13.1 三角形中的边角关系（五大知识点+巩固练习） 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

13.1 三角形中的边角关系 一、主要知识点 知识点1 三角形的认识 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 备注：（1）三角形的基本元素：三边（线段AB、线段BC、线段AC）、三内角（、、）、三个顶点（点A、点B、点C）。 （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义． 【例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A．B．C．D． 【例2】如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例3】如图，在△ABD中，∠A的对边是（　　） A．BF B．BE C．BD D．BC 知识点2 三角形的分类 (1)按角分类： (2)按边分类： 【例4】下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【例5】已知在△ABC中，∠A＝50°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 【例6】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 知识点3 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 备注：（1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 【例7】下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【例8】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　 　 ． 【例9】若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 知识点4 三角形内角和定理的应用 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【例10】一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【例11】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠CAE和∠ACF的平分线交于点D，则∠ADC 的度数为（　　） A．40° B．60° C．65° D．70° 【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　 　 度． 知识点5 与三角形有关的线段 （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 备注：三角形的高是线段；三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （2）三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 备注：三角形的中线是线段；三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 备注：三角形的角平分线是线段； 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心. 【例13】在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B．C．D． 【例14】如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 【例15】如图，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BE是∠ABC的平分线，则∠BEC的度数是（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 二、巩固练习 1.下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 3.如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 4.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 5.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A．B．C． D． 6.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 7.如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 8.如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝48cm2，则△DEF的面积等于（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 9.如图，共有 　 　 个三角形． 10.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　 　 度． 11.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 12.若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　 ． 13.过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 14.在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，请通过计算判断△ABC的形状． 15.如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为 　 　 ． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 16.分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 17.如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 18.如图，在长方形ABCD中，AD＝8，CD＝6，点E为AD边上的动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化． （1）写出△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜8）之间的关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 19.如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 是说明：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 20.如图1，在△ABC中，∠ABC＜∠ACB＜90°，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠ABC＝35°，∠ACB＝65°，求∠DAE的度数； （2）根据（1）的计算结果，猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系（直接写出结论）； （3）如图2，若∠ACB是钝角，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线，请说明（2）中猜想的结论仍然成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.1 三角形中的边角关系 一、主要知识点 知识点1 三角形的认识 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 备注：（1）三角形的基本元素：三边（线段AB、线段BC、线段AC）、三内角（、、）、三个顶点（点A、点B、点C）。 （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义． 【例1】如图中都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：三角形是由三条首尾相连的线段组成的图形． 故选：C． 【例2】如图，三角形的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：由所给图形可知， 图中三角形的个数为：1+2＝3． 故选：B． 【例3】如图，在△ABD中，∠A的对边是（　　） A．BF B．BE C．BD D．BC 【解答】解：∠A的对边是BD． 故选：C． 知识点2 三角形的分类 (1)按角分类： (2)按边分类： 【例4】下列说法正确的是（　　） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两边相等； ④三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． A．①② B．③④ C．①②③④ D．①②④ 【解答】解：①等腰三角形一定不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故①错误； ②三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故②错误； ③等腰三角形至少有两边相等，有两条边相等的三角形是等腰三角形，故③正确； ④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，故④正确． 综上，正确的有③④． 故选：B． 【例5】已知在△ABC中，∠A＝50°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．以上都有可能 【解答】解：在△ABC中，∠A＝50°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°， ∴△ABC的形状不确定， 故选：D． 【例6】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．动点P从点C出发，沿边CB，BA向点A运动．在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是（　　） A．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形 B．等腰三角形→直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 D．等腰直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形 【解答】解：在点P运动过程中，△PAC可能成为的特殊三角形依次是直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰直角三角形→直角三角形， 故选：C． 知识点3 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. 备注：（1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 【例7】下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【解答】解：根据三角形三边关系逐项分析判断如下： A、∵2+2＞3， ∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、∵2+3＝5， ∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、∵3+4＝7， ∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、∵4+5＜11， ∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 【例8】定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若△ABC是“倍长三角形”，有两条边的长分别为2和3，则第三条边的长为 　 　 ． 【解答】解：设三角形ABC中，第三条边AB＝x，AC＝2，BC＝3， 等腰△ABC是“倍长三角形”， ①当AB＝2AC，即x＝4， ∴△ABC三边分别是2，3，4，符合题意， ②当AC＝2BC，即x＝6， ∴△ABC三边分别是2，3，6， ∵2+3＜6， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ③当AC＝2AB＝2，即x＝1， ∴1+2＝3， ∴此时不能构成三角形，这种情况不存在； ④当BC＝2AB＝3，即x＝1.5， ∴△ABC三边分别是1.5，2，3，符合题意， 综上所述，第三条边的长为是4或1.5， 故答案为：1.5或4． 【例9】若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 知识点4 三角形内角和定理的应用 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 【例10】一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【例11】如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠CAE和∠ACF的平分线交于点D，则∠ADC 的度数为（　　） A．40° B．60° C．65° D．70° 【解答】解：由外角性质可知：∠CAE＝∠B+∠ACB，∠ACF＝∠B+∠BAC， ∵AD平分∠CAE，CD平分∠ACF， ∴，， ∴ ， 在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠B＝180°，∠B＝50°， ∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∴， 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣115°＝65°． 故选：C． 【例12】已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　 　 度． 【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， 则3x+4x+5x＝180°， 整理得，12x＝180°， 解得x＝15°， ∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°， ∴△ABC中最大角的度数为75°， 故答案为：75． 知识点5 与三角形有关的线段 （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言：如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 备注：三角形的高是线段；三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （2）三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 备注：三角形的中线是线段；三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；中线把三角形分成面积相等的两个三角形. （3）三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 备注：三角形的角平分线是线段； 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心. 【例13】在△ABC中，作BC边上的高，以下选项中正确的是（　　） A．B．C．D． 【解答】解：在△ABC中，作BC边上的高，作法正确的是： 故选：C． 【例14】如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2 【解答】解：∵点D，E分别为边BC，AD中点， ∴， ∴， ∵F是EC的中点， ， ∴， ∵△ABC的面积等于4cm2， ∴S△BEF＝1cm2， 即阴影部分的面积为1cm2， 故选：A． 【例15】如图，在△ABC中，已知∠BAC＝50°，∠C＝60°，AD是△ABC的高，BE是∠ABC的平分线，则∠BEC的度数是（　　） A．75° B．80° C．85° D．90° 【解答】解：∵∠BAC＝50°，∠C＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°． ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE∠ABC＝35°， ∴∠BEC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 故选：C． 二、巩固练习 1.下列说法正确的个数有（　　） ①三角形的角平分线、中线和高都在三角形内； ②直角三角形只有一条高； ③三角形的高至少有一条在三角形内； ④三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①钝角三角形的三条高两条在三角形外，故错误； ②直角三角形有三条高，故错误； ③三角形的高至少有一条在三角形内，故正确； ④三角形的高，角平分线及中线都是线段，故错误； 故选：A． 2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝40°．则∠2的度数为（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【解答】解：如图， ∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣40°﹣75°＝65°， 故选：C． 3.如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（　　） A．1cm B．4cm C．9cm D．12cm 【解答】解：如图，连接BD， 在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm， 在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm， 所以5cm＜BD＜11cm． 观察选项，只有选项C符合题意． 故选：C． 4.若一个三角形的三边长分别为2，x，7，化简|x﹣5|﹣2|x﹣12|的结果是（　　） A．﹣x+19 B．3x﹣29 C．﹣x+7 D．﹣x﹣29 【解答】解：∵一个三角形的三边长分别为2，x，7， ∴5＜x＜9， ∴|x﹣5|﹣2|x﹣12| ＝x﹣5+2x﹣24 ＝3x﹣29， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 5.下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　） A．B．C． D． 【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C． 故选：C． 6.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∴周长之差是AB+AD+BD﹣（AD+AC+CD）＝AB﹣AC＝7﹣5＝2． 故选：C． 7.如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【解答】解：根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断如下： A、AE不是中线， ∴， ∵，， ∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意； B、∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，该选项正确，不符合题意； C、∵AF是△ABC的高线， ∴∠AFC＝90°，该选项正确，不符合题意； D、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 8.