精品解析：广东省深圳市红岭中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

红岭中学2024—2025学年度第二学期第二学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：王洪峰 审题人：唐儒飞、叶迎东 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 2. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再求出. 【详解】易得，故. 故选：B. 4. 若随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布曲线的对称性得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性得，，， ∴， 当且仅当时取等号. 故选：A. 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数几何意义可求得切线方程，进而得到，累乘即可得到结果． 【详解】，， 在点处的切线方程为：， 令得：， ． 故选：D． 6. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意在中可求，在中利用正弦定理求，再在中可直接求MN. 【详解】根据题意，， 在中，，，则， 又，， 所以，， 在中，，即，解得， 在中，， 故选：B. 7. 双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得、，进而求得，直接法求离心率即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，即双曲线的一个焦点为，. 令，代入双曲线得，则， 过点且垂直于实轴的弦长为， ，即，则， . 故选：C 8. 若数列满足，，则的个位数字为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令得是公差为2的等差数列，赋值计算可得，得，运用累加法可得，计算求解即可. 【详解】令得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以， 取，得：，取，得：， 取，得：，取，得：， 所以，解得：，因此， 所以， 累加得， 故，所以个位数为5. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中至少有两个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 已知，且，则 B. 二项式的展开式中的常数项是45 C. 若随机变量A，B满足：，，则A，B相互独立 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式计算判断A；利用二项式定理求出常数项判断B；利用相互独立事件的定义判断C；求出概率判断D. 【详解】对于A，依题意，，解得，A正确； 对于B，的展开式中的常数项为，B正确； 对于C，由，得， 即，A，B相互独立，C正确； 对于D，取得2件次品的概率为，D错误. 故选：ABC 10. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 点在圆内 【答案】BD 【解析】 【分析】根据圆、双曲线、抛物线相关知识进行辨析即可. 【详解】对于A，因为动点P到点，的距离之差的绝对值为2，但，所以点P的轨迹不是双曲线，故A错误； 对于B，由于在抛物线外，所以过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有三条， 一条平行于轴，一条与轴重合，另外一条与抛物线相切，故B正确； 对于C，双曲线渐近线为，双曲线渐近线为，故C错误； 对于D，因为，所以点在圆内，故D正确. 故选：BD 11. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点满足，其中，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 不存在点使得 C. 若四棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 D. 若，过点的平面与线段交于点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】取中点中点，可证直线两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，对于A，求出直线方向向量的夹角的余弦值后可判断其正误，对于B，根据向量垂直的坐标形式可判断存在，故可判断其正误，对于C，求出球心坐标后再求半径后可判断其正误，对于D，设，则由四点共面得坐标关系后求出，故可判断其正误. 【详解】取中点中点，连接，则. 又平面平面，平面平面平面， 所以平面.因为平面，所以， 所以直线两两垂直， 故以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则, ，， 故，A正确； 因为， 故）， 若，则， 即， 解得或，所以存在点，使得B错误； 设交于点，则球心在过且垂直于平面的直线上， 则可设球心为，又， 所以，解得， 所以外接球半径，外接球表面积为，C正确； 设，则 . 因为共面，则共面， 故存在唯一实数对，使得， 即 ，所以， 解得，D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将你认为正确的答案填在答题卡上） 12. 将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有______．（用数字作答） 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题，结合分步乘法计数原理列式计算. 【详解】依题意，排数字0有种方法；排数字2有种方法；排数字6有1种方法， 所以组成的不同四位数的个数是. 故答案为：9 13. 已知随机事件 ． 若 ，则 _____ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及和事件得概率公式，即可求解. 【详解】，则，即，解得， 故. 故答案为： 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，结合题意得出，进而可得出，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解. 【详解】因为， 则， （i）若，则对任意的恒成立， 由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，不合乎题意； （ii）若，由可得或， ①若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ②若，由可得或，由可得， 此时函数的增区间为、，减区间为，不合乎题意； ③当时，对任意的，恒成立，当且仅当时，等号成立， 此时函数在上为增函数，合乎题意，所以，故， 所以，令，，则， 由可得，由可得， 所以函数的增区间为，减区间为， 故. 综上所述，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，即可得解. （2）利用三角形面积公式列式求解即得. （3）利用余弦定理及面积公式列式求出，即可求得周长. 【小问1详解】 在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 16. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 认为旅客满意程度与车站编号有关联； （2）的分布列为 8 10 12 14 .【解析】 【分析】（1）根据题目所给数据补充表格即可，先零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，接着依据表格数据计算”的值，比较与的大小，再结合独立性检验的思想方法即可下结论得解； （2）先由题得的取值，接着依次计算每个取值相应的概率即可得的分布列，再根据均值公式即可直接计算求解的均值. 【小问1详解】 ）补充列联表如下： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 15 50 11 20 30 50 合计 55 45 100 零假设为：旅客满意程度与车站编号无关，则， 所以根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为旅客满意程度与车站编号有关联. 