专题13.2 与三角形有关的线段（思维导图+知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共42题）-2025-2026学年人教版数学八年级上册同步培优讲练（新教材）

专题13.2 与三角形有关的线段 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共41题） 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 考点1：构成三角形的条件 【典例精讲】（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知三角形一腰上的中线把三角形分成周长为和两部分，求等腰三角形各边的长． 【变式训练】（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程组与的解相同． (1)求a、b的值； (2)如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长． 考点2：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【变式训练】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 考点3：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，． ①x的取值范围是 ； ②当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 考点4：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 考点5：四边形的不稳定性 【典例精讲】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【变式训练】（（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 考点6：角平分线、高 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为，若的面积是，，那么斜边上的中线长是 ． 【变式训练】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)已知的周长比的周长大，则比长______． (3)直接写出的面积为______． 考点7：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式训练】（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 考点8：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 考点9：重心的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 考点10：三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【变式训练】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 考点11：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【变式训练】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 6．（24-25八年级上·福建莆田·期中）木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 7．（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接，若的面积为，的面积为，则四边形的面积为 ． 8．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 9．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 10．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 培优拔高 11．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 13．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为 ． 16．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 18．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13.2 与三角形有关的线段 （知识梳理+11个考点讲练+难度分层练 共41题） 知识点1 三角形的边 1.定义：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边. 2.剖析：①三角形的三边关系中，“两边的差”“两边的和”中的“两边”是三一边中的任务一边； ②判断三条线段能否组成三角形：如果两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可组成三角形；反之则不能组成三角形。 3.性质：三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形的稳定性在生产和生活中有广泛的应用. 知识点2 三角形的中线 1.定义：如图（1），连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的中线. 2.交点：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点（如图（2））.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形内部. 知识点3 三角形的角平分线 1.定义：如图（1），画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线. 2.交点：三角形的三条角平分线相交于一点，三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心. 知识点4 三角形的高 1.定义：如图13.2-7，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线，三角形的高线简称三角形的高． 2.交点：三角形的三条高线相交于一点，三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. ① 锐角三角形的三条高都在三角形内部（如图13.2-8（1）），三条高的交点也在三角形的内部； ② 直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边（如图13.2-8（2）），三条高的交点是三角形的直角顶点； ③ 钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上（如图13.2-8（3）），三条高所在直线的交点也在三角形的外部． 考点1：构成三角形的条件 【典例精讲】（22-23八年级上·甘肃平凉·阶段练习）已知三角形一腰上的中线把三角形分成周长为和两部分，求等腰三角形各边的长． 【答案】这个等腰三角形各边的长为，，，或，，． 【思路引导】根据题意，分两种情况进行分析，从而得到腰和底边的长，注意运用三角形的三边关系对其进行检验． 【规范解答】解：①如图，， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴能构成三角形， ∴腰长为，底边为 ②如图，， 同理得：， ∵， ∴能构成三角形 ∴腰长为，底边为    故这个等腰三角形各边的长为，，，或，，． 【考点剖析】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键． 【变式训练】（22-23七年级下·四川眉山·期末）已知关于x、y的方程组与的解相同． (1)求a、b的值； (2)如果a、b是等腰三角形的两边，求该等腰三角形的周长． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）由题意与的解相同，可得方程组，解出x和y，即可求出a，b的值； （2）根据等腰三角形的性质以及构成三角形的条件即可求解． 【规范解答】（1）解：∵关于x，y的方程组与的解相同， ∴方程组与、的解相同， 解方程组，得：， 将代入，得：， 解得：． 将代入，得：， 解得：． ∴，． （2）当a、b分别是等腰三角形的底和腰时，，， 此时等腰三角形的周长为：， 当a、b分别是等腰三角形的腰和底时，，， ∵， 此时无法构成三角形，此种情况舍去， 即等腰三角形的周长为：． 