【第十七章 因式分解 01讲 用提公因式法分解因式】【二大知识点+四大题型+巩固练习】2025-2026学年八年级上册数学（新版人教版专用）

第十七章 因式分解 01讲 用提公因式法分解因式 题型归纳 【题型1. 因式分解的判断】……………………………………………………………… 2 【题型2. 公因式】………………………………………………………………………… 4 【题型3. 因式分解中字母求参问题】…………………………………………………… 5 【题型4. 提公因式法分解因式】………………………………………………………… 7 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 9 知识清单 知识点1 因式分解与分解因式 1.因式分解：像右边这样把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解. 2.分解因式：像右边这样把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式， 把这个多项式分解因式. 知识点2 （提）公因式 1.公因式：如公因式pa+pb+pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 2.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方式叫作提公因式法. 【提示】确定公因式（五看）： ① 系数（若都为整数，取最大公因数）； ② 字母（各项相同的字母）； ③ 指数（相同字母指数最低）； ④ 整体（若含有相同的多项式，将它看作整体）； ⑤ 首项符号（若首项是“一”，则因式符号一般为负）. 提公因式步骤： ① 确定公因式； ② 提公因式，并确定另一个因式； ③ 写成乘积的形式. 题型专练 题型1. 因式分解的判断 【例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后求解． 【详解】A. ，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B. ，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合平方差公式，属于因式分解，故B符合题意； C. ，右边通过加法拆分，未形成乘积形式，不属于因式分解，故C不符合题意； D. ，展开右边得，与左边不相等，分解错误，故D不符合题意． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的定义．逐一分析各选项是否符合条件即可． 【详解】解：A选项：右边出现分式，不符合因式分解要求； B选项：展开右边得，与左边不相等，等式不成立； C选项：右边为，是加法形式而非整式乘积，不符合因式分解定义； D选项：左边提取公因式，得到，为整式的乘积形式，符合因式分解定义； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，是解题的关键．根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，即可得到答案． 【详解】解：A. ，左边为二次多项式，右边是的平方，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义； B. ，左边是乘积形式，右边展开为多项式，属于整式乘法，而非因式分解； C. ，右边的式子不是整式，不符合要求； D. ，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于乘法运算，不是因式分解； 故选：A． 题型2. 公因式 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）与的公因式是 ． 【分析】本题考查了多项式的公因式，把两个多项式分解因式后即可得解． 【详解】解：，，则公因式为； 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【分析】本题主要考查公因式的确定，在找公因式时，一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低次幂，据此即可求解． 【详解】解：， 故因式分解时，应提取的公因式是， 故选：A． 【变式2】（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 【分析】此题主要考查了提取公因式法，直接根据公因式的定义分析得出答案．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取公因式：．故答案为：． 题型3. 因式分解中字母求参问题 【例1】（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程是解题关键．根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数 ． 【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解的结果，用多项式乘法展开并比较对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【分析】本题考查了因式分解和整式乘法的关系． 先将展开，再根据二次三项式可分解为，可得﹣，即可求出m的值． 【详解】解：， ∵二次三项式可分解为， ∴， 解得， 故答案为：1． 【变式3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 【分析】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．对展开得到m，n的值，然后计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型4. 提公因式法分解因式 1. 把下列各式分解因式： 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【分析】本题主要考查了完全平方公式，分解因式，设，则，将原方程转化为关于的方程，通过代数变形直接求解的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故选D． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A. ，左边是单项式，因式分解的对象应为多项式，不符合定义； B. ，右边仍包含加法运算，未完全转化为乘积形式，不符合定义； C. ，左边为二次多项式，右边是与的乘积，符合因式分解的定义； D. ，左边是乘积形式，右边为展开后的多项式，属于整式乘法，与因式分解过程相反， 故选：C． 