【小问2详解】 由题的可能取值为8，10，12，14， 则；； ；， 所以的分布列为 8 10 12 14 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点． （1）证明：平面平面； （2）求点M到平面的距离； （3）若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明：因为平面，平面， 所以，又， 因为平面， 所以平面，又平面， 所以， 又是中点， 所以，又平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，结合等腰三角形三线合一，得到线面垂直，再利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）根据题目建立空间直角坐标系，只需求出的坐标以及平面的法向量的坐标即可结合公式； （3）由异面直线和所成角的余弦值为求出点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，结合向量夹角的余弦值以及平方关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示， 因为，，M是的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， 故可取，故所求为； 【小问3详解】 由（2）可知， 因为三点共线，所以可设 ， 而， 若异面直线和所成角的余弦值为， 则，即， 解得， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量可以是， 设平面的法向量为， 注意到， 所以，令，解得， 故可取， 所以二面角的余弦值的绝对值为， 故所求为. 18. 已知函数. （1）证明：当时，恒成立； （2）求函数的单调区间； （3）设数列，的前项和为，证明：. 【答案】（1）由已知当时，， 可得， 令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）由（1）得在上恒成立，且当时，不等式取等号， 所以当时，， 即， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性与最值，进而得证； （2）求导，根据导数分情况讨论函数单调性； （3）由（1）可知当时，，即，利用裂项相消法求和可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，， 可得， 当时，恒成立，函数在上单调递减； 当时，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 综上所述，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，最大距离为；当时，最大距离为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可. （2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可. （3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可. 【小问1详解】 如图，设椭圆的焦距为， 易得，，， 又因为为面积为1直角三角形，， 所以椭圆的离心率. 【小问2详解】 由第一问知，故椭圆方程为， 设，且，即， ， 其对称轴为，而，当，即时， 在时取得最大值，； 当，即时， 在时取得最大值，. 综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为， 联立，消去整理得， 则，. 因为点分别在第一、四象限， 所以，即， 故，解得， 得到四边形的面积为， ， 因为，， 所以， 令，，则， 因为，所以在上单调递增， 故，即四边形面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2024—2025学年度第二学期第二学段考试 高二数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：王洪峰 审题人：唐儒飞、叶迎东 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. D. 5. 设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知，则山的高度MN为（ ） A. B. 150m C. D. 7. 双曲线与抛物线有一个公共焦点，双曲线上过点且垂直实轴的弦长为，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足，，则的个位数字为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题的4个选项中至少有两个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上） 9. 下列四个命题中为真命题的是（ ） A. 已知，且，则 B. 二项式的展开式中的常数项是45 C. 若随机变量A，B满足：，，则A，B相互独立 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 10. 下列四个结论，其中正确的为（ ） A. 动点P到点，的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是双曲线 B. 过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有3条 C. 双曲线与双曲线有相同的渐近线 D. 点在圆内 11. 如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，是的中点，点满足，其中，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 不存在点使得 C. 若四棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 D. 若，过点的平面与线段交于点，则 三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分，请将你认为正确的答案填在答题卡上） 12. 将分别写有2，0，2，6的四张卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数有______．（用数字作答） 13. 已知随机事件 ． 若 ，则 _____ 14. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____． 四、解答题（本大题共5小题，共计77分） 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且. （1）求； （2）若，，设为的角平分线，求的长. （3）若，且的面积为，求的周长. 16. 交通强国，铁路先行，每年我国铁路部门都会根据运输需求进行铁路调图，一铁路线l上有自东向西依次编号为1，2，…，21的21个车站． （1）为调查乘客对调图的满意度，在编号为10和11两个站点多次乘坐列车的旅客中，随机抽取100名旅客，得出数据（不完整）如下表所示： 车站编号 满意 不满意 合计 10 35 50 11 30 合计 55 完善表格数据并计算分析：依据小概率值的独立性检验，在这两个车站中，能否认为旅客满意程度与车站编号有关联？ （2）根据以往调图经验，列车在编号为8至14的终到站每次调图时有的概率改为当前终到站的西侧一站，有的概率改为当前终到站的东侧一站，每次调图之间相互独立．已知原定终到站编号为11的列车经历了3次调图，第3次调图后的终到站编号记为，求的分布列及均值． 附，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，M是的中点，N是上的一点． （1）证明：平面平面； （2）求点M到平面的距离； （3）若异面直线和所成角的余弦值为，求二面角的正弦值． 18. 已知函数. （1）证明：当时，恒成立； （2）求函数的单调区间； （3）设数列，的前项和为，证明：. 19. 已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）. （1）求椭圆的离心率； （2）已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离； （3）求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $