函数极值讲义-2026届高三数学一轮复习（新高考）

全国新高考数学核心考点解读----函数极值 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，利用导数求函数极值问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，其中2022年全国Ⅰ卷考了2个题目，2023、2024、2025全国Ⅱ卷都考了2个题，小题难度以中档或中档为主，解答题就综合性比较强了.说明函数极值问题在高中数学中的无可动摇的核心地位，是命题专家的最爱，甚至有一份高考卷无极值不欢的地步，因为导数本来就是研究函数性质的工具.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 2021年 第15题 2022年 第8题和第10题 第9题 2023年 第11题 第11题和第22题第2小题 2024年 第10题 第11题和第16题第2小题 2025年 第19题第1小题 第10题和第13题和第18题 （二）．历年真题常考题型 题型一：求函数的极值或极值点和函数零点 题型二：判断极值点个数 题型三：求函数的最值 题型四：函数极值的综合应用 （三）备考建议 预计函数的切线问题在未来的全国卷中仍为核心考点，未来必定在每年的高考试题中继续大方光彩.基本出现在选择题和填空题或解答题第一小题中，难度以中等难度或中等偏难为主，大家务必要深刻理解函数的极值的本质和导数的作用是研究函数性质的工具性.只要功夫深，极值分数全拿来. 二．真题再现 题型一：求函数的极值或极值点 例1．（2025年新高考全国Ⅱ卷第13题）若是函数的极值点，则 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 例2．【多选】（2025年新高考全国Ⅱ卷第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 例3．（2024年新高考全国Ⅰ卷第10题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 例4．【多选】（2024年新高考全国Ⅱ卷第11题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 例5．【多选】（2023年新高考全国Ⅰ卷第10题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 题型二：判断极值点个数 例6．【多选】（2022年新高考全国Ⅰ卷第10题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 例7．【多选】（2022年新高考全国Ⅱ卷 第9题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 例8．【多选】（2023·新高考全国Ⅱ卷11题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 题型三：求函数的最值 例9．（2021年新高考全国Ⅰ卷第15题）函数的最小值为 . 【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值. 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 例10．（2022年新高考全国Ⅰ卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 例11. （2025年新高考全国Ⅰ卷第19题第1小题）（1）设函数,求在的最大值； 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 题型四：函数极值的综合应用 例12．（2024年新高考全国Ⅱ卷第16题）已知函数． (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【分析】 （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】 （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 例13．（2025年2024年新高考全国Ⅱ卷第19题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 3． 专项训练 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 2．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值. 【详解】， 所以在区间和上，即单调递增； 在区间上，即单调递减， 又，，， 所以在区间上的最小值为，最大值为. 故选：D 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【分析】 先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项. 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答. 4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解； 法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全国新高考数学核心考点解读----函数极值 一．考点解读 （一）．历年真题考查情况：从2020年至2025年的新高考全国Ⅰ卷和Ⅱ卷来看，利用导数求函数极值问题，全国Ⅰ卷6年中考了5年，全国Ⅱ卷6年中考了4年，其中2022年全国Ⅰ卷考了2个题目，2023、2024、2025全国Ⅱ卷都考了2个题，小题难度以中档或中档为主，解答题就综合性比较强了.说明函数极值问题在高中数学中的无可动摇的核心地位，是命题专家的最爱，甚至有一份高考卷无极值不欢的地步，因为导数本来就是研究函数性质的工具.具体试题分布情况如下表所示： 新高考全国Ⅰ卷 新高考全国Ⅱ卷 2020年 2021年 第15题 2022年 第8题和第10题 第9题 2023年 第11题 第11题和第22题第2小题 2024年 第10题 第11题和第16题第2小题 2025年 第19题第1小题 第10题和第13题和第18题 （二）．历年真题常考题型 题型一：求函数的极值或极值点和函数零点 题型二：判断极值点个数 题型三：求函数的最值 题型四：函数极值的综合应用 （三）备考建议 预计函数的切线问题在未来的全国卷中仍为核心考点，未来必定在每年的高考试题中继续大方光彩.基本出现在选择题和填空题或解答题第一小题中，难度以中等难度或中等偏难为主，大家务必要深刻理解函数的极值的本质和导数的作用是研究函数性质的工具性.只要功夫深，极值分数全拿来. 二．真题再现 题型一：求函数的极值或极值点 例1．（2025年新高考全国Ⅱ卷第13题）若是函数的极值点，则 例2．【多选】（2025年新高考全国Ⅱ卷第10题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 例3．（2024年新高考全国Ⅰ卷第10题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 例4．【多选】（2024年新高考全国Ⅱ卷第11题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 例5．【多选】（2023年新高考全国Ⅰ卷第10题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 题型二：判断极值点个数 例6．【多选】（2022年新高考全国Ⅰ卷第10题）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 例7．【多选】（2022年新高考全国Ⅱ卷 第9题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 例8．【多选】（2023·新高考全国Ⅱ卷11题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 题型三：求函数的最值 例9．（2021年新高考全国Ⅰ卷第15题）函数的最小值为 . 例10．（2022年新高考全国Ⅰ卷第8题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例11. （2025年新高考全国Ⅰ卷第19题第1小题）（1）设函数,求在的最大值； 题型四：函数极值的综合应用 例12．（2024年新高考全国Ⅱ卷第16题）已知函数． (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 例13．（2025年2024年新高考全国Ⅱ卷第19题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数·证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 3． 专项训练 1．（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2022·全国乙卷·高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·全国乙卷·高考真题）设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·全国乙卷·高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$