的性质, 圆周角定理. 13．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是 ． 【答案】52 【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得． 【详解】解：由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等， 所以四边形的周长＝2（16+10）＝52． 故答案为：52． 【点睛】此题主要考查了圆外切四边形的性质，对边和相等． 14．如图，是的内切圆，，若，则的半径为 ． 【答案】3cm 【分析】连接OE、OD、OF、OC、OA、OB，根据三角形内切圆的性质可得OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，OD=OE=OF，然后根据勾股定理可得AB=15cm，进而根据三角形面积可进行求解． 【详解】解：连接OE、OD、OF、OC、OA、OB，如图所示： ∵是的内切圆， ∴OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，OD=OE=OF， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴； 故答案为3cm． 【点睛】本题主要考查三角形的内切圆、切线的性质、等积法及勾股定理，熟练掌握三角形的内切圆、切线的性质、等积法及勾股定理是解题的关键． 15．在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R = cm，内切圆半径r = cm. 【答案】 6.5， 2. 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的长，根据直角三角形外接圆半径=斜边的一半，即可得出结果．内切圆半径则通过三角形的面积去切入即可. 【详解】解：(1)∵∠C=90°，AC=12cm，BC=5cm， ∴AB===13(cm)， ∴△ABC的外接圆的半径=AB=6.5cm， 故答案为6.5cm. (2)S△ABC=(AC+AB+BC)××r内=C△ABC=30，则△ABC的内切圆的半径为2cm.故答案为：2. 【点睛】本题考查了内切圆的定义与三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟悉内切圆与外接圆的概念以及运用. 16．如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N，根据∠B=90°可知，点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径，可知BO+OM≥BN，故当BN为直径时，直径的值最小，即直径GH也最小，同理可得EF的最小值． 【详解】如图，设GH的中点为O，过O点作OM⊥AC，过B点作BN⊥AC，垂足分别为M、N， ∵在Rt△ABC中，BC=8，AB=6， ∴， 由面积法可知，BN•AC=AB•BC， 解得BN=4.8， ∵∠ABC=90°， ∴点O为过B点的圆的圆心，OM为⊙O的半径，BO+OM为直径的长， 又∵BO+OM≥BN， ∴当BN为直径时，直径的值最小， 此时，直径GH=BN=4.8， 同理可得：EF的最小值为4.8， 故EF+GH的最小值是9.6． 故答案为：9.6 【点睛】本题考查了切线的性质，垂线的性质及勾股定理的运用．关键是明确EF、GH为两圆的直径，根据题意确定直径的最小值． 17．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒） 【答案】t=2或3≤t≤7或t=8． 【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°． ∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点． ∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°． 分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′， 则PM′=cm，∠PM′M=90°， ∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm， ∴QP=4cm﹣2cm=2cm， ∵速度是每秒1cm，∴t=2． ②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA， 则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm ∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm． ∵速度是每秒1cm，∴t=3． 当⊙P于AC切于C点时，连接P′C， 则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm， ∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm． ∵速度是每秒1cm，∴t=7． ∴当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切． ③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′， 则PN′=cm，∠PM\N′N=90°， ∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm． ∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm． ∵速度是每秒1cm，∴t=8． 综上所述，t可取的一切值为：t=2或3≤t≤7或t=8． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ．    【答案】 ； / 【分析】本题考查了外接圆的性质，两点间的距离，一元二次方程的根的判别式，由，，都在上，得点在轴上，设，根据两点间的距离即可求出的值，根据外接圆上的点到圆心的距离为，得到，设，则，再转化为一元二次方程的根的判别式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，    ∵，，都在上， ∴点在轴上，设， ∴，， ∴，解得：， ∴圆心， ∴外接圆的半径为， 则可得外接圆上的点到圆心的距离为， ∴， 设，则， ∴，整理得：， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为，即的最大值为， 故答案为：；． 三、解答题 19．已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 【答案】(1) (2)作图见详解 【分析】（1）阴影部分的面积是圆的面积减去三角形的面积，由此即可求解； （2），点在圆上，连接并延长交于点，连接，并延长交于点，由此即可求解． 【详解】（1）解：半径，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． （2）解：如图所示， 连接并延长交于点，连接，并延长交于点，作直线，则为所求作的切线． 