专题19：复数 （6大考点+14大题型）讲义-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题19 复数 知识点一、复数的有关概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 1） 2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． 3）． 实数的全部运算律加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 知识点三、复数的几何意义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 1）复数对应平面内的点； 2）复数对应平面向量； 3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 5）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； 6）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 知识点四、实系数一元二次方程 求解复数集上的方程的方法： 1）设化归为实数方程来解决化归思想）． 2）把看成一个未知数而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形整体思想）． 3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式公式法）． 方程有两个不相等的实根； 方程有两个相等的实根； 方程有两个共轭虚根，此时方程的根与系数关系韦达定理）仍然成立． 【注意】 1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； 2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； 3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；不作要求） 4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数） ①判别式判断实根情况失效；　　②虚根成对出现的性质失效； 如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用. 考点一 复数的有关概念 题型01：复数的实部与虚部 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海虹口·一模）已知非零复数满足，则的虚部为 ． 2．（2025·嘉定区·一模）已知是虚数单位，复数的虚部为 . 3.（2024复旦附中高三阶段练习）已知复数和，则“”是“”的    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型02：复数相等 【例3】（2023•宝山区二模）已知复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i为虚数单位），则实数m＝　　． 【跟踪训练】 1．（2025·天津宝坻区·一模）已知，其中i是虚数单位，则 ． 2．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（2024复旦附中高三阶段练习）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型03：共轭复数 【例4】（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 2．（2024交大附中高三阶段练习）的共轭复数为（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 题型04：复数分类 【例5】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 2．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 3．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 考点二 复数的四则运算 题型05：复数的运算 【名师点拨】在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 【例6】（23-24高三下·上海浦东新·期中）若复数（是虚数单位），则 . 【例7】（2023·全国·高三专题练习）____________ 【跟踪训练】 1．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）若复数满足，则其实部__________. 2．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则（ ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024复旦附中高三阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2023·江西九江·统考三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点三 复数的几何意义 题型06：与复数对应点(向量)有关的运算 【例8】（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 2．（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 3．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点，若A在第一象限，且OA⊥OB，则＝　　． 题型07：判断复数对应点所在的象限 【例9】（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【跟踪训练】 1．（2023•奉贤区校级三模）复数（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 　　． 2．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型08：根据复数对应坐标的特点求参数 【例11】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 2.（静安2023一模2）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________. 考点四 复数的模 题型09：求复数的模 【例12】（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 【例13】（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【跟踪训练】 1.（2022·全国·模拟预测）已知复数满足：，则    ） A． B． C．5 D． 2.（2022·江西·临川一中高三阶段练习理））若复数z满足，则    ） A．3 B．5 C． D． 题型10：由复数模求参数 【例14】（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足，若，则复数z为（    ）． A． B． C．或 D．或 【跟踪训练】 1．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）设复数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 题型11：与复数模相关的最值问题 【例15】（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【例16】（2023·全国·高三专题练习）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例17】（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足，则的最小值为（    ）． A．