【考点剖析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、等腰三角形的性质以及构成三角形的条件等知识，掌握二元一次方程组解相同的含义构成新的二元一次方程组是解答本题的关键． 考点2：确定第三边的取值范围 【典例精讲】（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，是的边上的中线，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形三边关系．延长到E，使，连接，得出，进而在中利用三角形三边关系求解． 【规范解答】延长到E，使，连接，如图所示： ∵为中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即， 故答案是：． 【变式训练】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知三角形的三边长分别为，，，则化简的结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了绝对值、三角形三边关系，解不等式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形三边关系可得，解得，再去掉原式中的绝对值并化简即可． 【规范解答】解：由三角形三边关系，得， 即， 解得， ∴， 故答案为． 考点3：三角形三边关系的应用 【典例精讲】（24-25八年级上·全国·期中）已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子 ； (2)若，，． ①x的取值范围是 ； ②当为等腰三角形时，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)①；②，，的值为13，13，7 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系． （1）由三角形三边关系定理得：，，即可化简； （2）①由三角形三边关系定理列出不等式组，再求解即可； ②分三种情况分类讨论，分别根据等腰列方程求解，再判断是否构成三角形即可． 【规范解答】（1）解：由三角形三边关系定理得：，， ， 故答案为：； （2）解：①，，， ， ， 故答案为：； ②分以下三种情况： 如果的腰是，，则， ， ，， ，，符合三角形三边关系； 如果的腰是，，则， ， ，， ，，不能组成三角形； 如果的腰是，，则，此时无解； 综上，，，的值为13，13，7． 【变式训练】（24-25八年级上·全国·期中）【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． 【答案】(1) (2)是“好运三角形” 【思路引导】本题考查三角形的三边关系，掌握“好运三角形”的定义，是解题的关键． （1）先根据三边关系求出的范围，再根据新定义，确定的长即可； （2）设为偶数，则，根据三角形的三边关系，列出不等式组求出的取值范围，根据的长为偶数，求出的长，进而求出的长，再根据新定义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：， ，即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； （2）设为偶数，则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． 考点4：三角形的稳定性及应用 【典例精讲】（2021·吉林长春·二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案． 【规范解答】∵三角形具有稳定性， ∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线， ∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条）， ∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条， 故选：B． 【考点剖析】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键． 【变式训练】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【规范解答】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 考点5：四边形的不稳定性 【典例精讲】（24-25八年级上·云南大理·期中）2023年9月29日，中国航天局发布消息，探月工程嫦娥六号任务正按计划开展研制工作，将开展月球背面采样返回，计划于2024年上半年实施发射，对提升我国国际航天地位、推动航天技术创新、提供科学数据、培养人才和激发民众兴趣具有重要意义．如图，登月探测器中，机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了 ． 【答案】平行四边形的不稳定性 【思路引导】本题考查了四边形的特性，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握四边形的特性是解此题的关键． 【规范解答】解：机械臂伸缩自如，灵活性强，其机械原理主要是运用了平行四边形的不稳定性， 故答案为：平行四边形的不稳定性． 【变式训练】（（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 【答案】见解析 【思路引导】根据题意运用四边形的不稳定性和三角形的稳定性来回答问题即可． 【规范解答】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离．它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【考点剖析】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 考点6：角平分线、高 【典例精讲】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，，垂足为，若的面积是，，那么斜边上的中线长是 ． 【答案】4 【思路引导】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形的面积，解题关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半； 由三角形面积公式求出，由直角三角形斜边中线的性质得到斜边上的中线长是即可． 【规范解答】解：∵，的面积是， ∴ ∵， ∴， ∵ 在中 斜边上的中线长是， 故答案为∶4． 【变式训练】（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）如图所示，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高，边上的中线； (2)已知的周长比的周长大，则比长______． (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了基本作图，三角形的高和中线的定义，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题的关键． （1）根据三角形的高和中线的定义画出图形即可； （2）根据三角形的中线定义可得，根据题意可得，即可求解； （3）先求出，再根据是的中线，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，线段、线段即为所求； （2） 是的中线， ， 的周长比的周长大， ， ， 故答案为：； （3） ，是的中线， ， 故答案为：． 考点7：根据三角形中线求长度 【典例精讲】（24-25八年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，为上一点，分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分面积进行求解即可． 【规范解答】解：∵分别是的中点， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，A，B，C分别是线段的中点，若的面积是1，那么的面积 ． 【答案】7 【思路引导】本题考查了三角形的面积，连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积，从而求出的面积，同理可求的面积，的面积，然后相加即可得解． 【规范解答】解：如图，连接， ∵A、B分别是线段的中点， ∴，， ∴， 同理：， ∴的面积． 故答案为：7． 