【点睛】本题主要考查圆的几何变换，切线的尺规作图，掌握圆的基本知识，切线的性质是解题的关键． 20．已知，在四边形中，是对角线上一点，，以为直径的与边相切于点.点在上，连接. （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先根据切线的性质判断出∠2+∠3=90°，再由DE=EC判断出∠1=∠2即可得出结论； （2）先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可． 【详解】证明：（1）连接，∵是的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴. ∵，， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴四边形是平行四边形. ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，判断出△ABO≌△CDE是解题的关键． 21．如图，在中，，点I是内心，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理即可求得的度数，然后根据内心的定义即可求得，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ． 点是的内心， ∴BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心相关的计算，正确理解是解题的关键． 22．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且 【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可． 【详解】解：（1）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有1个交点； （2）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有2个交点； （3）圆心的坐标为， 当或5时，圆与坐标轴有3个交点； （4）圆心的坐标为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：（1）；（2）；（3）或5；（6）且． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，这是此题易遗漏的地方． 23．已知PA切⊙O于点A，直线l经过圆心O，且垂直于PA，直线l一定经过切点A吗？为什么？ 【答案】见解析 【分析】用反证法证明即可. 【详解】直线一定经过切点A， 用反证法来证 假设直线l经过圆心O,且垂直于PA,垂足为B（B与A不重合） 连接OA.由于PA是切线,所以OA垂直PA 由假设OB也垂直PA,过一点O有2条直线OA,OB都垂直PA,这与过一点有且只有一条直线垂直已知直线矛盾.于是B与A重合,所以直线l经过圆心O,且垂直于PA,直线l一定经过切点A. 【点睛】本题是有关切线说法的问题，考查切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键. 24．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D． (1)求证：OC＝AD； (2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)． 【答案】（1）证明见解析（2）18.4 【详解】分析：(1)、根据切线的性质得出OA⊥PA，结合已知条件证明出四边形AOCD为矩形，从而得出答案；(2)、根据Rt△OBC中∠BCO的正弦值得出OC的长度，从而得出四边形的周长． 详解：(1)证明：∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA，即∠OAD＝90°，∵OC∥AP， ∴∠COA＝180°－∠OAD＝180°－90°＝90°， ∵CD⊥AP，∴∠CDA＝∠OAD＝∠COA＝90°， ∴四边形AOCD是矩形，∴OC＝AD； (2)∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP＝90°， ∵OC∥AP，∴∠BCO＝∠P＝50°， 在Rt△OBC中，sin∠BCO＝，OB＝4， ∴OC＝≈5.22， ∴四边形AOCD的周长为2(OA＋OC)≈2×(4＋5.22)≈18.4. 点睛：本题主要考查的是切线的性质、矩形的判定以及解直角三角形的应用，属于中等难度的题型．得出矩形是解决这个问题的关键． 25．已知圆0的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是圆O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD． （1）试问：CG//AD吗？说明理由： （2）证明：点E为OB的中点. 【答案】(1)平行，理由见解析（2）见解析. 【分析】（1）根据切线的性质知CG⊥CF，再由已知条件CF⊥AD，可以根据在同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行判定CG∥AD； （2）连接AC构建等边三角形ACD，然后根据等边三角形的“三线合一”、三个内角都是60°的性质推知∠FCD＝30°；最后利用垂径定理和30°的直角边是斜边的一半求得OE＝OB，即点E为OB的中点. 【详解】（1）CG∥AD，理由如下： ∵CG是⊙O的切线，OC是⊙O的半径， ∴CG⊥CF； 又∵CF⊥AD， ∴CG∥AD； （2）如图（1），连接AC， ∵CF⊥AD，AE⊥CD， 且CF、AE过圆心O， ∴AC＝AD＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠D＝60°， ∴∠FCD＝30°；                   在Rt△COE中，OE＝OC， ∴OE＝OB， ∴点E为OB的中点. 【点睛】本题综合考查了切线的性质、圆周角定理与垂径定理．解题的关键是熟知同一平面内，同时垂直于同一条直线的两条直线互相平行． 26．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． (1)求证：AC为的切线； (2)若，，求线段AD的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接OB，证明△CAO≌△BAO（SSS），由全等三角形的性质得出∠OCA＝∠OBA．