空间向量与立体几何：空间向量法与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义-2026届高三数学一轮复习

空间向量与立体几何：空间向量法与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量法与空间位置关系问题、空间角度问题、 空间距离问题复习讲义 考点一 空间向量法与空间位置关系问题 【知识点解析】 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 【例题分析】 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 4．（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习·多选）下列给出的命题正确的是（   ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D．两个不重合的平面的法向量分别是，，则 6．（24-25高二下·江西·期末·多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 7．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 8．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点. (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 10．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 12．（24-25高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，． (1)求证：； (2)求证：平面平面． 考点二 空间向量法与空间角度问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽亳州·期末·多选）在长方体中，，则（   ） A． B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线AD与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 6．（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．    7．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 9．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 10．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 11．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 12．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 13．（24-25高三下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 14．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）在三棱柱中 . (1)证明:平面平面. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 15．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； (3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 考点三 空间向量法与空间距离问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【例题分析】 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山西·三模·多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 6．（24-25高三下·安徽·阶段练习·多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线与直线所成的角为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 7．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 8．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且. (1)求证：； (2)若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离. 9．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 10．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点. (1)证明：； (2)若二面角为，求点M到平面的距离. 11．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 12．（2025·天津河西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点 (1)求证：； (2)若，求证： 平面平面 若，，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求点C到平面ABE的距离. 高考真题演练 1．（2025·全国一卷·高考真题·多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 6．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 7．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 9．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$空间向量与立体几何：空间向量法与空间位置关系问题、空间角度问题、空间距离问题复习讲义 空间向量与立体几何：空间向量法与空间位置关系问题、空间角度问题、 空间距离问题复习讲义 考点一 空间向量法与空间位置关系问题 【知识点解析】 1.平面的法向量的求解：已知平面，且 （1）表示平面中两条相交直线所形成的向量. （2）设为平面的一个法向量. （3）利用法向量与平面的所有直线垂直列方程. （4）赋值求解法向量. 2.空间向量与空间位置关系 空间位置关系 向量表示 线线平行： 线面平行： 面面平行： 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： 【例题分析】 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 2．（24-25高二下·江苏常州·期中）若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 4．（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习·多选）下列给出的命题正确的是（   ） A．若为空间的一组基底，则也是空间的一组基底 B．点为平面上的一点，且，则 C．若直线的方向向量为，平面的法向量，则或 D．两个不重合的平面的法向量分别是，，则 【答案】CD 【详解】对于A，为空间的一组基底，不共线， ，，，共面， 不能作为空间的一组基底，A错误； 对于B，四点共面，如图，若，O为BC中点， 此时，只需即可，B错误； 对于C，，，或，C正确； 对于D，，，，D正确. 故选：CD. 6．（24-25高二下·江西·期末·多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（） A．若点共面，则存在实数，使得 B．若分别为平面的法向量，且，则 C．若分别为平面的法向量，且，则 D．若，则直线所成的角为 【答案】ABD 【详解】对于A，根据共面向量定理可知A正确； 对于B，，，，解得，故B正确； 对于C，，，即， ，消去,并整理得，故C错误； 对于D，，，， ， 因为异面直线所成的角范围为， 所成的角为，故D正确, 故选：ABD 7．（24-25高二上·天津·期中）已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则的值等于 . 【答案】 【详解】由可得，， 所以可得，即， 故答案为：. 8．