第2章 对称图形——圆 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第2章 对称图形——圆 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，设圆的半径为，圆心为，点到圆心的距离为，当时，点在圆的外部；当时，点在圆上；当时，点在圆的内部，据此进行判断即可． 【详解】解：∵点与圆心的距离大于半径， ∴点位于圆的外部； 故选A． 2．半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离．据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 3．如图，点A，B，C在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可求解，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ． 故选：B． 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5．下列说法正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．弧长相等的弧一定是等弧 D．平分弦的直径必垂直于弦 【答案】A 【分析】根据圆的性质，解答即可． 本题考查圆的有关性质，涉及圆心角、圆周角、等弧的定义及垂径定理的应用。需根据各选项的条件与结论逐一判断． 【详解】解：A. 同弧或等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；     B.同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等，错误，不符合题意； C. 弧长相等的弧不一定是等弧，错误，不符合题意；     D. 平分弦（非直径）的直径必垂直于弦，错误，不符合题意； 故选：A． 6．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是关键，根据题意设圆的半径为，则，，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 设此圆的半径为，则， ∵是弦的中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即， 解得：， 即的半径长为． 故选：A． 7．如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用垂径定理、圆周角定理和圆内接四边形的性质来求解的度数． 利用垂径定理得出，再利用圆周角定理计算的度数，最后利用圆内接四边形的性质计算的度数． 【详解】解：在上取一点，连接， ∵是的半径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查组合图形的面积，解题的关键是掌握圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法． 【详解】根据圆面积、扇形面积以及矩形面积的计算方法进行计算即可． 【点睛】解：如图，扫过的面积为， ∵，，，半径为， ∴，，，， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 【答案】圆外 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系、若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，据此可得答案． 【详解】解：∵在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，且， ∴点P与的位置关系是点P在圆外， 故答案为：圆外． 10．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴正六边形的中心角是， 故答案为：36． 11．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的母线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【详解】解：这个圆锥的母线长为， 故答案为：． 12．如图，在中，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故答案为： 13．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了．假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提． 利用题意得到重物上升的高度为定滑轮中所对应的弧长，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，重物上升的距离为半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故答案为：． 14．如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确把握切线的性质是解题关键．直接利用切线的性质得出，进而利用圆周角定理结合四边形内角和定理得出答案． 【详解】连接，， 、是的切线，切点分别是、， ， ， ， ． 故答案为：． 15．如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 点是的内心， 平分， ， ， 点是外接圆的圆心， ， ， ， 故答案为：． 16．如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，已知、为的两条弦，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了圆周角定理，同弧所对的弦是相等的，据此即可作答． 【详解】解：∵、为的两条弦， ∴ ∴ ∴ 18．如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． (1)根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； (2)写出线段旋转到的旋转中心的坐标； (3)若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析，， (2)旋转中心的坐标为或 (3) 【分析】（1）依据，，即可得到平面直角坐标系，并写出C，D的坐标． （2）旋转中心有两种可能，分两种情形，当点A和C，点B和D为对应点或点A和D，B和C为对应点，分别找出旋转中心即可． （3）旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积，分别求出各面积即可 本题考查了坐标与图形变化中的旋转，关键是结合网格画图图形，求出线段长． 【详解】（1）画出坐标系如图，， （2）当点A和C，点B和D为对应点时， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则点P即为线段与线段的旋转中心， 点P的坐标为； 点A和D，B和C为对应点， 分别作线段，的垂直平分线，相交于点Q， 则点Q即为线段与线段的旋转中心， 点Q的坐标为． 综上所述，旋转中心的坐标为或． （3）如图，旋转中心为，连接，，，，则线段扫过的面积 ∵， ∴线段扫过的面积 ∵，， ∴， ∴线段扫过的面积 19．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用，可得，再根据圆内接四边形性质可得，即可得到结论； （2）利用，可得，根据圆周角定理得到，再根据直角三角形两锐角互余即可得到的度数； 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 即： （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，掌握垂径定理是是解决本题的关键． 20．如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，以及平行线的判定，垂直的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，则直线即为直线，由圆周角定理可得，即，而，则； （2）连接，并延长交于点，过点的直线即为直线，由圆周角定理可得，那么，则，而，则． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：如图，直线即为所求： 21．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与的位置关系是相切，理由见解析 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到．推出是等边三角形．得到，再结合即可求解； （2）根据三角形的内角和定理得到．由垂直的定义得到．推出是的切线． 