由切线的性质得出∠ABO＝90°，则∠OCA＝90°，可得出结论； （2）由勾股定理求出BD的长，设AC＝x，则AC＝AB＝x，得出方程，解方程可得x，进一步得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接OB， ∵， ∴ △OBC是等腰三角形， ∵， ∴， ∴OA是CB的垂直平分线， ∴， 在△CAO和△BAO中     ∴（SSS）， ∴， ∵AB为的切线， ∴OB⊥AB, ∴， ∴， ∴， ∵OC是的半径， ∴AC为的切线； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴（负根已舍去）， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明△CAO≌△BAO是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 直线和圆的位置关系 （知识清单+21大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 已知直线和圆的位置关系求半径的取值 题型三 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型五 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型六 切线的应用 题型七 判断或补全使直线为切线的条件 题型八 证明某直线是圆的切线 题型九 切线的性质定理 题型十 切线的性质和判定的综合应用 题型十一 应用切线长定理求解 题型十二 应用切线长定理求证 题型十三 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十四 圆外切四边形模型 题型十五 三角形内心有关应用 题型十六 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 题型十七 三角形内切圆与外接圆综合 题型十八 圆和圆的位置关系 题型十九 圆内知识综合(圆的综合问题) 题型二十 圆与三角形的综合(圆的综合问题) 题型二十一 其他问题(圆的综合问题) 知识清单 知识点1．直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系： ①相离：一条直线和圆没有公共点． ②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点． ③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线． （2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d． ①直线l和⊙O相交⇔d＜r ②直线l和⊙O相切⇔d＝r ③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 知识点2．切线的性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的性质可总结如下： 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． （3）切线性质的运用 运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 知识点3．切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （2）在应用判定定理时注意： ①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线． ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的． ③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 知识点4．切线的判定与性质 （1）切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． （2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3）常见的辅助线的： ①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”； ②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 知识点5．切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 知识点6．三角形的内切圆与内心 （1）内切圆的有关概念： 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． （2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形． （3）三角形内心的性质： 三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 题型练习 【题型一】判断直线和圆的位置关系 【例1】（24-25九年级上·广东江门·期中）若半径为的圆，其圆心到直线的距离是，则直线和圆的位置关系为（   ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）的半径为6，圆心O到直线l的距离为7，则直线l与的公共点的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形的边长为，和相交于点，过作，交于，交于，则以点为圆心，为半径的圆与直线，的位置关系分别是什么？ 【题型二】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【例2】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为7，则的值可以是（   ） A．3 B．4 C．7 D．10 2．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）已知直线与相交，圆心到直线的距离为，则的半径可能为 ．（只写一个） 3． 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C． （1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？ （2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为　 　． 【题型三】已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·期末）平面内，的半径为5，若直线与相离，则圆心到直线的距离可能是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【举一反三】 1．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的半径为3，点O到直线m的距离为d，若直线m与⊙O公共点的个数为2个，则d可取（　　） A．2 B．3 C． D．4 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在同一平面内，半径为4的与直线相离，则圆心P到直线的距离d需满足的条件是 ． 3．（23-24九年级上·吉林白山·期末）如图，已知的半径为1，圆心在抛物线上运动，当与轴相切时，求圆心的坐标.    【题型四】求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 【例4】（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【举一反三】 1． 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（　　） A．1或5 B．1或3 C．3或5 D．1 2． 如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切． 