3 B． C．2 D． 【跟踪训练】 1.（2025·上海青浦·二模）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是　　． 2．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 4.（2022春•闵行区期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是 　　． 5.（2022·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，其中i是虚数单位），则的最大值为    ） A．3 B．5 C． D． 6.（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是    ） A． B．2 C．3 D．1 考点五、实系数一元二次方程 题型12：实系数一元二次方程 【例18】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【例19】（2023·重庆·统考三模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.（2022·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则     ） A．25 B．5 C． D．41 2．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 3.已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围. 4．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ） A． B． C． D． 考点六、复数综合 【例20】（2023·上海闵行·统考一模）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 【例21】（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例22】已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 【例23】已知的顶点分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围． 【例24】已知复数，为虚数单位，. （1）若为实数，求的值； （2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围. 【例25】设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为． （1）求复数的值； （2）证明：当时，； （3）求数列的前100项之和． 【例26】设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn. （1）求复数z2，z3，z4的值； （2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由； （3）求数列的前项之和. 1. （2025上海秋季高考）已知复数z满足，则的最小值是_________． 2．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 4．【2024年上海市高考数学第9题】已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 5．（2024年上海春季卷03）已知，则＝　　． 6．【2023年上海市高考数学第6题】已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　　　　． 7.（2023上海春考卷11）设 z1 ，z2 ∈C 且 z1 ＝i•满足|z1﹣1| ＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为　 　 8．【2022年上海市高考数学第1题】已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2　　　　． 9．（2022·上海春考卷01）已知 ，则 　 　 10．【2021年上海市高考数学第1题】已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝　　　　． 11．【2020年上海市高考数学第3题】已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　　　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2026年高考数学一轮复习考点精析与题型全解（上海专用） 专题19 复数 知识点一、复数的有关概念 概念 定义 复数 把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位. 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部 复数集 全体复数所构成的集合，即C＝{a＋bi|a，b∈R} 复数 相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 复数 分类 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数 共轭 复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 复数z的共轭复数用z表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 复数 的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)对应的向量为，则向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|z|或|a＋bi|. 即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是复数z＝a＋bi在复平面内对应的点Z(a，b)到坐标原点的距离 知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数运算 1） 2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． 3）． 实数的全部运算律加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 知识点三、复数的几何意义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量． 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 1）复数对应平面内的点； 2）复数对应平面向量； 3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． 4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 5）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a； 6）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离． 知识点四、实系数一元二次方程 求解复数集上的方程的方法： 1）设化归为实数方程来解决化归思想）． 2）把看成一个未知数而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形整体思想）． 3）对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式公式法）． 方程有两个不相等的实根； 方程有两个相等的实根； 方程有两个共轭虚根，此时方程的根与系数关系韦达定理）仍然成立． 