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为 . 【答案】平行 【详解】由题设，又直线在平面外， 所以直线与平面的位置关系为平行. 故答案为：平行 9．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2)或2 【详解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 10．（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 11．（24-25高二上·广东广州·期中）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 12．（24-25高二上·天津·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，E是的中点，已知，．    (1)求证：； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）以A为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，    则，，，，， 所以，， 所以，所以． （2）连接，，如图所示，    因为面，面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又因为，、面，所以面， 又因为面，所以平面平面． 考点二 空间向量法与空间角度问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间角度问题 空间角度问题 向量表示 异面直线所成之角（线线角） 若求直线与直线所称之角 (1)表示、、、四点的坐标. (2)表示与. (3)记直线所成之角为，. 直线与平面所成之角（线面角） 若求直线与平面所成之角 (1)表示、、、、五点的坐标. (2)表示与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解. (4)记直线与平面所成之角为，. 平面与平面所成之角（二面角） 若求平面与平面所成之角 (1)表示、、、、、五点的坐标. (2)分别表示平面与平面两条相交直线所形成的向量. (3)设平面的一个法向量为，利用法向量与平面的所有直线垂直列方程，赋值求解，同理求平面的一个法向量. (4)记平面与平面所成之角为，. 【例题分析】 1．（24-25高二下·福建厦门·期末）在正四面体中，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，设正四面体的棱长为， 则， 故，又， 直线与直线夹角的余弦值为， 故选：D． 2．（24-25高一下·河北承德·期末）如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故选：A. 3．（24-25高二下·河南开封·期末）在正方体，中，E是的中点，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为2， 则，所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 设与平面所成角为， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·安徽亳州·期末·多选）在长方体中，，则（   ） A． B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线AD与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】BD 【详解】在长方体中，， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图， ，，，，，，， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 对于A，，， 则，故A错误； 对于B，为平面的法向量，设平面与底面ABCD夹角为， 则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确； 对于C，，设直线与平面所成角为 则，所以直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线AD与平面所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，，所以点到平面的距离为，故D正确． 故选：BD 5．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）如图，正方体的棱长为1，下列说法正确的是（   ） A．直线与所成的角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．点到平面的距离为 D．二面角的大小为 【答案】ABC 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A：，， ， 直线与所成角的范围为，故直线与所成角为，A正确； 对于B：，显然是平面的一个法向量，设直线与平面所成角为， 所以， 直线与平面所成角范围为，则，B正确； 对于C：，设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 故点到平面的距离，C正确； 对于D：显然是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则， 即，，解得， 设二面角的大小为， ， 因此二面角的大小为，D错误. 故选：ABC. 6．（2025·湖南·三模）如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为 ．    【答案】 【详解】因为平面，平面，所以，， 因为，又，所以平面， 又平面，所以， 易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等， 即AD为球O的直径，设，因为，， 所以，，因为，， 所以中，，． 以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，设，， 由题可知，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面的一个法向量为， 则，取，可得． 设平面与平面的夹角为． 因为 ， 令，则，，， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 此时即取得最大值． 故答案为：. 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ． 【答案】/ 【详解】设直线与直线分别相交于点， 连接并延长，交于点，交的延长线与点， 连接，交于点，交于点，连接， 其中与相交于点， 故六边形即为平面截正方体的截面， 设与相交于点，连接，则平面与平面的交线为， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为6， 因为为的中点，，， 所以，， 因为，所以，故， 故，所以，解得， 故，同理可得， 故， 显然平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故，. 故答案为： 8．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若点在侧棱上，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 取中点，连接，可得四边形是边长为1的正方形， 则，，又，故， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面 （2） 分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，由得，， 在平面中，，，设平面的法向量为， 则有，令，解得，，， 故平面的一个法向量为， 同理,,设平面的一个法向量为, 则有,令，则，故， 设平面与平面的夹角为，则， 综上，平面与平面的夹角的余弦值为 9．