考点8：根据三角形中线求面积 【典例精讲】（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)画出关于对称的（点B的对应点是点D）； (2)画出的重心O； (3)直接写出四边形的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)24 【思路引导】本题考查了利用网格的特点作图． （1）根据轴对称的特点，作出图形即可； （2）利用长方形的特点找到边，的中点，两条中线的交点即可为重心； （3）利用三角形面积公式求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示； （2）解：的重心O如图所示； （3）解：四边形的面积为． 故答案为：24． 【变式训练】（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C． 【规范解答】解：∵是中线， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵是高， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； 过点E作于点G，于点H， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是中线， ∴与不一定相等，故D错误，符合题意． 故选：D． 考点9：重心的概念 【典例精讲】（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图是一张钝角三角形纸片，小明想通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．上述三条线段中能通过折纸折出的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【思路引导】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【规范解答】解：①折叠使点与点重合，则：对折点即为的中点，则即为边上的中线； ②折叠使和重合，则：折痕即为的平分线； ③折叠使和重合，则：折痕即为边上的高； 故选D． 【变式训练】（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中结论正确的有 （填序号）． 【答案】②③④⑥ 【思路引导】本题考查三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④和⑦；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 【规范解答】解： 是的中线， ， 故④正确； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， 故③正确； 由已知条件不能确定， 不能得出， 故⑤错误； F不一定是的中点， 不能得出， 故错误； 不能得出， 不能得出， 不能得出，即不能得出， 故⑦错误； ，， ， ， 故⑥正确； 综上可知，正确的有②③④⑥， 故答案为：②③④⑥． 考点10：三角形角平分线的定义 【典例精讲】如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【思路引导】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【规范解答】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 【变式训练】（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称做格点． (1)画出的高； (2)求的面积； (3)在边上找到一点E，满足． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图的应用与设计，则网格线的特点和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据垂直的意义和网格线的特点作图； （2）根据三角形的面积公式求解； （3）根据垂直平分线的性质作图． 【规范解答】（1）即为所求； （2）的面积为：； （3）作的垂直平分线与的交于，点即为所求． 考点11：画三角形的高 【典例精讲】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数； （2）先根据题意得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【规范解答】（1）解：∵， ， ∵平分， ∴， ∵为高， ， ． （2）解：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式训练】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，，如果，，的面积为18，那么的面积为 ． 【答案】27 【思路引导】本题考查了三角形的面积，平行线间距离相等，求出的长是解题的关键．过点作，求出的长，再利用面积公式解答即可． 【规范解答】解：过点作， ，的面积， ， ， ， 点到的距离等于的长度， 的面积． 故答案为：27． 基础夯实 1．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．根据三角形的三边关系判断即可． 【规范解答】解：A选项：，故不能组成三角形； B选项：，故能组成三角形； C选项：，故不能组成三角形； D选项：，故不能组成三角形； 故选：B． 2．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，，则是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定义，三角形的分类．根据题意得出，根据三角形的内角和列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴是直角三角形， 故选：B． 4．（24-25八年级上·河南濮阳·期中）如图，是的中线，是的中线，若，则 ． 【答案】12 【思路引导】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据是的中线，若，可得的面积，再根据是的中线，即可求解． 【规范解答】解：∵是的中线，若， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：12． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【思路引导】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【规范解答】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·福建莆田·期中）木兰溪大桥全长，由我国著名桥梁专家、莆籍院士林元培设计，以莆田特色的“壶山兰水”为主题，将莆田人文景观与自然环境结合，体现了莆田地域文化和时代特征．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的 【答案】稳定性 【思路引导】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性求解即可． 【规范解答】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案为：稳定性． 7．（22-23九年级下·海南海口·期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以相同的长（大于）为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，交于点，连接，若的面积为，的面积为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了作垂直平分线，三角形中线的性质；先利用基本作图得到垂直平分，则，再根据三角形面积公式得到，接着计算出，然后计算即可． 【规范解答】解：由作法得垂直平分， ， ， ， ， 四边形的面积． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·云南曲靖·期中）如图，是等腰三角形，，于点D，于点，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质与判定，与三角形高有关的计算，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由三角形内角和定理得到，再由角度和差计算得到，则； （2）设点到边的距离为，由面积法得到，即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的两条高线， ∴． 