第06讲 平方根 （知识清单+10大题型+好题必刷）（讲义）-2025-2026学年八年级数学上册满分全攻略备课系列（苏科版2024）

第06讲 平方根 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 估计算术平方根的取值范围 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 题型五 算术平方根的实际应用 题型六 平方根概念理解 题型七 求一个数的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 利用平方根解方程 题型十 平方根的应用 知识清单 知识点1．算术平方根 1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． 2.非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点2．平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 3．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 题型方法 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解答本题的关键． 根据算术平方根的性质可以运算得到正确答案． 【详解】解：，． 故选：C． 1．（24-25·江苏连云港·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B．9 C． D．3 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题考查算术平方根计算．根据题意先将根式中计算出来，再开根号即可得到本题答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根．根据算术平方根的定义即可得． 【详解】解：， 的算术平方根是， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【答案】(1)不是 (2)证明见解析，， (3)a的值为或． 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】此题考查了新定义问题，算术平方根等知识，解题的关键是理解并掌握新定义的运算法则． （1）根据“和谐组合”的定义，分别求解算术平方根进行判断即可； （2）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可； （3）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∵，不是整数， ∴3，12，32不是“和谐组合”； （2）证明：∵，， ∴2，18，8这三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （3）解：分三种情况：①当时，得：（舍去）， ②当时，，得：，经检验符合题意， ③当时，．得：，经检验符合题意． 综上所述，a的值为或． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例2】已知=0，求 x+y的值（      ） A．-1 B．-3 C．1 D．3 【答案】C 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵=0， ∴x-2=0，y+1=0， ∴x=2，y=-1， ∴x+y=2-1=1， 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 【答案】A 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了非负数的性质．根据二次根式以及平方具有非负性可知：，，又因为，所以可以求出，，代入到中即可解答． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， 则，， ∴． 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）若，则 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0；根据非负数的性质，可求出、的值，再代值计算即可求解． 【详解】解：∵， 故答案为：． 3．已知和互为相反数，且，求的值． 【答案】2 【知识点】利用算术平方根的非负性解题 【分析】根据非负数的性质求出x、y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴+=0， ∵两个非负数互为相反数则只能均为0， ∴－1＝0，1－2＝0， ∴＝1， ∴＝2． 【点睛】】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例3】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】本题考查了估算无理数的大小，利用了算术平方根与被开方数的关系． 根据算术平方根越大被开方数越大，可得答案． 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 【举一反三】 1．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】一个正方形的面积为29，那么它的边长为，可用“夹逼法”估计的近似值，从而解决问题． 【详解】解：∵正方形的面积为29， ∴它的边长为， 而＜＜， 5＜＜6． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，解决本题的关键是得到最接近无理数的有理数的值．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 2．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】答案不唯一，如：1 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】先对进行估值，在找出范围中的整数即可． 【详解】解：∵1<<2 ∴-2<x<2,(x为整数) 故答案为：-1,0,1（答案不唯一） 【点睛】本题考查算术平方根的估值．理解算术平方根的定义是关键． 3．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【答案】． 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围、求算术平方根的整数部分和小数部分 【详解】试题分析：先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可． 试题解析：因为4＜6＜9，所以2＜＜3， 即的整数部分是2， 所以2+的整数部分是4，小数部分是2+-4=-2， 即x=4，y=-2，所以=． 考点：1．估算无理数的大小；2．算术平方根． 【题型四】与算术平方根有关的规律探索题 【例4】．