3． 如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动． （Ⅰ）当圆心O移动的距离为1cm时，说明⊙O与直线PA的位置关系． （Ⅱ）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，求d的取值范围 【题型五】求直线平移到与圆相切时运动的距离 【例5】 如图，在半径为5cm的⊙O中，直线l交⊙O于A、B两点，且弦AB＝8cm，要使直线l与⊙O相切，则需要将直线l向下平移(　　) A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【举一反三】 1． 如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆的圆心的坐标为（-3，0），将圆沿轴的正方向平移，使得圆与轴相切，则平移的距离为（    ） A．1 B．3或6 C．3 D．1或5 2．（22-23九年级上·福建南平·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 2． 如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，求l沿OC所在直线向下平移多少cm时与⊙O相切． 【题型六】切线的应用 【例6】 以坐标原点为圆心，1为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1． 如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 2． 如图，⊙O的半径OA＝1，B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为 ． 3． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D． （1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）． （2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由． （3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径． 【题型七】判断或补全使直线为切线的条件 【例7】 如图，是⊙O的直径，交⊙O于点，于点，下列说法不正确的是（    ） A．若，则是⊙O的切线 B．若，则是⊙O的切线 C．若，则是⊙O的切线 D．若是⊙O的切线，则 【举一反三】 1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是(　　) A．(5，2) B．(2，4) C．(1，4) D．(6，2) 2． 张老师在讲解复习《圆》的内容时，用投影仪屏幕展示出如下内容： 如图，内接于，直径的长为2，过点的切线交的延长线于点． 张老师让同学们添加条件后，编制一道题目，并按要求完成下列填空． （1）在屏幕内容中添加条件，则的长为 ． （2）以下是小明、小聪的对话： 小明：我加的条件是，就可以求出的长 小聪：你这样太简单了，我加的是，连结，就可以证明与全等． 参考上面对话，在屏幕内容中添加条件，编制一道题目（此题目不解答，可以添线、添字母）． ． 3．已知内接于，过点作直线． （1）如图1所示，若为的直径，要使成为的切线，还需要添加的一个条件是________________． （2）如图2所示，如果是不过圆心的弦，且，那么是的切线吗？试证明你的判断． 【题型八】证明某直线是圆的切线 【例8】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法：(1)长度相等的弧是等弧，(2) 弦相等所对的弧相等，(3) 劣弧一定比优弧短，(4) 直径是圆中最长的弦，(5)垂直于半径的直线是圆的切线． 其中正确的有 (   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4 个 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，直线经过上的点，并且，下列条件中不能判断直线是切线的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·江苏泰州·三模）如图，在扇形中，点在上，连接，将沿折叠得到．若，且与所在的圆相切于点．则＝ °    3．（23-24九年级上·新疆克孜勒苏·期末）如图，直角三角形中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长． 【题型九】切线的性质定理 【例9】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的直径，是的切线，A，B为切点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点C是中优弧的上一点，过P点的两条切线夹角，A，B为切点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，的内切圆分别与、、相切于点、、，若，，，则的周长为 ． 3．（24-25九年级上·山东淄博·期末）如图，直线，相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离处，如果以的速度沿由A向B的方向移动，那么多少秒钟后与直线相切？ 【题型十】切线的性质和判定的综合应用 【例10】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）过点作圆的切线只有一条，那么点与圆的位置关系是（  ） A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．以上都有可能 【举一反三】 1． 如图，在直线上有相距的两点和O（点在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点作直线将以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线上），则与直线相切时，时间为（    ） A．3s B．3.5s C．3s或4s D．3s或3.5s 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为的圆，过点A作直线．将以的速度向右移动（点O始终在直线l上），则与直线在 秒时相切． 3．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）在平面内，给定不在同一条直线上的三点，如图所示，点到点的距离均等于(为常数)，到点的距离等于的所有点组成图形． (1)画出图形；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)连接点与的中点，点在的延长线上，连接，，．依题意补全图形，并求直线与图形的公共点个数． 【题型十一】应用切线长定理求解 【例11】（24-25九年级上·云南昆明·期末）如图，为的内切圆，，，，点D、E分别为，上的点，且为的切线，则的周长为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，的内切圆圆O与，，分别相切于点D，E，F，且，，.