精品解析：河北枣强中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

河北枣强中学2025学年高一年级下学期期末考试数学学科试题 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 2. 甲、乙两人进行围棋决赛，现在的情形是甲只要再赢一局就能获得冠军，乙需要再赢两局才能获得冠军，若甲每局赢的概率为，且没有平局，则甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 14 B. 07 C. 32 D. 43 5. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 6. 在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，， 则 B. 若，，， 则 C. 若，，， 则 D. 若，， 则 8. 已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（ ） A. A、B、C、D四点共面 B. C. 与相交 D. 10. 已知事件两两互斥，若，则（   ） A. B. C. D. 11. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 12. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（ ） A. 线段AB与GH所在的直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 树人中学高一年级10位男生的身高（单位：厘米）数据为153，155，157，159，161，162，164，165，173，178，则该组数据的第75百分位数为_______． 14. 已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 15. 某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为_______． 16. 有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 四、解答题．本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17. 我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. （1）应收集多少个男生样本数据? （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 18. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 19. 记内角A、B、C的对边分别为a、b，c，已知． （1）求的外接圆半径R； （2）若，求的最小值． 20. 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人．A同学按男生、女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18． （1）已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差． （2）已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，求总样本的平均数为，总样本的方差为，并判断与与的大小关系． （3）已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高？请说明理由． 21. 一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 22. 在中，，D为BC中点，． （1）证明：； （2）证明：或； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北枣强中学2025学年高一年级下学期期末考试数学学科试题 本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的实部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算化简，结合实部定义可得. 【详解】因为，所以实部为2. 故选：B 2. 甲、乙两人进行围棋决赛，现在的情形是甲只要再赢一局就能获得冠军，乙需要再赢两局才能获得冠军，若甲每局赢的概率为，且没有平局，则甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据独立事件概率的乘法公式，分类讨论甲能获胜的情况，计算每种情况的概率，求出甲获得冠军的概率. 【详解】甲获得冠军有两种情况， 情况一：甲在下一把获胜，直接获得冠军，概率是， 情况二：甲在下一把输了，第二把获胜，获得冠军，概率是， 则甲获得冠军的概率为， 故选：D. 3. 如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法画出原四边形ABCD求解即可. 【详解】如图1，根据斜二测画法的性质可得，作，垂足为， 作，垂足为，则和是两个全等的等腰直角三角形， 从而，故． 画出原四边形，如图2，则，且， 故． 故选：C. 4. 从编号为01，02，…，49，50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行第5列的数开始由左到右依次抽取，则选出来的第4个个体的编号为（ ） 7816 6572 0812 1463 0782 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A. 14 B. 07 C. 32 D. 43 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机数表法一一列出即可. 【详解】依题意选出的个体编号依次为：，，，，……， 所以选出来的第4个个体的编号为. 故选：B. 5. 在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，得到，得到为异面直线与所成的角，在中，利用余弦定理，求得，即可得到答案. 【详解】如图所示，取的中点，连接，，则，， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 因为，，所以， 所以异面直线与所成角为． 故选：D. 6. 在4个人中选若干人在3天假期中值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班两天，其中甲恰有一天值班的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按甲只在第一天，只在第二天，只在第三天值班分类，数清楚样本点个数，再用古典概型即可得到答案. 【详解】计算总可能值班的样本点个数： 每天值班人选从4人中选1人，且相邻两天值班人不同. 