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了二次根式的运算，由即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】此题考查了算术平方根与数字的变化规律．先分别求出①②③④的结果，发现的规律，据此求解即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④， …… ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数列中数的符号及分子和分母的变化规律即可求解，解题的关键是将转化为再总结规律． 【详解】解：，…，可转化为，…， 观察可得数列中的分式符号按负，负，正，循环出现， ， 第2023个数是负数， 观察数列的分子，，，，…，即，，，…， 可得规律：第个数的分子是， 观察数列的分母2，4，8，16，…，即，，，，…， 可得规律：第个数的分母是， 第2023个数是， 故答案为：． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： (1)，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． (2)已知，，则_____；______． 【答案】(1)两；右；一 (2)； 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律型题目，观察题目，总结规律是解题的关键． （1）从数字找规律，即可解答； （2）利用（1）的规律进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位． 故答案为：两；右；一； （2）已知，，则；； 故答案为：12.25；0.3873． 【题型五】算术平方根的实际应用 【例5】（24-25八年级上·江苏南京·期中）一个数的算术平方根是，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查算术平方根的定义，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，根据算术平方根的定义即可求出这个数． 【详解】解：一个数的算术平方根是， 这个数 故选： 【举一反三】 1．（2024·江苏南京·三模）已知，则下列符合条件的的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义求出的取值范围即可求解，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．（22-23八年级上·江苏常州·期中）两个正方形的面积分别为、，则这两个正方形边长的和是 cm． 【答案】 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】直接根据算术平方根求出两个正方形的边长，再求和即可． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为、， ∴这两个正方形边长分别是：，， ∴这两个正方形边长的和是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【答案】(1)，，这三个数是“完美组合数”，见解析 (2) 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】本题考查了算术平方根，理解“完美组合数”的定义是解此题的关键． （1）按照已知条件中的方法，分别求出两辆乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：，，这三个数是“完美组合数”， 理由如下：，，，且6，3，2都是整数， ∴，，这三个数是“完美组合数”； （2）解：其中有两个数乘积的算术平方根为24， 这两个数的乘积为576， 当时，则， ， ， ，， 此时符合题意； 当时，则不符合题意； ． 【题型六】平方根概念理解 【例6】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据平方根的性质：一个正数的平方根的平方等于这个数；一个正（负）数的平方的正平方根等于这个数（这个数的相反数）．一一进行计算与判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平方根的性质，熟练掌握并运用平方根的性质是解答此题的关键． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若是a的平方根，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据平方根的定义，即可解答． 【详解】解：是a的平方根，则，即， 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 2．如果一个正数的两个平方根分别为3m+4和2﹣m，则这个数是 ． 【答案】25． 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出m，再求出3m+4，然后平方计算即可得解． 【详解】解：根据题意知3m+4+2﹣m＝0， 解得：m＝﹣3， 所以这个数为（3m+4）2＝（﹣5）2＝25， 故答案为25． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．解题的关键是明确一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 3．已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值． 【答案】10 【知识点】平方根概念理解 【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a与b的值，然后代入3a+b即可． 【详解】解：∵10﹣3a的平方根是±1， ∴， 解得，a＝3， ∵a﹣b+2的算术平方根是 2， ∴， 解得，b＝1， ∴． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键． 【题型七】求一个数的平方根 【例7】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根 【分析】此题主要考查了平方根的定义“如果一个数的平方等于给定的数，那么这个数就被称为给定数的平方根”，掌握了以上知识是解题的关键； 本题根据平方根的定义和性质，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴的平方根是； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义解答即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∴的平方根是， 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义：如果，那么叫做的平方根，，根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．