则的长为（   ） A．2 B．4 C．3 D．5 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为 ． 3．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，点为外一点，，是的切线，，为切点，点，分别在，上，且与相切于点．若的周长为，求的长度． 【题型十二】应用切线长定理求证 【例12】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，切于，切于，交于，连接，下列结论中，错误的是（　　）．    A． B． C． D．以上都不对 【举一反三】 1． 如图PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，点C在AB上，过C作圆O的切线分别交PA、PB于点D、E，连接OD、OE，若∠P=50°，则∠DOE的度数为（　　　） A．130° B．50° C．60° D．65° 2． 为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 3．（24-25九年级上·重庆江北·期末）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点G，F，E，H，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图2，试探究圆的外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______选填“＞”“＜”或“=”） (2)利用图2证明你的猜想（写出已知，求证和证明过程）． 【题型十三】直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例13】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，为中线，若，，设与的内切圆半径分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023·四川泸州·模拟预测）如图，在中，，，，为的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留)(　　) A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）已知中，，，若的外接圆半径是，则此三角形内切圆的半径为 ． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长，交于点D，连接． (1)找出图中所有与相等的线段，并证明； (2)若，求的周长． 【题型十四】圆外切四边形模型 【例14】 下面图形中，一定有内切圆的是（    ） A．矩形 B．等腰梯形 C．菱形 D．平行四边形 【举一反三】 1． 如图，O是正方形ABCD的对角线BD上一点，⊙O与边AB，BC都相切，点E，F分别在AD，DC上，现将△DEF沿着EF对折，折痕EF与⊙O相切，此时点D恰好落在圆心O处．若DE=2，则正方形ABCD的边长是（　　） A．3 B．4 C． D． 2． 如图，正方形，正方形和正方形都在正方形内，且．分别与，，，相切，点恰好落在 上，若，则的直径为 ．    2． 如图所示，已知的外切等腰梯形，，梯形中位线为，求证：. 【题型十五】三角形内心有关应用 【例15】（22-23九年级上·陕西渭南·期末）如图，点O是的内心，也是的外心．若，则的度数为（    ） A．42° B．66° C．76° D．82° 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（     ） A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，是的内切圆，，则的大小为 ．    3．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，是的内切圆，三个切点分别为点，．若．求的面积． 【题型十六】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 【例16】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则此三角形的内切圆半径为（    ） A．2 B． C．1 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）等腰三角形的底边长为10，腰长为13，则它的内切圆的半径为（    ） A．6 B． C． D．3 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知的周长为20，其内切圆半径，则的面积为 ． 3． 的内切圆半径为r，的周长为．求的面积．（提示：设的内心为O，连接．） 【题型十七】三角形内切圆与外接圆综合 【例17】（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，的内切圆与各边分别相切于点，则点是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．以上选项都不正确 【举一反三】 1．（23-24九年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，点是内心，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东江门·期末）如图，在中，，，则的外接圆的直径是 ． 3． 根据下列条件作图： （1）如图①，请用直尺和圆规作出△ABC的内切圆（不写作法，保留作图痕迹）； （2）如图②，点A为圆上一点，请用直尺和圆规作出直径AB（不写作法，保留作图痕迹）． 【题型十八】圆和圆的位置关系 【例18】（24-25九年级上·安徽六安·期末）两圆的半径分别为和，圆心距为，则这两圆的位置关系为（） A．相交 B．内含 C．内切 D．外切 【举一反三】 1．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，的半径是，是外一点，，以P为圆心的圆与相切，的半径是（   ） A．3 B．13 C．3或8 D．3或13 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）同一平面内，点和圆有三种位置关系，直线和圆有三种位置关系，圆和圆有 种位置关系． 3．（上海金山·一模）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点T，经过点T的直线与⊙O1、⊙O2分别相交于点A和点B． (1)求证：O1AO2B； (2)若O1A＝2，O2B＝3，AB＝7，求AT的长． 【题型十九】圆内知识综合(圆的综合问题) 【例19】 平面上一点P与⊙O的点的距离的最小值是2，最大值是8，则⊙O的直径是（　　） A．6或10 B．3或5 C．6 D．5 【举一反三】 3． 如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，且点E在第一象限，CF⊥AE于点F，当点E在⊙G的圆周上运动的过程中，线段BF的长度的最小值为（　　） A．3 B．22 C．6﹣2 D．4 2． 