如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝48cm2，则△DEF的面积等于（　　） A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2 【解答】解：由题知， ∵S△ABC＝48cm2，且点D是BC的中点， ∴（cm2）． ∵点E是AD的中点， ∴（cm2）． ∵点F为CE的中点， ∴（cm2）． 故选：B． 9.如图，共有 　 　 个三角形． 【解答】解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个． 故答案为：6． 10.已知△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么△ABC中最大的角为　 　 度． 【解答】解：由题意可设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x， 则3x+4x+5x＝180°， 整理得，12x＝180°， 解得x＝15°， ∴∠A＝3x＝3×15°＝45°，∠B＝4x＝4×15°＝60°，∠C＝5x＝5×15°＝75°， ∴△ABC中最大角的度数为75°， 故答案为：75． 11.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 12.若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足a﹣b＞b﹣c（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”，例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为7﹣5＞5﹣4，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 　　 （填序号）． ①13cm，18cm，9cm；②9cm，8cm，6cm． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为2x+2，16，2x﹣6，直接写出x的整数值为 　 　 ． 【解答】解：（1）∵18﹣13＝5，13﹣9＝4， ∴18﹣13＞13﹣9， ∴这个三角形为“不均衡三角形”； ∵9﹣8＝1，8﹣6＝2， ∴9﹣8＜8﹣6， ∴这个三角形不是“不均衡三角形”， 故答案为：①； （2）共分3种情况讨论： ①2x+2＞16＞2x﹣6， 解得：7＜x＜11， 2x+2﹣16＞16﹣（2x﹣6）， 解得：x＞9， ∴9＜x＜11， ∵x为整数， ∴x＝10， 当x＝10时，2x+2＝22，2x﹣6＝14， ∵16+14＞22， ∴能构成三角形； ②由题意得：16＞2x+2＞2x﹣6，且（2x+2）+（2x﹣6）＞16 16＞2x+2＞2x﹣6， 即：， 由①得：x＜7， 由②得：x＞5， ∴5＜x＜7 ∵三角形是“不均衡三角形”， ∴16﹣（2x+2）＞2x+2﹣（2x﹣6）， 解得：x＜3， ∴不存在这样的数； ③2x﹣6＞16时， 解得：x＞11， 2x+2﹣（2x﹣6）＞2x﹣6﹣16， 解得：x＜15， ∴11＜x＜15， ∵x为整数， ∴x＝12或13或14， 当x＝12时，2x+2＝26，2x﹣6＝18， ∵18+16＞26， ∴能构成三角形； 当x＝13时，2x+2＝28，2x﹣6＝20， ∵20+16＞28， ∴能构成三角形； 当x＝14时，2x+2＝30，2x﹣6＝22， ∵22+16＞30， ∴能构成三角形， 综上可知：x的整数值为10或12或13或14， 故答案为：10或12或13或14． 13.过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 【解答】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个； （2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个． 故答案为：（1）3，（2）6． 14.在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，请通过计算判断△ABC的形状． 【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C（已知）， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴2∠C+∠C+∠C＝180°（等量代换）， 即4∠C＝180°， 解得∠C＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°，∠A ＝2∠C＝2×45°＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 15.如果一个三角形的一边长为5cm，另一边长为2cm，若第三边长为x cm． （1）第三边x的范围为 　 　 ． （2）当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【解答】解：（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 x＜5+2． 即x＜7． 根据三角形两边的差小于第三边，则 5﹣2＜x． 即3＜x． 综上所述 3＜x＜7． 故答案为：3＜x＜7． （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为5cm． ∴三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）． ∵两条边的长为5cm，另外一条边的长为2cm， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 16.分别在第（1）、（2）、（3）图中，画出△ABC的一条中线，一条角平分线和一条高，并用文字指出你所画的中线、角平分线和高． 【解答】解：如图AD为中线，AE为角平分线，AF为高 17.如图，在△ABC中，AD是中线，AB＝10cm，AC＝6cm． （1）△ABD与△ACD的周长差为 　 　 cm． （2）点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长． 【解答】解：（1）∵AD是中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差即AB与AC的差， ∵AB﹣AC＝4（cm）， ∴△ABD的周长△ACD的周长的差为4cm， 故答案为：4； （2）①折线BE+BD比折线AE+AC+CD大2cm时， 即BE﹣（AE+AC）＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝1cm， ②折线AE+AC+CD比折线BE+BD大2cm时， 即AE+AC﹣BE＝2cm， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴AE＝3cm， 综上，线段AE的长为1cm或3cm． 18.如图，在长方形ABCD中，AD＝8，CD＝6，点E为AD边上的动点，连接CE，随着点E的运动，△DCE的面积也发生变化． （1）写出△DCE的面积y与AE的长x（0＜x＜8）之间的关系式； （2）当x＝2时，求y的值． 【解答】解：（1）∵AD＝8，AE＝x， ∴DE＝AD﹣AE＝8﹣x， ∵CE＝6， ∴S△DCECD•DE6（8﹣x）＝24﹣3x， ∴y与x之间的关系式为y＝24﹣3x（0＜x＜8）． （2）当x＝2时，y＝24﹣3×2＝18． 19.如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 是说明：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【解答】解：延长AP交BC于D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 20.如图1，在△ABC中，∠ABC＜∠ACB＜90°，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线． （1）若∠ABC＝35°，∠ACB＝65°，求∠DAE的度数； （2）根据（1）的计算结果，猜想∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系（直接写出结论）； （3）如图2，若∠ACB是钝角，AD是BC边上的高线，AE是∠BAC的平分线，请说明（2）中猜想的结论仍然成立． 【解答】解：（1）在△ABC中，已知∠ABC＝35°，∠ACB＝65°，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴． ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ADC＝90°， 在△ADC中， ∴∠DAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣65°＝25°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝40°﹣25°＝15°， 即∠DAE的度数为15°； （2）猜想：，证明如下： ∵，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB， ∴， 即∠DAE与∠ABC和∠ACB之间的等量关系为； （3）当∠ACB是钝角时，上述猜想成立， 设∠ABC＝α，∠ACB＝β（β＞90°）． 根据三角形内角和定理，∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴， ∵AD是BC边上的高线， ∴∠ACD＝180°﹣β， 在△ADC中，∠DAC＝90°﹣（180°﹣β）＝β﹣90°， ， 所以当∠ACB是钝角时，上述猜想仍然成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$