【注意】 1）在复数集中的一元二次方程的求根公式和韦达定理仍适用，但根的判别式仅 在实数集上有效； 2）实系数一元二次方程在复数集中一定有根，若是虚根则一定成对出现； 3）齐二次实系数二次方程，将等式两端除以后，将得到一个关于得实系数一元二次方程；不作要求） 4）虚系数一元二次方程至少有一个为虚数） ①判别式判断实根情况失效；　　②虚根成对出现的性质失效； 如，虽然，但该方程并无实根，不过韦达定理仍适用. 考点一 复数的有关概念 题型01：复数的实部与虚部 【例1】（2024·上海青浦·二模）已知复数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】根据复数的运算法则求出，再写出复数的虚部即可. 【详解】∵， ∴， 故答案为：. 【例2】（2025·上海黄浦·二模）为虚数单位，若复数满足且，则 ． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，由给定条件列式，结合复数乘法及复数相等求解. 【详解】设，则，由，得，解得， 即，由，得，所以. 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2024·上海虹口·一模）已知非零复数满足，则的虚部为 ． 【答案】 【分析】设，根据复数的模得到方程组，解得即可. 【详解】设，则， 因为，，所以，解得或（舍去）， 所以，则的虚部为. 故答案为： 2．（2025·嘉定区·一模）已知是虚数单位，复数的虚部为 . 【答案】 【解析】利用复数的除法运算求解.因为， 所以其虚部为-1， 故答案为： 3.（2024复旦附中高三阶段练习）已知复数和，则“”是“”的    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，复数和是实数，成立， 当时，例如，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 题型02：复数相等 【例3】（2023•宝山区二模）已知复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3（其中i为虚数单位），则实数m＝　　． 【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，即可求解． 【解答】解：复数（m2﹣3m﹣1）+（m2﹣5m﹣6）i＝3， 则，解得m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查复数相等的条件，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2025·天津宝坻区·一模）已知，其中i是虚数单位，则 ． 【答案】3 【解析】由，可得：，由复数相等可知： 所以 故答案为：3 2．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】设，，根据复数相等的充要条件及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设，，则， 若，即，所以，则，此时，故充分性成立； 若，则，则，故必要性成立； 故“”是“”的充要条件. 故选：C 3．（2024复旦附中高三阶段练习）已知，复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用复数运算规则求得，求得的值，进而得到的值. 【详解】， 则，故. 故选：D 题型03：共轭复数 【例4】（24-25高三上·上海松江·期末）若复数满足（其中是虚数单位），则复数的共轭复数 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算得到，根据共轭复数的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：. 【跟踪训练】 1．（2024·上海长宁·一模）已知复数z和，则下列说法正确的是（   ） A．一定是实数 B．一定是虚数 C．若，则是纯虚数 D．若，则是纯虚数 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，结合虚数和纯虚数的定义即可逐一求解. 【详解】设,则故为实数，故A正确， 对于B，，当时，此时为实数，故B错误， 对于C，则，当时，此时为实数，C错误， 对于D, ，则，则是实数，故D错误， 故选：A 2．（2024交大附中高三阶段练习）的共轭复数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果. 【详解】因为，则其共轭复数为． 故选:A 3．（2024·上海嘉定·一模）如果复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用复数除法求出，进而求出复数. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 题型04：复数分类 【例5】（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知复数，，，若为纯虚数，则 ． 【答案】5 【分析】由纯虚数的概念得到，再由模长计算求解即可； 【详解】， 因为为纯虚数，所以， 所以，所以， 故答案为：5. 【跟踪训练】 1．（2024·上海宝山·一模）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数 . 【答案】 【分析】根据已知条件，列出方程即可求解. 【详解】因为为纯虚数，所以，即， 所以. 故答案为： 2．（2024·上海静安·一模）已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算和复数分类即可得到答案. 【详解】， 因为其为纯虚数，则且，解得. 故答案为：. 3．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【详解】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 考点二 复数的四则运算 题型05：复数的运算 【名师点拨】在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*. 【例6】（23-24高三下·上海浦东新·期中）若复数（是虚数单位），则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义，结合复数乘法、减法求解即得. 【详解】复数，则， 所以. 故答案为： 【例7】（2023·全国·高三专题练习）____________ 【答案】/ 【分析】利用虚数单位的性质，复数的除法、乘方运算法则化简即可. 【详解】，， . 故答案为： 【跟踪训练】 1．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）若复数满足，则其实部__________. 【答案】2 【分析】根据复数相等的知识求得，进而求得的实部. 【详解】设， 依题意，， 即，所以，解得， 所以的实部为. 故答案为： 2．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求得，结合，即可求解. 【详解】由，可得，则. 故选：A. 3．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：先化简复数，求出，在写出它的共轭复数，最后利用公式计算即可； 方法二：先化简复数，利用即可. 【详解】方法一：因为，，，， 所以， 所以， 所以， 所以． 方法二：由， 所以． 故选：B． 4．（2024复旦附中高三阶段练习）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】运用复数乘法运算及复数相等可求得a、b的值，再运用共轭复数及复数的模的运算公式即可求得结果. 【详解】设（a，），则， 根据复数相等的定义，得，解得或， 所以． 故选：B. 5．