已知点A，B是半径为2的⊙O上两点，且∠BOA＝120°，点M是⊙O上一个动点，点P是AM的中点，连接BP，则BP的最小值是 ． 3． 如图1，AB是⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，BD和过点C的切线互相垂直，垂足为E． (1)求证：BC平分∠DBA； (2)如图2，连接AC，当BD＝3，AC＝时，求⊙O的半径． 【题型二十】圆与三角形的综合(圆的综合问题) 【例20】（22-23九年级上·重庆渝北·期末）如图，是的外接圆，，若的半径为4，则弦的长为（    ） A．6 B． C． D． 【举一反三】 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接，则就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路与球门线垂直，D为垂足，点C在上，当最大时就是带球线路上的最佳射门角．若，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时，的长度为（   ） A．4 B．6 C． D． 2．（2024·广东广州·二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，已知是的直径，交于点D，E是的中点，与交于点F，． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长． 【题型二十一】其他问题(圆的综合问题) 【例21】 如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧上的一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（　　） A．60° B．90° C．120° D．135° 【举一反三】 1． 如图，⊙P与y轴相切于点C（0，3），与x轴相交于点A（1，0），B（7，0），直线y=kx-1恰好平分⊙P的面积，那么k的值是（  ） A． B． C．1 D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为 ． 3．如图，是的直径，、是上的点，平分，，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)如果，，求的半径． 好题必刷 一、单选题 1．圆的半径是，如果圆心与直线的距离是，那么直线和圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断 2．如图，已知的直径与弦的夹角为，过点的切线与的延长线交于点，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 3．如图，是的直径，是的切线，，，三点在同一条直线上，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．已知的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则直线L与的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 5．图中圆与圆之间不同的位置关系有（ ）． A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为6，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 7．下列命题中是假命题的是（   ） A．圆的切线垂直于过切点的半径 B．垂直于切线的直线必经过切点 C．若圆的两条切线平行,那么经过两切点的直线必经过圆心 D．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆切线 8．以坐标原点O为圆心，作半径为1的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，�从这点到圆的最短距离为（   ） A．9 B．9（-1） C．9（-1） D．9 10．如图，直线分别与相切于点E、F、G且，若，则等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．⊙O的直径为12，圆心O到直线l的距离为12，则直线l与⊙O的位置关系是 12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连结PO，AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°. 那么∠APB= °. 13．如图，四边形ABCD外切于圆，AB＝16，CD＝10，则四边形的周长是 ． 14．如图，是的内切圆，，若，则的半径为 ． 15．在△ABC中，∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，则它的外接圆半径R = cm，内切圆半径r = cm. 16．如图，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，经过点B和点D的两个动圆均与AC相切，且与AB、BC、AD、DC分别交于点G、H、E、F，则EF+GH的最小值是 ． 17．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒） 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，是的外接圆，则圆心的坐标为 ，若点是其外接圆上任意一点，则的最大值为 ．    三、解答题 19．已知，为的弦，且． (1)如图1，若，求阴影部分的面积； (2)如图2，若点为的中点，点为的中点．请仅用无刻度的直尺过点作的切线． 20．已知，在四边形中，是对角线上一点，，以为直径的与边相切于点.点在上，连接. （1）求证：； （2）若，求证：四边形是菱形. 21．如图，在中，，点I是内心，求的度数． 22．在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 23．已知PA切⊙O于点A，直线l经过圆心O，且垂直于PA，直线l一定经过切点A吗？为什么？ 24．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP于点D． (1)求证：OC＝AD； (2)若∠P＝50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长(精确到0.1，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)． 25．已知圆0的直径AB垂直于弦CD于点E，CG是圆O的切线交AB的延长线于点G，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD． （1）试问：CG//AD吗？说明理由： （2）证明：点E为OB的中点. 26．如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，延长CO与AB的延长线交于点D． (1)求证：AC为的切线； (2)若，，求线段AD的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$