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义，需满足将多项式转化为几个整式的积的形式，且每个因式均为整式，根据因式分解的定义逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A选项：右边为，是乘积与常数相加的形式，未完全分解为积的形式，不符合． B选项：左边为，右边为展开后的多项式，属于整式乘法而非因式分解． C选项：右边含分式，导致因式不是整式，不符合要求． D选项：左边利用平方差公式分解为，均为整式的乘积，符合因式分解定义． 故选：D． 5．（24-25八年级下·四川达州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，据此解答即可． 【详解】解：A. ，是整式的乘法运算，不符合因式分解的定义，不符合题意； B. ，故原选项分解因式错误，不符合题意； C. ，右侧不是积的形式，不符合因式分解，不符合题意； D. ，将左边多项式转化为完全平方形式，符合因式分解的定义，故符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期中）对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断甲、乙变形是否符合将多项式分解为整式乘积的形式即可解答． 【详解】解：甲：中，因式分解的对象应为多项式，而是单项式，不符合因式分解的条件，因此甲不是因式分解； 乙：中，虽然左边是多项式，但右边括号中的是分式，导致整体结果不是整式的乘积，因此乙也不是因式分解； 综上，甲、乙均不是因式分解， 故选：B． 7．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据长方形周长和面积计算公式可得，，再把所求式子分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵一个长方形的长、宽分别为m、n，且这个长方形的周长为18，面积为15， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，题意给出了因式对应的含义，需要对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息． 【详解】解：∵ ， 分别对应4个汉字：爱，我，数，学． 则呈现的密码信息可能是：我爱数学． 故选：A． 9．（21-22八年级上·黑龙江大庆·期中）若，则m+n等于（    ） A．21 B．-28 C．1 D．2 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m+n的值． 【详解】解：已知等式整理得：， ∴n+3=-4，m=3n， 解得：m=-21，n=-7， 则m+n=-21-7=-28， 故选：B 【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 10．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】本题主要考查了单项式和多项式、因式分解、代数式求值等知识，解题关键是分类讨论，避免遗漏．根据多项式次数定义，可知当多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有7个，可判断说法①；当时，根据题意可知，然后分情况讨论，即可判断说法②正确；根据题意，当时，分情况讨论，可得所有的和为，再分均为正数和均为负数两种情况讨论，即可判断说法③． 【详解】解：多项式的次数为2时，符合条件的多项式有，，， ，，，， 共有7个，故说法①错误； 当时，， ∵均为正整数， ∴， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， 当时，代数式， ∴代数式的值共有三种不同结果，故说法②正确； ∵均为正整数，当时，可有以下几种情况， 当时，可有， 当时，可有， 当时，可有， ∴所有的和为， 若均为正数，则， ∴所有的和为， 若均为负数，则， ∴所有的和为， 故说法③正确． 综上所述，说法正确的有②③，共计2个． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是 ． 【分析】本题考查了多项式的公因式，先分解因式，2对比两个多项式，找出共同的因式即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故多项式和的公因式是， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）分解因式： ． 【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期中）分解因式 ． 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，先得到，进而因式分解得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·江西·中考真题）因式分解： 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 直接运用提取公因式法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·四川达州·期末）已知，，则的值为 ． 【分析】此题考查了因式分解−提公因式法，代数式求值．注意整体思想在解题中的应用．将所求代数式提取公因式后进而代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案是：25． 17．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为20，面积为21，则的值为 ． 【分析】本题主要考查了代数式求值，确定，的值是解题关键．根据题意可得，，将原式整理为，然后代入求值即可． 【详解】解：根据题意，长方形的长为，宽为，且长方形的周长为20，面积为21， ∴，， ∴． 故答案为：210． 18．（2025九年级下·湖南·专题练习）若分解因式：，则的值为 ． 【分析】本题主要考查因式分解与整式的乘法，由可得结论． 【详解】解：， 而， ， 故答案为：． 19．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 【分析】本题考查了整式加减的应用、一元一次方程的应用、因式分解，理解题意是解题的关键．根据题意用表示出和，计算可得，根据的值能被13整除，得出是13的倍数，列出方程求出的值即可． 【详解】解：，， 则． 因为的值能被13整除，且11与13互质， 所以是13的倍数， 所以， 解得：， 故答案为：6． 20．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题 21.分解因式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式 解：原式= 解：原式= 解：原式 解：原式 解：原式 22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知实数与互为倒数，且，求的值． 