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图1，在矩形中，，是的中点，连接，将沿直线翻折，使得平面平面（如图2），连接，，是棱的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）因为在矩形中，，是的中点， 所以，即，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面； （2）如图所示，取中点，连接， 因为在矩形中，，是的中点， 所以，即四边形为平行四边形， 从而，又因为平面，平面， 所以平面， 又因为分别是的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面； （3）取中点，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，所以， 所以两两互相垂直， 以点为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意， 设， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以， 故， 又因为， 解得， 又因为是中点， 所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，解得， 所以平面的法向量为， 故所求为. 10．（2025·河北·模拟预测）等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1），是的中点，， 又，，，四边形为菱形， 则，在翻折过程中，总有，，， 又平面，平面，， 平面. （2），分别为棱，的中点， ，直线与直线成角，即为与直线成， 则或，为边长为1的正三角形或顶角为的等腰三角形， 又四边形是上下底长分别为1和2的梯形，且， 四边形的面积为, 由（1）知平面，又平面，平面平面， 过点作于， 平面平面，平面， 平面，则， 四棱锥的体积. （3）由（1）（2）知平面平面，且， 分别以，所在直线为轴，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在翻折过程中设， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， ； 平面，可取平面的一个法向量为， ， 又，，则， 在翻折过程中平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 11．（2025·云南红河·模拟预测）如图1，等腰梯形中，，，，分别为的中点，且，将梯形沿翻折至梯形，使得平面平面，得到如图2的多面体. (1)证明：四点共面； (2)在上取一点，使得平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面， 所以平面，又， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 易得， 则， 则，则， 即，所以四点共面. （2）由（1）知，，，，， 设，则，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由平面平面，则，解得， 则，则，又， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 则， 则平面与平面夹角的余弦值为. 12．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，. (1)求证：平面； (2)，平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由四边形为矩形，可得，因 平面，平面，故平面； 因，平面，平面，故平面， 又因平面，故有平面平面. 再由平面可得平面. （2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面. 又因为平面，所以，在矩形中，. 因为平面，，故平面. 因为平面，所以. 故分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，，，. 所以，. 设平面的法向量为，则 即 令，则，.于是. 因为，设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 13．（24-25高三下·山西大同·期末）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，且． (1)证明：平面； (2)若，，．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点F，连接，， 由中位线定理得，，又，， 得到，且，即四边形为平行四边形， 则，又因为平面，平面，所以平面. （2）因为，，所以， 又因为，，且，平面， 所以平面； 由，，可知，所以． 故，，两两垂直， 以A为坐标原点，分别以，，为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，得，，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，得，，故， 设面与面夹角为θ， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 14．（24-25高三下·云南丽江·阶段练习）在三棱柱中 . (1)证明:平面平面. (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设为的中点，连接， 因为，所以为等边三角形， 可得， 因为，所以，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）解:因为，所以，， 两两垂直， 以为坐标原点, 以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ，，， ， 则 ， 设平面的法向量为，则 ， 令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 另解：设点到平面的距离为，为的中点,连接 ， 所以，因为，所以平面，故， 又由 ， ， ， 由，可得 . 设直线 与平面 所成的角为 ，可得， 所以直线 平面 成角的正弦值为. 15．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF为正方形，，AD=AE=BC=BF=3，EF=2AB=4． (1)设平面ADE∩平面BCF=l，证明：； (2)直线DE上是否存在点G，使得DE⊥平面 ABG？若存在，确定点G的位置并说明理由；若不存在，请说明理由； (3)若，λ∈[0,1]，求平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，为中点，理由见解析 (3) 【详解】（1）因为四边形为矩形， 所以，因为平面，平面。 所以平面，因为平面平面，平面， 所以； （2）存在为中点，使得平面， 理由如下：取的中点， 因为，所以， 因为且， 所以，因为且平面， 所以平面； （3）设点为中点，取、和中点为， 由（2）知共面且平面， 取与连线交于点，连接， 则，可得为等腰梯形， 所以，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，所以， 设到平面的距离为， 因为四边形和四边形为两个全等的等腰梯形， 所以，设， 因为， 所以，解得， 所以，可得， 令，所以， 设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，设平面的法向量为， 则， 取，可得， 所以，所以， 令，则， 则， 令，则， 所以在单调递增， 当时，当时， 所以，所以， 故平面BFG与平面DEA夹角的余弦的取值范围为. 考点三 空间向量法与空间距离问题 【知识点解析】 1.空间向量与空间距离问题 空间距离问题 向量表示 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. 点到直线的距离 若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离 已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【例题分析】 1．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知空间中三点，，，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【详解】根据题意可知,, ∴点到直线的距离为 故选：B 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知点和点，则. 向量在上的投影长度. 先求.再求.所以. 根据勾股定理，点到直线的距离. 先求.则. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东日照·期末）如图所示，直四棱柱底面是正方形，分别是的中点，则点到平面的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则， 可得， 设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点C到平面的距离为. 故选：D． 