已知，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】根据非负数的性质求出，进而求出，根据平方根的概念解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 则， ∴， ∵9的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查的是非负数的性质、平方根的概念，根据二次根式的被开方数是非负数求出x是解题的关键． 【题型八】已知一个数的平方根，求这个数 【例8】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根，的平方根等于，因此，由此可解． 【详解】解：， 故选C． 【举一反三】 1．已知a的平方根是，则a的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据平方根的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平方根的定义，如果一个数的平方等于a，那么这个数就是a的平方根． 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 【答案】4 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根的性质，根据正数的平方根互为相反数求出x值是解题的关键． 由正数的平方根互为相反数，可得，即可求得x的值，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ∴ 解得：， ∴ ∴这个正数是． 故答案为：4． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和是某个正数的平方根，求实数和的值． 【答案】， 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查的是平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数．利用正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得：， ∴， ∴． 【题型九】利用平方根解方程 【例9】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根解方程，掌握平方根的定义是解题关键．直接根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．先根据得出，再根据平方根定义求出x的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习），求x的值． 【答案】 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查利用平方根的定义解方程，将方程变形为，再利用平方根的定义求解即可． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解：； ， ， （2）解： 或 解得：或． 【题型十】平方根的应用 【例10】如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平方根的应用 【分析】设该木板边长为，根据题意可得，根据x为正数，得出x的值． 【详解】解：设该木板边长为， 根据题意可得， ∵， ∴， ∵x为正数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平方根的实际应用，解题的关键是根据题意列出方程求解． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 【答案】1 【知识点】平方根的应用 【分析】利用平方根的定义即可求得答案；本题考查平方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】与为一个非负数的两个平方根 ， 解得：, 故答案为：1． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个正数的两个平方根为和，则的值为 ． 【答案】 【知识点】平方根的应用 【分析】因为一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数的关系，列出方程求得的值，进而求得的值，代入代数式即可求解． 【详解】解：， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方根的应用，掌握一个正数的平方根有两个,它们是互为相反数是解题的关键． 3．已知2a－1的算术平方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是的整数部分，求a＋2b－c的平方根. 【答案】± 【知识点】平方根的应用 【分析】先依据算术平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b-c的值，最后求它的平方根即可． 【详解】∵2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的算术平方根是4， ∴， ∴a=5，b=2． ∵9＜13＜16， ∴3＜＜4． ∴c=3． ∴a+2b-c=6． ∴a+2b-c的平方根是±． 【点睛】本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．式子表示（    ） A．的算术平方根B．的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 【答案】D 【分析】根据实数的运算顺序，先算平方，再开方，由此即可求解． 【详解】解：， ∴表示的是的算术平方根， 故选：． 【点睛】本题主要考查平方，开方的运算顺序.掌握平方，开方的运算顺序，二次根式被开方数的特点是解题的关键． 2．估算的值应在( )｡ A．6.5~7.0之间 B．7.0~7.5之间 C．7.5~8.0之间 D．8.0~8.5之间 【答案】B 【分析】先把平方，再把选项中的数分别平方即可判断． 【详解】∵，，， ∴7.0<<7.5． 故选：B． 【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法． 3．实数0.618，，0，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据无理数的定义即可判定选择项． 【详解】解：实数0.618，，0，，中， 由无理数的定义可得：，4π，为无理数． 故选B． 【点睛】本题考查无理数的定义，要注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数． 4．的平方根是（   ） A． B． C．0.25 D． 【答案】D 【分析】本题考查求平方根，解题关键是掌握若平方根的定义∶若，那么x叫a的平方根，表示为． 根据，再由，即可求解． 【详解】解：∵ 又∵ ∴的平方根是 故选：D． 5．在下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对个选项进行化简，再由无理数的概念进行判断即可． 【详解】是有理数，故选项A不符合题意； 是有理数，故选项B不符合题意； 是有理数，故选项C不符合题意； 符合无理数的概念，故选项D符合题意；． 故选：D． 