【详解】（1）解：如图，连接， ， 点为的中点，， ， ， 是等边三角形， ， ， ； （2）解：与的位置关系是相切，理由如下： 由（1）知，， ， ， 是的切线． 22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装25盏景观灯 【分析】本题考查垂径定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理，是解题的关键： （1）连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可； （2）根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴平分弦，， ∴， ∴， ∴， ∴米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， （盏）； 答：大约需要安装25盏景观灯． 23．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 24．已知四边形是矩形，，． (1)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，判定的形状，并说明理由： (2)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； (3)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，取的中点，连接，则线段长度的最大值是_________，最小值是___________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析； (2)； (3)，． 【分析】（）根据旋转的性质和等腰直角三角形的判定方法即可求解； （）证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，解得，则，即可求的面积 ； （）连接，取的中点，连接，取的中点为，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则可知点在以为直径的圆上，设的中点为，则，所以的最大值为，最小值为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，理由， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）解：根据矩形的性质和旋转的性质可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴的面积； （3）解：连接，取的中点，连接，取的中点为，连接，，， ∵是的中点， ∴且， ∵， ∴，， ∵且， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 设的中点为， ∴， 如图，当共线时，最小，的最小值， 当共线时，最大，的最大值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质，旋转的性质，掌握知识点的应用及能够确定点的运动轨迹是解题的关键． 25．【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【分析】[问题探究]在原题解答的基础上，通过证明即可得出结论； [问题解决]过点M作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用[问题探究]的结论解答即可得出结论； [问题拓展]延长至点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等腰直角三角形的判定与性质得到，再利用已知条件化简运算即可． 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆的内接四边形的性质，本题是阅读型，熟练掌握题干中的“截长补短”的方法是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．与圆心的距离大于半径的点位于（　　） A．圆的外部 B．圆的内部 C．圆上 D．圆的外部或圆上 2．半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 3．如图，点A，B，C在上，，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（   ） A．同弧或等弧所对的圆心角相等 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．弧长相等的弧一定是等弧 D．平分弦的直径必垂直于弦 6．杭温高铁的开通，进一步完善了区域铁路网布局，便利沿线人民群众出行，带动旅游资源开发，有力地服务长三角一体化高质量发展．如图是其中一个隧道的横截面示意图，它的形状是以点为圆心的圆的一部分，若是弦的中点，经过圆心交优弧于点，且，则的半径为（　） A． B． C． D． 7．如图，内接于，点在上，连接、、，，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，，半径为的从点A出发，沿方向滚动到点时停止．则在此运动过程中，扫过的面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．在平面内，的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P与的位置关系是点P在 ．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）． 10．如果一个正多边形内角和是，那么它的中心角是 ． 11．若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的母线长为 ． 12．如图，在中，，则 ． 13．如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了．假设绳索粗细不计，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 （结果保留）． 14．如图，，是的切线，切点分别是，，如果，那么的度数等于 ． 15．如图，点是的外心，点是的内心，连接，．若，则的度数为 ． 16．如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．如图，已知、为的两条弦，，求证：． 18．如图，在边长为1的正方形网格中，，，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段． (1)根据，两点坐标，在网格中画出坐标系，并写出，的坐标； (2)写出线段旋转到的旋转中心的坐标； (3)若线段绕第一象限的旋转中心逆时针旋转到，求线段扫过的面积． 19．已知：如图，是的直径，弦于点，是上的一点，、的延长线交于点 (1)求证：； (2)若 ，的度数为，求的度数． 20．如图，是的直径，直线与的割线垂直，垂足为，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)在图1中，过点作直线的平行线； (2)在图2中，过点作直线的垂线． 21．如图，为的直径，取的中点C，过点C作交于点D，D在的上方，连接、，点E在线段的延长线上，且． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 22．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点O为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，D是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点C，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以O为圆心，R为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3.14，结果保留整数） 23．如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 24．已知四边形是矩形，，． (1)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，判定的形状，并说明理由： (2)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点恰好落在的延长线上，与相交于点，求的面积； (3)如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，连接，取的中点，连接，则线段长度的最大值是_________，最小值是___________． 25．【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$