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，可得， 设，所以可得； 因此， 因此点到直线的距离为 . 当（满足题意）时，取得最小值，即点到直线的距离的最小值为. 故选：A 5．（2025·山西·三模·多选）如图，正方体的棱长为2，，分别是棱和的中点．则（   ） A． B．平面与侧面的交线长为 C．点到平面的距离为 D．与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【详解】因为与不垂直，又，所以与不垂直，故A错误； 由， 所以四点共面，平面， 所以平面与侧面的交线为， 由正方体棱长为2，得，故B正确； 以为坐标原点，建立如图所示坐标系．则，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量为，由得 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离，故C正确； 设与平面所成角为，则， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为，故D错误． 故选：BC. 6．（24-25高三下·安徽·阶段练习·多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，则（    ） A．点到直线的距离为 B．直线与直线所成的角为 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【详解】以点为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 对于A，， ， ， 则点到直线的距离为 ，故A错误； 对于B，， ， ， 因为直线与直线所成的角的范围在， 所以直线与直线所成的角的为，故B正确； 对于C，， ， 设平面的一个法向量为，则 ，即，令，则， 可得， 所以点到平面的距离为， 故C正确； 对于D， 由选项C，直线与平面所成角的正弦值为 ，故D正确. 故选：BCD. 7．（2025·上海徐汇·二模）已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是 . 【答案】 【详解】取中点为，连接，如下所示： 因为为等腰三角形，又为中点，故； 因为平面，面，故； 又面，故面，又面，故， 故点到直线的距离，即为； 在△中，； 因为平面，面，故，则△为直角三角形； 在△中，，故, 故点到直线的距离为. 故答案为：. 8．（24-25高三下·河北保定·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，点E是棱PC的中点，点F是棱PB上的一点，且. (1)求证：； (2)若平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为，求点A到平面DBE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，所以. 又四边形ABCD为矩形，所以. 又，PD，平面PCD，所以平面PCD. 又平面PCD，所以. ∵，点E是PC的中点，所以. 又，PC，平面PBC，所以平面PBC. 又平面PBC，所以. 又，，DE，平面DEF，所以平面DEF， 又平面DEF，所以. （2）以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设，则，，，，. ∵点E是棱PC的中点，所以. 由平面ABCD，所以是平面ABCD的一个法向量； 由（1）知，平面DEF，所以是平面DEF的一个法向量. 因为平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为， 所以，解得或（舍）. 设平面BDE的一个法向量，又，， 所以，即，令，解得，， 所以平面BDE的一个法向量. 又， 所以点到平面DBE的距离. 9．（2025·天津北辰·三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. （2）， ， 直线与平面所成角的正弦值为. （3）由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 10．（2025·安徽六安·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，，三角形是正三角形，M是棱的中点.    (1)证明：； (2)若二面角为，求点M到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析; (2). 【详解】（1）    证明：取与中点，.连接，，，， 则运用中位线性质知，且，， 则，，则四边形是平行四边形， 又因为是正三角形，为中点， 所以， 底面是菱形，，则是正三角形，则，，平面，平面， 平面，， 由于四边形是菱形，四边形是平行四边形，所以，， . （2）由（1），则过做的垂线，以为坐标原点，为坐标轴，建立空间直角坐标系如图，    由二面角为，可得， 因为，四边形是菱形，可得， 又因为三角形是正三角形，可得，所以可得， 则，，，， 由M是棱的中点，可得， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得，故法向量为， 又由， 所以M到平面的距离， 故M到平面的距离为. 11．（2025·天津·二模）如图，在直三棱柱中，，，，是棱的中点，是棱上一点，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的大小； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）依题意，以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 则、、、、，所以． 设，故，则． 所以． 因为，所以，解得，所以． （2）由（1）知，． 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，则． 易得平面的一个法向量为， 因为，故，故平面与平面的夹角大小为． （3）因为，， 所以在上的投影向量的长度为． 又， 所以点到直线的距离为． 12．（2025·天津河西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上异于点P，，平面ABE与棱PD交于点 (1)求证：； (2)若，求证： 平面平面 若，，直线PB与平面ABCD所成角的正切值为，求点C到平面ABE的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析； 【详解】（1） 证明：因为矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面， 所以 （2）证明：因为，，所以， 因为矩形，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面 取的中点O，连接 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以就是直线与平面所成角，即， 在中，，解得， 以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 由，知， 所以，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，所以， 而， 所以点C到平面的距离为 高考真题演练 1．（2025·全国一卷·高考真题·多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 3．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； （3）由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； （2）如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 5．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 6．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 7．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． (1)证明:平面； (2)求面与面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 8．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 9．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$