【点睛】此题考查的是算术平方根、立方根及无理数的概念，能够根据算术平方根的概念及立方根进行正确化简是解决此题关键． 6．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意得出，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 即， ∴， ∴或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根，根据题意列出方程结合平方根的意义求解是关键． 7．已知，，且，则的值为（     ） A．1或7 B．或7 C．1或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值及平方根，根据及平方根定义直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 故选：D． 8．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：∵4＜＜5，∴9＜5+＜10；，8＜＜9，∴10＜＜11，∴整数x=10．故选C． 点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根． 二、填空题 9．某品牌的计算器上有三个并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按2023下后，该计算器显示屏上显示的数是 ． 【答案】10 10． ． 【答案】9 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故答案为：9. 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫 a 的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根． 11．若x，y为实数，且，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据算术平方根及偶次方根的非负性列出二元一次方程组，利用加减消元法解方程求出x、y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得 故答案为：3． 【点睛】本题考查了非负数的性质：算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，熟练的利用非负数的性质建立方程是解题的关键． 12．13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ，m＝ ． 【答案】 －13 169 【分析】根据平方根的定义即可求解． 【详解】13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是-13，m＝132=169 故答案为：-13；169． 【点睛】此题主要考查平方根的性质，解题的关键是熟知平方根的定义与特点． 13．方程的解是 ． 【答案】1 【详解】分析：利用方程两边平方去根号后求解． 详解：两边平方得，， 移项得：． 当时，． 故本题答案为：． 点睛：在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法． 14．若的值是0，则（y﹣2）2021＝ ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义得到，代入代数式根据求解即可得到结论． 【详解】解：的值是0， ，得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及到算术平方根的定义和，熟练掌握相关定义是解决问题的关键． 15．5-2x的平方根是±,x的值是 . 【答案】1 【分析】根据题意求出5－2x的值，再进行计算. 【详解】∵5－2x的平方根是± ∴5－2x＝3 ∴x＝1. 【点睛】本题考查的是平方根，熟练掌握平方根是解题的关键. 16．如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，则这个正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理，可得答案． 【详解】解：如图， 方法一：S阴影正方形=S大正方形-4S△ABC=16-2=10 所以阴影正方形的边长为 方法二：由勾股定理，得 AB=. 故答案为. 【点睛】本题考查了算术平方根，利用开方运算求算术平方根，注意一个正数只有一个算术平方根． 三、解答题 17．求下列各数的平方根： (1)144； (2)12； (3)0.0625； (4)(－2)2. 【答案】（1）±12；（2）；（3）±0.25；（4）±2 【分析】根据平方根的定义和被开方数的非负性即可求出． 【详解】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 解：(1)因为(±12)2＝144，所以144的平方根为±12，即±＝±12. (2)12＝，因为(±)2＝，所以12的平方根是±，即±＝±. (3)因为(±0.25)2＝0.0625， 所以0.0625的平方根是±0.25， 即±＝±0.25. (4)因为(±2)2＝(－2)2＝4，所以(－2)2的平方根是±2，即±(－2)2＝±2． 【点睛】本题主要考查了开平方计算，准确记住开平方的方法和被开方数的非负性是解题关键． 18．求下列各数的算术平方根． (1)225； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15 (2) (3)5 (4) 【分析】（1）先把225写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （2）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （3）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； （4）先把写成一个非负数的平方，再根据算术平方根的含义可得答案； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 【点睛】本题考查的是求解一个非负数的算术平方根，把非负数写成一个非负数的平方再结合算术平方根的含义解本题是关键． 19．求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）1.1；（2）；（3）-19． 【分析】（1）根据算术平方根的概念，求出的值即可； （2）根据算术平方根的概念，求出的值即可； （3）根据算术平方根的概念，求出的值即可. 【详解】解：（1）； （2）； （3）． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的平方根有两个，它们为相反数，其中正的平方根，就是这个数的算术平方根．0的算术平方根是0；负数没有平方根． 20．推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 【答案】(1)，，，，，，对于任意负数，； (2)． 