（2023·江西九江·统考三模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设（，），代入已知等式，由复数相等进行运算求解即可. 【详解】设（，），则由得，， ∴， ∴，解得，∴， ∴. 故选：B. 考点三 复数的几何意义 题型06：与复数对应点(向量)有关的运算 【例8】（2023•长宁区二模）设复平面上表示2﹣i和3+4i的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据条件可写出表示向量的复数，然后即可得出该复数所位于的象限． 【解答】解：根据题意知，表示向量的复数为1+5i， ∴在复平面上所对应的点为（1，5）位于第一象限． 故选：A． 【点评】本题考查了复数和复平面内的点的对应关系，复数和向量的对应关系，考查了计算能力，属于基础题． 【跟踪训练】 1．（2024·上海奉贤·一模）在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为 ． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 2．（2023·全国·高三专题练习）设复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义得到复数，然后求得，再利用几何意义求解. 【详解】解：由题意得， 则， 所以在复平面内对应的点为， 故选：A 3．（2023•杨浦区校级模拟）已知复数z在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点，若A在第一象限，且OA⊥OB，则＝　　． 【分析】设点A坐标，根据共轭复数的概念得B坐标，再由OA⊥OB得A横纵坐标的关系式，根据复数的除法运算求值即可． 【解答】解：设A（m，n）（m＞0，n＞0），则由共轭复数的概念可得：B（m，﹣n）， 由得：m2﹣n2＝0， 因为m＞0，n＞0，所以m＝n，故， 故． 故答案为：﹣i． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于中档题． 题型07：判断复数对应点所在的象限 【例9】（2024·上海青浦·一模）在复平面内，复数 （其中 是虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限. 【答案】四 【分析】求出复数的共轭复数即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以复数对应的点在第四象限. 故答案为：四 【例10】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则在复平面内，复数z所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据虚数单位的性质结合复数的除法求复数z，进而判断复数z所对应的点所在象限. 【详解】∵， ∴复数z所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【跟踪训练】 1．（2023•奉贤区校级三模）复数（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内，则实数a的取值范围是 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：（a﹣1）+（2a﹣1）i（a∈R）在复平面的第二象限内， 则，解得， 故实数a的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 2．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）已知复数，则在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数运算法则求的代数形式，再确定其在复平面所对应的点及其象限. 【详解】因为， 所以复数在复平面内所对应的点为，该点在第四象限. 故选：D. 3．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知i为虚数单位，若复数（）为纯虚数，则复数在复平面上对应的点（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】化简复数，由纯虚数概念可解得的值，从而得出结论. 【详解】由 为纯虚数, 则实部 , 虚部 , 解得 , 则复数，在复平面上对应的点在第四象限. 故选: D. 题型08：根据复数对应坐标的特点求参数 【例11】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知复数在复平面内对应的点落在第一象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简，根据对应点所在象限列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】， 对应点， 由于点在第一象限， 所以，解得. 故选：A 【跟踪训练】 1．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数对应点的对称关系得，应用复数除法化简目标式即得结果. 【详解】由对应点为，则对应点为，故， 所以. 故选：D 2.（静安2023一模2）已知复数为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 ∴复数在复平面内对应的点为，由已知，在第二象限∴，解得，即实数的取值范围是 考点四 复数的模 题型09：求复数的模 【例12】（24-25高三上·上海金山·期末）已知复数，其中为虚数单位，则的值为 ． 【答案】 【分析】先由，利用复数乘法求出，再用模长公式求其模长即得. 【详解】由，可得， 故. 故答案为：. 【例13】（2024·上海徐汇·一模）已知复数和复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】设，由复数的减法与共轭复数的概念可得，结合复数的乘方运算性质、复数的乘法法则、复数的模长即可得求解的值. 【详解】设， 则， 所以， 因为， 所以， 则. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.（2022·全国·模拟预测）已知复数满足：，则    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】 故选：D. 2.（2022·江西·临川一中高三阶段练习理））若复数z满足，则    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 故选：C. 题型10：由复数模求参数 【例14】（2023·陕西西安·西安一中校联考模拟预测）已知复数z满足，若，则复数z为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据复数的模的计算求得a的值，再根据复数的除法运算即可求得答案. 【详解】由有，即， 解得， 当时，, 当时，. 故选：C 【跟踪训练】 1．（2023·河北石家庄·正定中学校考模拟预测）设复数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数模的计算公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为复数，又，且， 所以，解得，所以的最大值为. 故选：C. 题型11：与复数模相关的最值问题 【例15】（2025·上海杨浦·二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求出最小值. 【详解】在复平面内，表示复数对应的点与复数对应点的距离为1， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 表示点到原点的距离，所以的最小值为. 故答案为： 【例16】（2023·全国·高三专题练习）复平面内复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数模的几何意义得出对应点的轨迹，设，即可计算的最小值． 