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：设点到边的距离为， ∵是的两条高线 ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点到边的距离为． 9．（22-23七年级下·贵州·期末）如图，的高cm，cm，点E在 上，连接．设的长为，的面积为 ，解答下列问题： (1)求y与x之间的关系式； (2)若cm，当x为多少时， 的面积比的面积大3？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）根据题意表示出的面积即可求解； 【规范解答】（1）解：∵cm，的长为， ∴ ∵高cm， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴的面积 ， ∵的面积比的面积大3 ∴， 解得：， ∴当时，的面积比的面积大3 10．（2024七年级下·江苏·专题练习）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图（1）．在和中，和分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．    【性质探究】 如图（1），用分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 (1)如图②，是的边上的一点．若，则__________； (2)如图③，在中，分别是和边上的点．若，，求和的面积． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的比是解题的关键． （1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案． （2）根据和是等高三角形和和是等高三角形即可知道三角形的面积比即底的比，从而求出面积， 【规范解答】（1）解：如图，过点A作， 则 ．    （2）和是等高三角形， ， ； 和是等高三角形， ， ． 培优拔高 11．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，D，E分别为，的中点，且的面积为4，则图中阴影部分面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【思路引导】根据D，E分别为，的中点，得， ，于是得到，解答即可． 本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 【规范解答】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵的面积为4， ∴． 故选：C． 12．（23-24八年级上·北京海淀·期中）在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（    ）    A．的重心处 B．的中点处 C．点处 D．线段靠近点的四等分点处 【答案】A 【思路引导】连接，根据等边三角形的性质得到是的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可． 【规范解答】解：连接，   是等边三角形，是的中点， 是的垂直平分线， ， 的周长， 当、、在同一直线上时， 的周长最小， 为中线， 点为的重心， 故选：A． 【考点剖析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 13．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】此题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，此题分为两种情况：是等腰三角形的底边或是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．同时注意三角形的三边关系． 【规范解答】解：当是等腰三角形的底边时，则其腰长是，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是，能够组成三角形． 故选：C． 14．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、．若，，则的周长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由与的平分线交于点，可得，，结合平行线的性质可推出，，得到，，继而可得的周长等于，即可求得答案． 【规范解答】解：在中，与的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， 的周长为， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，中，点在边上，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接，平分．若，，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过作于，于，由角平分线的性质可得，，，再根据，求出，即可得出的面积． 【规范解答】解：如图，过作于，于， ∵平分，平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的面积． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列四个结论：①；②；③点G到各边的距离相等；④设， ，则．其中正确的结论是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质，掌握定理及性质是解题的关键．①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据角平分线的性质即可得出结论；④连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【规范解答】解：①和的平分线相交于点G， ， ， ，， ，， ，， ，故正确； ②和的平分线相交于点G， ， ，故错误； ③和的平分线相交于点G， 点G是的内心， 点G到各边的距离相等，故正确； ④连接， 点G是的内心，，， ，故正确． 故答案为：①③④． 17．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的中线，是的中线． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质，三角形中线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质即可得出结论； （2）根据三角形中线的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：由图可知，是的一个外角， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴． 18.（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，其坐标为，点C在y轴的正半轴上，其坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． (1)点B坐标为（____，____）； (2)动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速沿向终点A匀速移动，设点P移动的时间为t秒，M为中点，N为中点，用含t的式子表示的长； (3)在（2）的条件下，点P到达A后，继续沿着向终点O运动，连接，求t为何值时，把长方形分成的两部分面积比为，并求出此时点P坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】本题考查的是坐标的特点、三角形的面积公式，线段有关的计算； （1）根据坐标的定义求解即可； （2）根据M为中点，得到，根据N为中点得到， 根据求解即可； （3）线段把长方形分成的两部分面积比为，只要即可使把长方形分成的两部分面积比为，据此求解即可． 【规范解答】（1）∵点A的坐标为，点C的坐标为，分别过点A、C作y轴、x轴的平行线，两平行线相交于B． ∴， ∴点B坐标为 故答案为：； （2）由题意得，，即 ∵M为中点， ∴， ∵N为中点， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意得，，即 连接， 则线段把长方形分成的两部分面积比为， ∵把长方形分成的两部分面积比为， ∴把分成的两部分面积比为， ∴为中点， ∴， ∴， ， 此时点P坐标． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$