【分析】（）根据算术平方根的定义即可求解； （）根据（）中即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，熟记概念，性质并准确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，， 对于任意负数，； （2）解：由（）可知，的算术平方根为． 21．已知，求的算术平方根． 【答案】． 【分析】根据算术平方根的定义可得解不等式组，求出a,b，代入求值即可． 【详解】解：根据题意，得 则， ∴＝2， ∴， ∴的算术平方根为． 【点睛】本题考核知识点：算术平方根，解不等式组．理解算术平方根定义和解不等式组方法是关键． 22．（1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值． （2）已知和︱8b－3︱互为相反数，求()2－27 的平方根. 【答案】(1)9;(2)± 【详解】试题分析：根据平方根的定义列式求出的值，再根据算术平方根的定义列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 利用非负性列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 试题解析：（1）∵2a−1的平方根是±3， ∴2a−1=9， ∴a=5， ∵3a+b−1的算术平方根是4， ∴3a+b−1=16， ∴3×5+b−1=16， ∴b=2， ∴a+2b=5+2×2=9. (2)由题意有：+|8b−3|=0. ∴1−3a=0，8b−3=0, ∴, 的平方根是 23．小玉想用一张面积为的正方形纸片沿着边的方向裁出一张面积为的长方形纸片，使它的长、宽之比为，但不知是否能裁出来．小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片．”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？ 【答案】不同意小芳的观点，小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片 【分析】根据算术平方根的概念求出正方形的边长，根据长方形纸片的面积求出边长，计算比较得到结论． 【详解】解：不同意小芳的观点． 设长方形纸片的长为，宽为，由题意得 ， ， ， ． ， ， ． 由正方形的面积为，可知其边长为30cm． ， 小玉不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的概念，正确运用算术平方根的概念求出正方形的边长是解本题的关键． 24．(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 (2)由上表你发现了什么规律？请用文字语言叙述你发现的这一规律； (3)根据你发现的规律填空. ①已知，，那么 ______， ______， ______，______； ②若，则 ______.若，则 ______. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①14.14， 44.72，0.4472，0.1414；②20000 ，0.002 【分析】（1）利用算术平方根定义计算，填写即可； （2）找出得到的规律，用语言叙述即可． （3）利用（2）中发现的规律进而分别得出各数据答案． 【详解】解：（1）填表如下： （2）规律为：a的小数点向左（或向右）移到两位，算术平方根小数点向左（或向右）移到一位． (3)①14.14  44.72  0.4472  0.1414  ②20000  0.002 【点睛】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的算术平方根的小数点之间的互换关系, 熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平方根 （知识清单+10大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 求一个数的算术平方根 题型二 利用算术平方根的非负性解题 题型三 估计算术平方根的取值范围 题型四 与算术平方根有关的规律探索题 题型五 算术平方根的实际应用 题型六 平方根概念理解 题型七 求一个数的平方根 题型八 已知一个数的平方根，求这个数 题型九 利用平方根解方程 题型十 平方根的应用 知识清单 知识点1．算术平方根 1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． 2.非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． 3.求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 知识点2．平方根 1.定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 3．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 题型方法 【题型一】求一个数的算术平方根 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）下列各式中，正确的是（   ） A． B．3 C． D． 【举一反三】 1．（24-25·江苏连云港·阶段练习）化简的结果是（    ） A． B．9 C． D．3 2．的算术平方根是 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请直接判断3，12，16是不是“和谐组合”，_________； (2)请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (3)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． 【题型二】利用算术平方根的非负性解题 【例2】已知=0，求 x+y的值（      ） A．-1 B．-3 C．1 D．3 【举一反三】 1．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．4 B．8 C． D．2 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）若，则 3．已知和互为相反数，且，求的值． 【题型三】估计算术平方根的取值范围 【例3】（2024·江苏扬州·一模）估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【举一反三】 1．一个正方形的面积为29，则它的边长应在（    ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 2．写出一个比大且比小的整数 ． 3．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【题型四】与算术平方根有关的规律探索题 【例4】．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期中）计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律计算：（   ） A． B．1275 C．1326 D．1378 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）有一列数按如下顺序排列：，…，则第2023个数是 ． 