【详解】因为， 所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则， 所以点的轨迹方程为， 设， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：B． 【例17】（2023·山东烟台·统考二模）若复数z满足，则的最小值为（    ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据和的几何意义，结合双曲线的图象即可得到的最小值. 【详解】设复数在复平面上对应的点的坐标为，则表示点到的距离与到的距离的差为4， 所以点的轨迹为双曲线的右支，图象如下所示：    表示点到的距离，所以的最小值为3. 故选：A. 【跟踪训练】 1.（2025·上海青浦·二模）已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是　　． 【解析】因为，所以，所以， 则的最大值是． 2．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考期中）已知，且为虚数单位，则的最大值是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值. 【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 表示圆C上的点到的距离， 的最大值是， 故选B 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题. 3．（24-25高三上·上海黄浦·期末）i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，，，，由题设易得对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内，对应的点是直线上一点，进而结合圆上一点到直线上一点的距离最值问题求解即可. 【详解】设，， 则， 由，得， 即， 则复数对应的点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆面（包括边界）内， 设，，则， 由，得， 整理得，， 则复数对应的点是直线上一点， 又， 所以表示点与点之间的距离， 因为圆心到直线的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 4.（2022春•闵行区期末）如果复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，那么|z﹣1﹣i|的最大值是 　　． 【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解． 【解答】解：复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2， 复数z对应的点为复平面x轴上，A（﹣1，0），B（1，0）之间的任意点， 故|z﹣1﹣i|表示复数z对应的点到点P（1，1）的距离， 所以|z﹣1﹣i|的最大值是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于基础题． 5.（2022·上海市松江二中高三阶段练习）已知复数，满足，，其中i是虚数单位），则的最大值为    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【解析】复数在复平面的对应点的轨迹为焦点分别在，的椭圆，方程为； 复数在复平面的对应点的轨迹为圆心在，半径为2的圆，方程为， 即为椭圆 上的点与圆 上的点的距离. 的最大值即为点到圆心 的距离的最大值加半径. 设. 所以 . 故选：B 6.（2022·全国·高三专题练习）已知复数和满足，且，则的最小值是    ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】D 【解析】设，，复数在复平面内对应的点为，则，， 因为，所以，所以， 所以，则，则在轴上运动， 设，，复数在复平面内对应的点为， 则， 所以，所以， 则在以为圆心，为半径为圆上运动， 所以， 所以，则表示圆上的点与轴上的点的距离， 因为圆心到轴的距离，所以； 故选：D 考点五、实系数一元二次方程 题型12：实系数一元二次方程 【例18】（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若（为虚数单位）是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】由题意可将代入方程，结合复数的乘方以及复数的相等，即可求得，即得答案. 【详解】由题意是关于的实系数方程的一个根， 则，即， 即得， 故， 故答案为： 【例19】（2023·重庆·统考三模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由方程解出，，再由复数的运算及复数的模判断4个选项即可. 【详解】由方程得，由求根公式得根为， 不妨设，. ，A错误； ，B错误； ，C错误； 令，得或， 所以，也是方程的两个根，所以D正确. 故选：D. 【跟踪训练】 1.（2022·广东·新会陈经纶中学高三阶段练习）已知复数是关于的方程的一个根，则     ） A．25 B．5 C． D．41 【答案】C 【解析】因为复数是关于的方程的一个根， 所以，所以， 所以，所以， 则， 故选：C. 2．（2025·上海浦东新·二模）若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【分析】设关于的方程的两根虚根为，则且，即可求出的值，再代入检验. 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 3.已知关于x的一元二次方程有实数根,求的取值范围. 【错解】由于一元二次方程有实数根,可得判别式：, 解得：或. 【错因】对于一元二次方程通过根的判别式来确定根的个数,这是在实数范围内才能成立的,在复数范围内就不适用了.而本题中所给一元二次方程,其中含有虚数单位,则首先要将其整理成复数的形式：,利用复数相等的条件有：,进而可求出. 【正解】设方程的实数根为,代入方程有：, 整理化简可得：, 则有：, 可解得：或. 4．（2023·湖北·校联考模拟预测）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是实系数一元二次方程的两个根，是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案. 【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根, ,是实数, , ,即或，而 . 故选:C 【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质 的灵活应用是解题的关键,属于难题. 考点六、复数综合 【例20】（2023·上海闵行·统考一模）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 【答案】A 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论. 【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值， 故选：A. 【例21】（2022·上海·高三专题练习）关于x的实系数方程和有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断. 【详解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解为，设对应的两点分别为A，B， 得A（2，1），B（2，﹣1）， 设x2+2mx+m＝0的解所对应的两点分别为C，D，记为C（x1，y1），D（x2，y2）， （1）当△＜0，即0＜m＜1时，的根为共轭复数，必有C、D关于x轴对称，又因为A、B关于x轴对称，且显然四点共圆； （2）当△＞0，即m＞1或m＜0时，此时C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m， 故此圆的圆心为（﹣m，0）， 半径， 又圆心O1到A的距离O1A＝， 解得m＝﹣1， 综上：m∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D. 