【分析】本题考查了倒数，因式分解，已知式子的值求代数式的值，先由倒数的定义得，再整理，然后把代入计算，即可作答． 【详解】解：与互为倒数， ． 则， ∵ . 23．（24-25八年级下·广东清远·期中）先因式分解，再计算求值：，其中． 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握提取公因式法是解题的关键． 先提取公因式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知，． (1)求的值： (2)求的值： 【分析】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键． （1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得； （2）利用完全平方公式进行变形求值即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 25．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： (1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值． （1）根据题意得，，提公因式分解因式，然后再代入式子计算即可． （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 当，时， （2）解：当，时， ． 26．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握运算法则．由于含字母的二次三项式的一般形式为(其中、、均为常数，且)，所以可设原多项式为； 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开，进而求出与的值； 同理将运用多项式的乘法法则展开，还可求出的值，从而确定原多项式，再将原多项式分解因式即可． 【详解】解：∵     ∴ ， ∵ ∴ ∴ ． 27．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，同底数幂的乘法，熟练的掌握提公因式法以及多次使用提公因式的方法是解本题的关键． （1）观察分解因式的过程可得答案； （2）逐步提取公因式，从而可得答案； （3）逐步提取公因式，从而可得答案． 【详解】（1）解：观察可知，上述分解因式的方法是提公因式法；第一、二步各用了一次提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2． （2）解： …… ， 需应用上述方法2025次，结果是． 故答案为：2025，． （3）解： …… 28．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 【分析】（1）先将转化为以为底的幂，再根据幂运算中“若（且，、是正整数），则”的结论列方程求解． （2）利用同底数幂的运算法则，将和变形，提取公因式后求解． （3）把转化为，再结合用含的式子表示，进而代入的表达式进行转化． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即． 根据（且，、是正整数），则， ∴， 解得． （2）解：∵，． ∴． ∵， ∴，，，， ∴． （3）解：∵， ， ∴． 又∵， ∴把代入，得． 【点睛】本题主要考查了幂的运算相关知识，包括幂的乘方、同底数幂的运算以及代数式的变形，熟练掌握幂的运算法则和代数式的转化方法是解题的关键． 29．（24-25八年级上·山西长治·期中）（1）分解因式：； （2）下面是小明同学对多项式分解因式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： ①以上解答中，第一步依据的法则是__________； ②小明的解答过程是否正确？若不正确，请直接写出正确结果． 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是掌握因式分解的基本思路：一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式；如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式；如果剩余的项是四项，可以考虑把各项适当分组．因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． （1）提出公因式即可得解； （2）①根据由展开后得到四项可知其运算法则； ②将原式展开再合并，最后利用完全平方公式分解因式即可； 【详解】解：（1） ； （2）①以上解答中，第一步依据的法则是多项式乘多项式的运算法则， 故答案为：多项式乘多项式的运算法则； ②第三步出现错误． ， ∴正确的结果为． 30．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 【分析】（）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案； （）直接将前两项和后两项分组，再利用提取公因式法分解因式，再求，，的关系，判断三角形的形状； 此题考查了分组分解法分解因式，解题的关键是熟练掌握分组分解法分解因式，公式法因式分解及其应用． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ∵的三边长，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 因式分解 01讲 用提公因式法分解因式 题型归纳 【题型1. 因式分解的判断】……………………………………………………………… 2 【题型2. 公因式】………………………………………………………………………… 2 【题型3. 因式分解中字母求参问题】…………………………………………………… 3 【题型4. 提公因式法分解因式】………………………………………………………… 4 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 5 知识清单 知识点1 因式分解与分解因式 1.因式分解：像右边这样把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解. 2.分解因式：像右边这样把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式， 把这个多项式分解因式. 知识点2 （提）公因式 1.公因式：如公因式pa+pb+pc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式. 2.提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方式叫作提公因式法. 