专题2.4 直线的交点坐标与距离公式（8类必考点）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识梳理】 1 【考点1：求两条直线的交点坐标】 2 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 5 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 9 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 13 【考点5：两点间的距离公式】 18 【考点6：点到直线的距离公式】 21 【考点7：两条平行直线间的距离】 25 【考点8：与距离有关的最值问题】 27 【知识梳理】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系： 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．距离公式 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 3．点、直线间的对称问题 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：求两条直线的交点坐标】 1．（2025高三·全国·专题练习）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立两直线的方程,解方程组即可求出交点坐标. 【详解】联立两直线的方程，得 即交点坐标为. 直线与直线的交点坐标为. 故选:C 2．（24-25高一下·安徽·期末）直线与直线的交点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】联立方程组，求得交点的坐标，即可得到答案. 【详解】由题意，联立方程组：，解得， 即两直线的交点坐标为，在第二象限， 选B. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线的方程，求出点的坐标，再结合点到直线的距离公式即可求出结果. 【详解】联立，解得，故, 所以点到直线的距离为， 故选：B. 4．（2025高三·河北·专题练习）三条直线，，相交于一点，则的值是 A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】B 【分析】联立两条已知直线求得交点坐标，待定系数即可求得参数值. 【详解】联立与可得交点坐标为， 又其满足直线，故可得，解得. 故选：. 5．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得两直线的交点坐标，根据其所处现象列出不等式，求解即可. 【详解】联立直线的方程可得，显然，故，则， 根据题意，且，解得且，故. 故选：A. 6．（24-25高二下·广东·期中）设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得，再用累乘法计算. 【详解】令，可得， 所以 ． 故选：C． 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程； （2）利用，求得直线的方程，与直线方程联立方程组求解即可. 【详解】（1）因为边所在直线过点，，所以    因为为菱形，所以，所以，       又，所以，整理得. （2）因为，，所以. 因为为菱形，所以，所以        因为，，所以中点坐标为， 所以           联立方程组， 解得，所以. 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求直线与的交点，再根据直线垂直求斜率，利用点斜式可得所求直线方程. 【详解】联立与，得交点坐标为. 又垂直于直线的直线的斜率为， 故所求直线的方程为，即. 故选：B 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再结合互相垂直两直线斜率的关系、直线点斜式方程进行求解即可. 【详解】由，所以两直线的交点的坐标为， 因为直线的斜率为，所以与之垂直的直线的斜率为， 所以与直线垂直的直线方程是， 故选：C 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由和的方程求出点，设，分别利用的中点在直线上与，建立方程组，求得点，最后利用点斜式求出直线方程即可. 【详解】由解得：，即, 设点，则的中点在直线上，故得① ，又,则得：，即②， 联立① 和② ，解得：，即， 所以直线的斜率为， 于是直线的方程为：，即. 故选：D. 5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为， (1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）求出点坐标，得出斜率，即可求出直线的一般式方程； （2）求出直线的斜率，结合过点，即可求出直线的一般式方程. 【详解】（1）由题意， 直线和的交点为， ∴，解得：， ∴, 在直线中，直线过点且两坐标轴截距互为相反数， ∴当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，即. 当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：， ∴直线的方程为：或. （2）由题意及（1）得，， 在直线中，直线过点且垂直于直线（即）， ∴直线斜率为， ∴直线的方程为：， 即. 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据直线垂直设所求直线，将点代入求参数，即得方程； （2）求直线交点，根据直线平行设所求直线，代入点求参数，即得方程. 【详解】（1）由题意，可设直线方程为， 代入点，有，则， 所求直线方程为； （2）联立，解得， 设所求直线方程为，则，即， 所求直线方程为. 7．（24-25高二下·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线的斜率得到直线的斜率，结合，得到直线的方程，与直线的方程联立，求出点的坐标； （2）设，由中点坐标公式得到，将其代入直线中，求出，求出，从而结合（1），求出直线的方程. 【详解】（1）由题意得直线的斜率为，所以直线的斜率为． 又因为，所以直线的方程为，即， 因为直线的方程为， 由，解得，所以点的坐标是． （2）由题意，是线段的中点，且在直线上， 设，又，则． 由题意，点在直线上，则． 解得，则． 由（1）得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（多选）（2025高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 2．（多选）（2025高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 【答案】AD 【分析】通过联立方程组求直线的交点坐标. 【详解】方程组的解为，因此直线和相交，交点坐标为，A正确； 方程组有无数个解，这表明直线和重合，B错误； 方程组无解，这表明直线和没有公共点，故，C错误； 方程组的解为 方程组的解为 方程组的解也为 所以，三条直线两两相交且交于同一点，D正确. 故选：AD 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 【答案】 【分析】根据两直线重合的条件，求得的值即可. 【详解】依题意二元一次方程组有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由，解得或. 当时，二元一次方程组为，两直线不重合，不符合题意. 当时，二元一次方程组为，两直线重合，符合题意. 综上所述，的值为. 故答案为： 5．（24-25高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 【答案】4 【分析】当方程组有无穷多解时,可得到两直线重合,则可求出,,计算即可得解. 【详解】若方程组有无穷多组解， 即两条直线重合,即 , 则 故答案为：4 6．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 2．（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，，求得的坐标，可得的面积的表达式，然后把各选项代入，根据方程解的个数即可判断. 