3.2《二次函数》课件-2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

3.2 二次函数 情境引入 问题1： 请将下面正方体展开，它的六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于x 的关系 式为 . 此式表示了正方体表面积y与正方体 棱长x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 探究新知 y=6x2 问题2 已知一个矩形的周长为40，其中一边长为x，你能写出这个矩形的面积S与x之间的关系吗？ S=x(20-x) 此式表示了矩形的面积S与其一边长x之间的关系.对于x的每一个值，S都有唯一的一个对应值，即S是x的函数. 探究新知 S=-x2+20x x 问题3 某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有________棵橙子树。这时平均每棵树结________个橙子。 （2）如果设果园橙子的总产量为y个,请你写出y与x之间的关系式. ________________ 此式表示了果园橙子产量y与增种的橙子树x之间的关系.对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 探究新知 (100+x) (600-5x) y=(600-5x)(100+x) y=-5x2+100x+6000 问题1-3中函数关系式有什么共同点? y = 6x2 讨论归纳 函数都是用自变量的二次整式表示的. S=-x2+20x y=-5x2+100x+6000 （1）正方形的边长为x，面积为y,则面积y与边长x的之间的关系式为 （2） 矩形的周长是80cm，设宽为xcm，面积为ycm2,那么用x表示y的关系式为y=　 　，化简后为y= 根据题意列关系式 x 长+宽=40 长=40-x （3）某商店出售某种文具盒，若每个进价5元，售价为x元，每天可售出（12-x）个，则一天售出该种文具盒的总利润为y , 化简后为y= 　。 单个利润： 总利润=单个利润*销售量 （x-5） （4）设人民币一年定期储蓄的年利率是 x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元)的表达式 ， 化简得 。 增长率问题！！ 前面列出的四个函数有什么共同点? 都有y、x x的最高次数是2 x2的系数不为0 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,且a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 二次项 一次项 常数项 a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 一般式： 概念点拨 有关二次函数：y=ax2+bx+c （1）等号左边是变量y。经整理后，右边是关于自变量x的整式；一 般写成降幂排序； （2）等式的右边x的最高次数为2； （3）a,b,c为常数，且a≠0; b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx b=0,c=0 y=ax2 二次函数的特殊形式 判断二次函数需要先化简。 a≠0 你能总结:一个函数是不是二次函数，关键看什么？______________ 二次函数y=ax²+bx+c中的b和c是否可以为0，_______ 若b=0，则表达式为_______ ，是不是二次函数，_______ 若c=0，则表达式为_______ ，是不是二次函数，_______ 若b=0，c=0，则表达式为_______， 是不是二次函数，_______ y=ax2+c 是 y=ax2+bx y=ax2 是 是 是 二次项是否存在 一次项系数与常数项 a是否为0 温馨提示： （1）等号左边是变量y， 右边（合并整理后）是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2， 可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； 下列函数中,哪些是二次函数？ 是二次函数的请指出a,b,c的值？ 函数 是否是二次函数 a b c √ 10π 0 0 √ -2 0 3 × × √ 3 -6 4 × 二次函数与一元二次方程关系： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (1)证明：∵m≠0， ∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2. ∵(m－2)2≥0， ∴Δ≥0， ∴此抛物线与x轴总有两个交点； (2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0， 所以 x－1＝0或mx－2＝0， 解得 x1＝1，x2＝ . 当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数． 所以正整数m的值为1或2. 例1：已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 变式：已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2. (1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值． (1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0， ∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点； (2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2， ∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3， ∴a＝1. 二次函数与一元二次方程关系： 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小 球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）． 小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是 多少？ 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. t/s h/m O 1 2 3 4 5 6 20 40 h= 30t - 5t 2 h= 30t - 5t 2 （0≤t≤6）的图象 解决实际问题： 尝试练习 1.把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____ ,一次项系数为______，常数项为 . 2.函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A.m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0 C.m,n是常数,且m≠n D.m,n为任何实数 -3x2 -16 12 判断二次函数的各项、各项系数需要带着前面的符号。 C 尝试练习 3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+2-2m （1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围。 （2）若这个函数是一次函数，求m的值。 （3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ m2-m≠0 m2-m=0 且m-1≠0 m2-m=0 且m-1≠0 且2-2m=0 解： （1）由题可知, 解得 （2）由题可知, 解得 变式 对于 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 第（2）问易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，从而得出 m=3或-3的错误答案. 注意 课堂练习 1.n支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队数 n 之间的关系式。 根据实际问题列二次函数的关键在于找到题目中隐含的等量关系。 课堂练习 2.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm 时,圆的面积增加ycm². (1)写出y与x之间的函数关系表达式； (2)当圆的半径分别增加1cm, 2cm时,圆的面积增加多少? 课堂练习 3.设人民币一年定期储蓄的年利率是x。一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.请你写出两年后的本息和y（元）的表达式。 y=100(1+x)2 =100x2+200x+100 $$