【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 【例22】已知复数． (1)若复数在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围； (2)若虚数是方程的一个根，求实数m的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）根据复数的减法，确定实部与虚部，根据其几何意义，可得实部与虚部的取值范围，可得答案； （2）根据复数与一元二次方程的关系，再由韦达定理，可得答案. 【详解】（1）．因为在复平面内的对应点落在第一象限，所以即解得．因此，实数a的取值范围是． （2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，于是，解得．把代入，得，，所以． 【例23】已知的顶点分别为，，． (1)若，，，求的值； (2)若虚数是实系数方程的根，且是钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【分析】（1）根据坐标，可作图，利用方格图，在构造的直角三角形中，利用三角函数定义，可得答案； （2）根据一元二次方程的根的性质，以及余弦定理，可得答案. 【详解】（1）（1）因为，，，所以，，． 所以，，， 如图，因为，所以． （2）将代入得， 展开得，即， 解得（舍去）或（舍去）或， 所以，，，则，． 因为是钝角，所以且，，三点不共线， 即且， 解得且． 【例24】已知复数，为虚数单位，. （1）若为实数，求的值； （2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）计算为实数，则，得到，计算得到答案. （2）化简得到，计算，，得到，根据范围解不等式得到答案. 【详解】（1）为实数，则 因为，所以， （2）， 所以， 因为，所以，进而， 解得. 【点睛】本题考查了复数和向量的运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 【例25】设复数，其中，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为． （1）求复数的值； （2）证明：当时，； （3）求数列的前100项之和． 【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3) 【分析】(1)根据复数的运算法则求解即可； (2)由题设条件得出，当时，，结合向量共线定理即可证明； (3)由题设条件推导出，利用这个条件以及等比数列的求和公式化简即可得出答案. 【详解】(1)， (2)由已知得 当时， 令，则，即 即存在非零实数，使得 所以当时， (3),得 又，，则 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、复数的几何意义、向量共线定理、等比数列的求和公式，属于较难题. 【例26】设复数，其中xnyn∈R，n∈N*，i为虚数单位，，z1=3+4i，复数zn在复平面上对应的点为Zn. （1）求复数z2，z3，z4的值； （2）是否存在正整数n使得？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由； （3）求数列的前项之和. 【答案】（1）z2=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i；（2）存在，n=4k+1，k∈N；（3）1+2102 【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4； （2）求出，利用复数的幂运算，求解即可； （3）通过，推出xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，得到xn+4yn+4=16xnyn，然后求解数列的和即可. 【详解】（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，，. （2）若，则存在实数λ，使得，故， 即（xn，yn）=λ（x1，y1）， 又zn+1=（1+i）zn，故，即为实数， ，，故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N； （3）因为，故xn+4=﹣4xn，yn+4=﹣4yn，所以xn+4yn+4=16xnyn， 又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28， x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100 =（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100） =， 而，， 所以数列{xnyn}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102. 【点睛】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力，属于难题. 1. （2025上海秋季高考）已知复数z满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可. 【详解】设， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 故答案为： 2．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（   ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出． 【详解】由可得，，所以， 故选：B. 4．【2024年上海市高考数学第9题】已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ． 【答案】2 【详解】设，且. 则， ，，解得， 故答案为：2. 5．（2024年上海春季卷03）已知，则＝　　． (分析)利用复数的运算性质以及共轭复数的定义化简即可求解． (解答)解：由题意可得z＝i（1+i）＝﹣1+i， 所以＝﹣1﹣i． 故答案为：﹣1﹣i． (点评)本题考查了复数的运算性质，涉及到共轭复数的求解，属于基础题． 6．【2023年上海市高考数学第6题】已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝　　　　． 【答案】． 【解答】解：∵z＝1﹣i， ∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|． 故答案为：． 7.（2023上海春考卷11）设 z1 ，z2 ∈C 且 z1 ＝i•满足|z1﹣1| ＝1，则|z1﹣z2|的取值范围为　 　 8．【2022年上海市高考数学第1题】已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2　　　　． 【答案】2﹣2i． 【解答】解：z＝1+i，则1﹣i，所以22﹣2i． 故答案为：2﹣2i． 9．（2022·上海春考卷01）已知 ，则 　 　 (答案)2-i (知识点)复数的基本概念 (解析)(解答)解：∵z=2+i， ∴ 故答案为：2-i (分析)根据共轭复数的定义求解即可. 10．【2021年上海市高考数学第1题】已知z1＝1+i，z2＝2+3i，求z1+z2＝　　　　． 【答案】3+4i 【解答】解：因为z1＝1+i，z2＝2+3i， 所以z1+z2＝3+4i． 故答案为：3+4i． 11．【2020年上海市高考数学第3题】已知复数z＝1﹣2i（i为虚数单位），则|z|＝　　　　． 【答案】 【解答】解：由z＝1﹣2i，得|z|． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$