【详解】由题意直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，， 令，得；令，得，则， 所以的面积为， 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，此方程无解， 所以满足条件的直线有2条，故A错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有3条，故B正确； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故C错误； 当时，有， 当时，得，解得； 当时，得，解得， 所以满足条件的直线有4条，故D错误. 故选：B. 4．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】因为三条直线，，能构成三角形，所以直线与或都不平行，且直线不过与的交点，进而即可求得实数m的取值，从而可得结果． 【详解】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或， 故选：AD 5．（多选）（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 【答案】ACD 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 6．（多选）（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】先求得的交点，对进行分类讨论，画出图象，结合图象求得的范围，从而确定正确答案. 【详解】由解得，设， 当时，直线即，画出图象如下图所示，此时三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意.    当时，直线的斜率为， 当直线过时，， 平面划分为部分，符合题意.    直线的斜率为，直线的斜率为， 当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当时，如下图所示，平面划分为部分，符合题意，    当且且时，三条直线围成三角形， 平面划分为部分，不符合题意. 所以ABC选项正确，D选项错误. 故选：ABC 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）首先通过联立直线方程求出交点坐标，然后根据交点在线段上这一条件得到关于的不等式，通过对不等式进行变形求解得出的取值范围.（2）通过联立直线方程求出交点坐标，进而确定三角形相关顶点坐标，得出三角形面积表达式.再通过换元法将面积表达式转化为关于新变量的式子，利用二次函数性质求最值 【详解】（1）因为直线联立 所以交点因为C在线段AB上，所以 即解得 所以或 （2）因为直线联立 所以交点 令中则所以 因为所以C在第一象限且在右侧，D在左侧， 所以的面积为 设所以 所以当即时，S的最小值为4. 【考点5：两点间的距离公式】 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先求出BC的中点D的坐标，利用两点间的距离公式求出BC边上的中线长. 【详解】设BC的中点为D， 因为，，所以, 所以BC边上的中线长. 故选：B 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【分析】联立方程组，求出两点坐标，根据两点间的距离公式，求出线段长度. 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 6．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 【答案】或 【分析】设，因为，所以由勾股定理可得，将表达式化简求解即可. 【详解】因为点在轴上，设，因为， 所以由勾股定理可得， 即，解得或， 所以点的坐标是或. 故答案为：或. 7．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率， ，即，为直角三角形，A正确； 对于B，直线的斜率，点共线，B错误； 对于C，在中，，， ，C正确； 对于D，，，D正确. 故选：ACD    【考点6：点到直线的距离公式】 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 2．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题点到直线的距离为. 故选：D. 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 5．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】由条件可得到为平行四边形，用平行四边形面积公式，可得到答案. 【详解】由点坐标，可得到，同理可得到； ，所以四边形为平行四边形； 由，，可得到直线方程为， 点到直线的距离， 又， . 故选：C 6．（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 7．（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）先将直线方程化为一般式；再根据点到直线距离公式即可求解.． （2）特殊状态的直线可数形结合解决． （3）特殊状态的直线可数形结合解决. 【详解】（1）将化为一般式：. 由点到直线距离公式可得： 点到该直线的距离为. （2）将化为：，    因为该直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为 （3）因为直线平行于轴， 所以点到该直线的距离为. 【考点7：两条平行直线间的距离】 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 3．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 4．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 【答案】或 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 5．（24-25高二上·四川广元·期末）已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 . 【答案】3 【分析】根据直线平行求得，即可求两平行线之间的距离. 【详解】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为. 故答案为：3. 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则 【答案】 【分析】利用两直线平行的充要条件及平行间的距离公式计算即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以有，所以有， 又因为这两条平行线间距离为， 所以有，或舍去， 所以. 故答案为： 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 【考点8：与距离有关的最值问题】 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【分析】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 2．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由点到线的距离公式求解最小值，即可求解. 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 3．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】直线和直线互相平行， 故点与点之间距离的最小值即两条直线间的距离， 且两条直线间的距离：. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果. 【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上， 所以的最小值即为原点到直线的距离，. 所以的最小值为3. 故答案为：. 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 7．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 【答案】 【分析】设，问题化为求的范围，数形结合确定值域即可. 【详解】令， 设，如下图示， 则，当且仅当在线段的延长线上时取等号， 当时，直线可近似看作平行关系，此时， 综上，目标式的范围是. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 直线的交点坐标与距离公式 【知识梳理】 1 【考点1：求两条直线的交点坐标】 2 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 3 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 6 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 7 【考点5：两点间的距离公式】 8 【考点6：点到直线的距离公式】 9 【考点7：两条平行直线间的距离】 10 【考点8：与距离有关的最值问题】 11 【知识梳理】 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标： 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系： 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 2．距离公式 类型 条件 距离公式 两点间的距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ 点到直线的距离 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝ 两条平行直线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝ 3．点、直线间的对称问题 点关于点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得，进而求解 直线关于点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 【考点1：求两条直线的交点坐标】 1．（2025高三·全国·专题练习）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·安徽·期末）直线与直线的交点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）直线与直线交于点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·河北·专题练习）三条直线，，相交于一点，则的值是 A．－2 B．－1 C．0 D．1 5．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·广东·期中）设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知菱形中，，，边所在直线过点，求： (1)边所在直线的方程； (2)点的坐标． 【考点2：求经过两条直线的交点的直线方程】 1．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东清远·期末）经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川绵阳·期中）在△ABC中，已知，边的中线所在的直线方程为：，边的高线所在的直线方程为：，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为， (1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程. 6．（24-25高二上·江苏淮安·期中）分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示） (1)经过点，且与直线垂直 (2)经过两直线与的交点，且与直线平行 7．（24-25高二下·全国·开学考试）已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．求： (1)顶点的坐标； (2)直线的方程． 【考点3：方程组解的个数与两直线的位置关系】 1．（多选）（2025高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 2．（多选）（2025高二上·全国·专题练习）下列选项中，正确的有（    ） A．直线和的交点坐标为 B．直线和的交点坐标为 C．直线和交点坐标为 D．直线和，两两相交 3．（24-25高二上·湖北武汉·期中）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 4．（24-25高二上·上海·课后作业）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则 ． 5．（24-25高三下·上海杨浦·阶段练习）若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为 6．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【考点4：三直线能否围成三角形问题】 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴、轴交于两点，使的面积为的直线恰有3条，则为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 5．（多选）（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 6．（多选）（24-25高二上·河南商丘·阶段练习）（多选）平面上有三条直线，将平面划分为六个部分，则实数的所有可能取值为（    ） A． B． C． D．1 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知点直线 (1)若l与线段有交点，直接写出m的取值范围； (2)若设l与直线及x轴分别交于两点，求面积的最小值. 【考点5：两点间的距离公式】 1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知的顶点为，，，则BC边上的中线长为（   ） A．4 B．5 C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 5．（24-25高二下·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 6．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知点和，点在轴上，且，则点的坐标为 . 7．（多选）（24-25高一下·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（   ） A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形 C． D． 【考点6：点到直线的距离公式】 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 2．（24-25高一下·上海·期中）已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 3．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·模拟预测）已知四边形的顶点的坐标分别为  则四边形的面积为（    ） A．24 B． C．12 D．6 6．（多选）（2025·江西景德镇·模拟预测）已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）求点到下列直线的距离： (1)； (2)； (3)． 【考点7：两条平行直线间的距离】 1．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 2．（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 4．（24-25高二下·上海普陀·期中）若直线与直线之间的距离为，则实数的值为 ； 5．（24-25高二上·四川广元·期末）已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 . 6．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【考点8：与距离有关的最值问题】 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 2．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（2025·上海奉贤·二模）直线上的动点和直线上的动点，则点与点之间距离的最小值是 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·重庆·期中）已知在直线上，则的最小值为 ． 6．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 7．（24-25高三下·北京·强基计划）求的值域. 第 1 页 共 24 页 学科网（北京）股份有限公司 $$