第一天：有4种选择（任何一人均可）； 第二天：不能与第一天相同，因此有3种选择（排除第一天的人）； 第三天：不能与第二天相同，因此有3种选择（排除第二天的人）. 总的样本点个数：. 计算甲恰有一天值班的样本点个数： 甲只在第一天值班有种， 甲只在第二天值班有种， 甲只在第三天值班有种. 所以有古典概型知：. 故选：C. 7. 已知l，m是两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，， 则 B. 若，，， 则 C. 若，，， 则 D. 若，， 则 【答案】D 【解析】 【分析】空间中线面、面面位置关系的判定，需结合立体几何基本定理进行推理. 【详解】A、也有可能在平面内，命题错误. B、只垂直于平面内的一条直线,不足以推出线面垂直，或者从面面垂直的性质角度看其缺少的条件，故结论不正确. C、只垂直于平面内的一条直线，不足以推出,也不足以推出,命题错误. D、由面面平行的性质可得:命题正确. 故选：D. 8. 已知菱形的边长为是菱形所在平面内的动点，则）的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出点得坐标，设，利用向量数量积的坐标运算求出，配方求得取值范围. 【详解】如图，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为菱形得边长为1，，所以，，， 设，则，，， 所以 ， ，，当且仅当时，取等号， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. a，b是两条异面直线，A，B在直线a上，C，D在直线b上，A、B、C、D四点互不相同，则下列结论一定不成立的是（ ） A. A、B、C、D四点共面 B. C. 与相交 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据异面直线的特点结合平面性质公理判断各选项即可. 【详解】当或与相交时，A、B、C、D四点共面， 此时a，b共面，不符合题意，故ABC错误， 对于D，如图，在正方体中，若异面直线a，b为图中两条直线时， 且为所在棱的中点，为正方体的顶点，此时. 故选：ABC. 10. 已知事件两两互斥，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义及概率公式逐项判断可得答案. 【详解】A选项，因为事件互斥，所以，故，A错误； BC选项，因为事件两两互斥，， 所以，B正确，C错误； D选项，，D正确. 故选：BD. 11. 某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（ ） A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B. 甲得分的极差大于乙得分的极差 C. 甲得分的均值大于乙得分的均值 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】AC 【解析】 【分析】根据折线统计图可分别计算出甲、乙得分的中位数、极差、均值即可判断出选项ABC，再根据两组数据的离散程度可判断D选项. 【详解】对于A，将甲的得分从大到小排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为， 乙的得分从大到小排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为， 所以可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，即A正确； 对于B，易知甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因此甲得分的极差小于乙得分的极差，即B错误； 对于C，甲得分的均值为， 乙得分的均值为， 所以甲得分的均值大于乙得分的均值，即C正确； 对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大， 因此甲得分的方差小于乙得分的方差，可得D错误. 故选：AC 12. 如图是一个棱长为1的正方体的展开图，点P，Q分别是线段AB，GH上的动点，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的有（ ） A. 线段AB与GH所在的直线是异面直线 B. 三棱锥的体积为定值 C. 存在点，使得 D. 记点到平面ABC的距离为，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】把正方体的展开图还原为正方体，画出直观图，由异面直线的判断方法判断A，由体积公式判断B，利用余弦定理判断C，利用平面展开图判断D. 【详解】根据正方体的展开图画出该正方体的原图，如下图所示： 对于A：线段AB与GH所在的直线既不平行也不相交，故A错误； 对于B：因为的面积为定值，点到平面的距离也为定值， 根据三棱锥体积公式可知三棱锥的体积为定值，故B正确； 对于C： 如图，连接，则， 设，由余弦定理可得 ， 而，由余弦定理可得， 故 , 故始终为钝角，故C错误. 对于D：取的中点为，连接，过作，垂足为， 由正方体的性质可得平面，而平面， 故，故，故平面， 故为到平面的距离， 将平展到一个平面中，如图所示， 在直角三角形中，斜边，故， 故，故的最小值即为到直线的距离， 该距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 树人中学高一年级10位男生的身高（单位：厘米）数据为153，155，157，159，161，162，164，165，173，178，则该组数据的第75百分位数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和运算规则计算即可. 【详解】由题意，该数据已经从小到大排列，则， 所以第75百分位数为第8个数，即. 故答案为：. 14. 已知非零向量，，其中，，且满足，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直的充要条件和数量积的定义即可求解. 【详解】∵， ∴，即， 则. 又∵，， ∴，解得：． 故答案为：. 15. 某林区有针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域，面积占比为，每个区域树种种植密度均相同．现采用分层随机抽样调查各类树种生长情况，若从针叶林区域抽取了120株样树，则在该林区总共抽取的树种数量为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设该林区总共抽取的树种数量为，根据分层随机抽样求出针叶林占比即可. 【详解】由题意，设该林区总共抽取的树种数量为， 因为针叶林、阔叶林、混交林三类树种区域的面积占比为， 所以针叶林区域占比为， 又因为从针叶林区域抽取了株样树， 所以，解得， 故该林区总共抽取的树种数量为. 故答案为：. 16. 