3．（2023八年级上·江苏·专题练习）观察下列各式，并用所得出的规律解决问题： (1)，，，…… ，，，…… 由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位． (2)已知，，则_____；______． 【题型五】算术平方根的实际应用 【例5】（24-25八年级上·江苏南京·期中）一个数的算术平方根是，则这个数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2024·江苏南京·三模）已知，则下列符合条件的的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏常州·期中）两个正方形的面积分别为、，则这两个正方形边长的和是 cm． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”． (1)，，这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求的值． 【题型六】平方根概念理解 【例6】（22-23八年级上·江苏苏州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）若是a的平方根，则（　　） A． B． C． D． 2．如果一个正数的两个平方根分别为3m+4和2﹣m，则这个数是 ． 3．已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值． 【题型七】求一个数的平方根 【例7】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）的平方根是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）的平方根是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）若，则 ． 3．已知，求的平方根． 【题型八】已知一个数的平方根，求这个数 【例8】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）若，则（  ） A．2 B． C．4 D． 【举一反三】 1．（2023八年级上·全国·专题练习）已知a的平方根是，则a的值是（　　） A． B．3 C． D．9 2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）一个正数的两个平方根分别是与，则这个正数是 ． 3．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知和是某个正数的平方根，求实数和的值． 【题型九】利用平方根解方程 【例9】（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）若，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D． 【举一反三】 1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）若，则 ． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习），求x的值． 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）解方程： (1)； (2) 【题型十】平方根的应用 【例10】如果一个正方形木板的面积为，那么该木板的边长为（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如果与为一个非负数的两个平方根，则 ． 2．（22-23八年级上·江苏宿迁·阶段练习）一个正数的两个平方根为和，则的值为 ． 3．已知2a－1的算术平方根是3，3a＋b－1的算术平方根是4，c是的整数部分，求a＋2b－c的平方根. 好题必刷 一、单选题 1．式子表示（    ） A．的算术平方根B．的算术平方根 C．的平方根 D．的算术平方根 2．估算的值应在( )｡ A．6.5~7.0之间 B．7.0~7.5之间 C．7.5~8.0之间 D．8.0~8.5之间 3．实数0.618，，0，，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．的平方根是（   ） A． B． C．0.25 D． 5．在下列各数中，无理数是（　　） A． B． C． D． 6．如果一个比m小2的数的平方等于，那么m等于（　　） A． B． C． D．或 7．已知，，且，则的值为（     ） A．1或7 B．或7 C．1或 D．或 8．若整数x满足5+≤x≤，则x的值是（  ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 9．某品牌的计算器上有三个并列的按键，是算术平方根按键；是倒数按键；是平方按键．计算器显示屏上现在显示100这个数字，小敏第一下按，第二下按，第三下按，之后以的顺序轮流按，当他共按2023下后，该计算器显示屏上显示的数是 ． 10． ． 11．若x，y为实数，且，则的值为 ． 12．13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是 ，m＝ ． 13．方程的解是 ． 14．若的值是0，则（y﹣2）2021＝ ． 15．5-2x的平方根是±,x的值是 . 16．如图，在的方格图中，每个小正方形的边长都为图中阴影是个正方形，顶点均在格点上，则这个正方形的边长是 ． 三、解答题 17．求下列各数的平方根： (1)144； (2)12； (3)0.0625； (4)(－2)2. 18．求下列各数的算术平方根． (1)225； (2)； (3)； (4)． 19．求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 20．推理能力 (1)求，，，，，的值，对于任意负数，等于多少？ (2)根据上面发现的规律，求的算术平方根． 21．已知，求的算术平方根． 22．（1）已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的算术平方根是4，求a＋2b的值． （2）已知和︱8b－3︱互为相反数，求()2－27 的平方根. 23．小玉想用一张面积为的正方形纸片沿着边的方向裁出一张面积为的长方形纸片，使它的长、宽之比为，但不知是否能裁出来．小芳看见了说：“很明显，一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片．”你同意小芳的观点吗？小玉能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？ 24．(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 1000000 (2)由上表你发现了什么规律？请用文字语言叙述你发现的这一规律； (3)根据你发现的规律填空. ①已知，，那么 ______， ______， ______，______； ②若，则 ______.若，则 ______. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$