【提示】确定公因式（五看）： ① 系数（若都为整数，取最大公因数）； ② 字母（各项相同的字母）； ③ 指数（相同字母指数最低）； ④ 整体（若含有相同的多项式，将它看作整体）； ⑤ 首项符号（若首项是“一”，则因式符号一般为负）. 提公因式步骤： ① 确定公因式； ② 提公因式，并确定另一个因式； ③ 写成乘积的形式. 题型专练 题型1. 因式分解的判断 【例1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·重庆渝北·期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）下列从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型2. 公因式 【例1】（2025八年级下·全国·专题练习）用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）与的公因式是 ． 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）将多项式因式分解时，应提取的公因式是 A． B． C． D． 【变式2】（2025·河南三门峡·二模）把多项式分解因式，应提取的公因式为 ． 题型3. 因式分解中字母求参问题 【例1】（2025·浙江·模拟预测）若多项式因式分解后的结果是，则k的值是（   ） A．3 B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数 ． 【例3】（2025八年级下·全国·专题练习）已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【变式1】（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期中）若二次三项式可分解为，则m的值为 ． 【变式3】（24-25八年级下·广东佛山·期中）若关于x的二次三项式分解因式的结果为，求的值． 题型4. 提公因式法分解因式 1. 把下列各式分解因式： 巩固练习 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 3．（24-25八年级下·河南郑州·期中）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·四川达州·期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·河北张家口·期中）对于下列两个自左向右的变形：甲：；乙：其中说法正确的是（   ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 7．（24-25八年级下·山西晋中·期末）一个长方形的长、宽分别为m、n，已知这个长方形的周长为18，面积为15，由此请你推断的值为（    ） A．135 B．85 C．105 D．115 8．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱数学 B．我爱祖国 C．爱数学 D．爱祖国 9．（21-22八年级上·黑龙江大庆·期中）若，则m+n等于（    ） A．21 B．-28 C．1 D．2 10．（2025·重庆九龙坡·模拟预测）已知关于的单项式分别为（均为正整数，均不为0），则以下说法①多项式的次数为2时，符合条件的多项式共有8个；②当时，代数式的值共有三种不同结果；③记，当，且同号时，所有的和恒为正．正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式和的公因式是 ． 12．（24-25八年级下·广东深圳·期中）分解因式： ． 13．（24-25八年级下·河南郑州·期中）分解因式 ． 14．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）若，则的值为 ． 15．（2025·江西·中考真题）因式分解： 16．（24-25八年级下·四川达州·期末）已知，，则的值为 ． 17．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为20，面积为21，则的值为 ． 18．（2025九年级下·湖南·专题练习）若分解因式：，则的值为 ． 19．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ． 20．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是 ． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是 ． 三、解答题 21.分解因式 22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知实数与互为倒数，且，求的值． 23．（24-25八年级下·广东清远·期中）先因式分解，再计算求值：，其中． 24．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）已知，． (1)求的值： (2)求的值： 25．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值： (1)； (2)． 26．（23-24八年级下·广东茂名·单元测试）两位同学将一个二次三项式：(其中，，为常数，且)分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 27．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述分解因式的方法是_____，共应用了_______次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_____次，结果是________； (3)分解因式：（为正整数）． 28．（24-25七年级下·江苏常州·期中）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则．利用上面结论解答下列问题： (1)若，求x的值； (2)若，求x的值； (3)若，，用含m的代数式表示n． 29．（24-25八年级上·山西长治·期中）（1）分解因式：； （2）下面是小明同学对多项式分解因式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：原式第一步 第二步 ．第三步 任务： ①以上解答中，第一步依据的法则是__________； ②小明的解答过程是否正确？若不正确，请直接写出正确结果． 30．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长，，满足，判断的形状并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$