有一正四面体木料，现欲对其进行加工处理，将木料固定并将其过中心完整切开，若所得截面是边长为2的正方形，则该木料的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由截面是边长为2正方形，可得正四面体的棱长为4，再根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】如图正四面体，截面正方形由4条边的中点构成， 由于正四面体的对称性，这4个中点共面且形成正方形， 即四边形是边长为2的正方形， 所以正四面体的棱长为4. 又因为正四面体每个面都是等边三角形， 所以. 故答案为：. 四、解答题．本题共6小题．共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 17. 我市某高校共有学生30000人，其中女生18000人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：h）. （1）应收集多少个男生样本数据? （2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图如图，其中样本数据分布区间为：，，，，，，在该校学生中任选一人，试估计该生每周平均体育运动时间不超过7h的概率. 【答案】（1）120 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样比公式进行求解即可； （2）根据频率分布直方图，利用样本频率估计概率得解. 【小问1详解】 根据分层抽样的方法， 所以男生样本数据个数为； 【小问2详解】 学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率为：， 所以该校学生每周平均体育运动时间不超过7个小时的概率. 18. 如图，在正方体中，求证： （1）平面； （2）与平面的交点H是的重心. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】（1）如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. （2）连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 19. 记内角A、B、C的对边分别为a、b，c，已知． （1）求的外接圆半径R； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行化简，得到，求出外接圆半径； （2）由正弦定理得到，由正弦和角公式和同角三角函数关系，得到，利用基本不等式“1”的代换，求出最小值. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 故， 又，故，且， 所以，解得； 【小问2详解】 由正弦定理得， 又，故， 又， 故，两边同除以得 ， ，故同号， 显然两者均不能同为负，此时均为钝角，不合要求， 故均为锐角，， ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 20. 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人．A同学按男生、女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18． （1）已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差． （2）已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，求总样本的平均数为，总样本的方差为，并判断与与的大小关系． （3）已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样本平均数为，能否认为比更接近总体平均身高？请说明理由． 【答案】（1）， （2），， （3）答案见解析 【解析】 【详解】解：（1）由题意知，总样本的平均数．总样本的方差． （2）男、女样本量分别为30和70时， 总样本的平均数， 总样本的方差， 所以． （3）答案示例1：可以认为比更接近总体平均身高．理由如下：男、女生身高存在明显差异，采用按男、女比例分配的分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，所以可以认为比更接近总体平均身高． 答案示例2：不能认为比更接近总体平均身高．理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，可能简单随机抽样的估计效果好于分层随机抽样的估计效果，以不能认为比更接近总体平均身高． 答案示例3：无法确定是否比更接近总体平均身高． 理由如下：由于样本的随机性，对于一次抽样而言，并不能保证分层随机抽样的估计效果一定好于简单随机抽样，所以无法确定是否比更接近总体平均身高． 21. 一副三角板按如图所示的方式拼接，将折起，使得． （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设BD，CD的中点分别为M，N，平面AMN与平面ABC的交线为l，求直线l与BD所成角的余弦值． 【答案】（1）证明：，又，平面， 故平面， 又平面，故平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直，结合线面垂直的判定可得平面，即可由面面垂直的判定求解， （2）根据二面角的定义，结合垂直关系可得为所求角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）根据线面平行的性质可得与所成的角即为直线l与BD所成角的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，过作于，连接， 由（1）知平面平面，且两平面的交线为, 由于,是的中点， 故,平面，故平面， 平面，则， 结合，平面， 故平面，平面，故， 因此为二面角的平面角， 设,则,故 【小问3详解】 由于M，N分别为BD，CD的中点，故, 平面，平面， 故平面, 平面,且平面与平面的交线为l，故， 故与所成的角即为直线l与BD所成角的角， 由于与所成的角为 故直线l与BD所成角的余弦值为． 22. 在中，，D为BC中点，． （1）证明：； （2）证明：或； （3）求的值． 【答案】（1）证明：记中角所对的边分别为， 因为D为BC中点，所以，两边平方得： ， 因为，所以， 又，所以. （2）证明：记，则， 又，所以， 因为，所以， 又，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得： ，， 消去整理得，又， 所以，即， 代入得：，即，. 当时，，同理可证. 故或. （3）. 【解析】 【分析】（1）将向量式两边平方，结合已知可证； （2）根据面积公式，结合已知可得，在中利用余弦定理列方程，结合（1）中结论消元即可得证； （3）利用（2）中结论，结合余弦定理求出三边关系，然后由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，由余弦定理得， 即，所以，因为，所以， 所以 ； 当时，有，同理可得. 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $