14.3 角的平分线 课后同步作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 角的平分线的性质 (一) 基础过关 1.如图,已知点 P,D,E分别在OC,OA,OB上,有下列推理: ①∵OC平分∠AOB,∴PD=PE; ②∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE; ③∵PD⊥OA,PE⊥OB,∴PD=PE. 其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABc=9,DE=2,AB=5,则AC的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO : S△BCO : S△CAO等于 ( ) A.1: 1: 1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 4.如图，在△ABC中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，BC于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于 DE的长为半径作弧,两弧交于点 F;作射线CF交AB 于点G.若AC=9,BC=6,△BCG的面积为8,则△ACG的面积为 . 5.如图,∠B=∠C=90°,E为BC上一点,AE平分∠BAD,DE平分∠CDA. (1)求∠AED的度数;(2)求证:E是BC 的中点. 能力提升 6.如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,作BD⊥AD于点D,△ABC的面积为8，则△ACD的面积为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,△ABC的角平分线AD,BE 相交于点 P,过点 P作 PF⊥AD交BC 的延长线于点F,交AC于点H,则下列结论:①∠APB=135°;②PF=PA;③AH+BD=AB 其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.如图,B,C,E三点在同一条直线上,CD平分∠ACE,DB=DA,DM⊥BE于点M,若AC=2, 则CM的长为 . 9.如图，铁路OA和铁路OB 交于O处，河道AB与两条铁路分别交于A 处和B处，试在河道AB上修建一座水厂M，要求水厂M到铁路OA，OB的距离相等，问水厂M应建在什么位置? 10.如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC+∠B=180°. 求证:BC=DC. 拓展延伸 11.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD. (1)如图①，当D是BC边的中点时，S△ABD : S△ACD= ; (2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m,AC=n,求S△ABD : S△ACD的值；(用含m，n的式子表示) (3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△EDE =6,那么S△ABC== . 角的平分线的性质 (二) 基础过关 1.已知△ABC，两个完全一样的三角板如图方式摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应直角边所对的顶点重合于点M，点M一定在 ( ) A.∠A 的平分线上 B. AC边的高上 C. BC边的垂直平分线上 D. AB边的中线上 2.如图,在△ABC中,O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 ( ) A.125° B.135° C.55° D.35° 3.如图,PC⊥OA 于点C,PD⊥OB于点D,PC=PD,Q是OP 上一点,QE⊥OA 于点E,QF⊥OB于点F.求证:QE=QF. 能力提升 4.如图,在△ABC中,P,O分别是BC,AC上的点,作 PR⊥AB,PS⊥AC,垂足分别是R,S,若 PO,PR=PS,有三个结论:①AS=AR,②OP∥AR,③△BRP≌△CSP,其中正确的是 ( ) A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 5.如图,△ABC中,∠ABC=48°,∠ACB=84°,点D,E分别在BA,BC的延长线上,BP平分∠ABC,CP平分∠ACE,连接AP,则∠PAC的度数为 . 6.如图,已知EF⊥CD,EF⊥AB,MN⊥AC,M是EF的中点,只需添加 ,就可使CM,AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线. 7.在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点 D, ,垂足分别为E,F,连接EF,AD与EF交于点O,则AD与EF 的关系是 . 8.如图,DE⊥AB,交AB的延长线于点E, 于点F，且 ,求证:AD是∠BAC的平分线. 9.如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP 与内角 的平分线BP 交于点P，连接AP. (1)延长 BA 至点E,求证:AP平分∠CAE; (2)若∠BPC=40°,求∠CAP 的度数. 拓展延伸 10.如图,AB=AC,AD=AE,∠CAB=∠EAD,F为BD 和CE 的交点. (1)求证:BD=CE; (2)连接AF,求证:FA平分∠BFE. 模型积累 【模型1】作单垂线 【条件】AD平分 ,作 DE⊥AB. 【结论】(1)DE=DC; (2)△ADE≌△ADC. 【模型2】作双垂线 【条件】AD平分∠BAC,作 DE⊥AB,DF⊥AC. 【结论】(1)DE=DF;(2)△ADE≌△ADF; 作业12 角的平分线的性质(一) 1. B 2. C 3. C 4.12 5.(1)解:∵∠B=∠C=90°,∴DC∥AB, ∴∠BAD+∠CDA=180°. ∵AE平分∠BAD,DE平分∠CDA, (2)证明:过点 E作EF⊥AD 于点F,如答图. ∵AE平分∠BAD,∠B=90°,EF⊥AD,∴EF=EB. ∵DE平分∠CDA,∠C=90°,EF⊥AD,∴EF=EC. ∴EB=EC,即E是BC的中点. 6. B 7. C 8. 9.解:如答图,作∠AOB 的平分线OM,交AB于点M,M为水厂位置. 10.证明:如答图,过点 C作CE⊥AB,垂足为 E,作 CF⊥AD，交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠DAB,∴CE=CF. ∵∠ADC+∠B=180°,∠ADC+∠CDF=180°, ∴∠B=∠CDF.又∵∠CEB=∠CFD=90°, ∴△CEB≌△CFD.∴BC=DC. 11.(1)1:1 (2)解:如答图,过点 D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. ∵AD为∠BAC的平分线,∴DE=DF. ∵AB=m,AC=n, (3)9 作业13 角的平分线的性质(二) 1. A 2. A 3.证明:∵PC⊥OA,PD⊥OB,PC=PD, ∴∠AOP=∠BOP. ∵QE⊥OA,QF⊥OB,∴QE=QF. 4. C 5.66° 6. ME=MN(答案不唯一) 7. AD垂直平分EF 8.证明:∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°. 在 Rt△BDE和Rt△CDF中, ∴Rt△BDE≌Rt△CDF,∴DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线. 9.(1)证明:如答图,过点 P作PN⊥BD 于点N,PM⊥BE于点M,PF⊥AC于点F. ∵∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP 交于点 P, ∴PM=PN,PN=PF,∴PM=PF,而PA=PA, ∴Rt△AMP≌Rt△AFP(HL),∴∠PAE=∠PAF, ∴AP平分∠CAE. (2)解:设∠ABC=2α,∠ACD=2β. ∵∠ACD的平分线CP与∠ABC的平分线BP 交于点 P, ∴β=α+∠BPC,而 10.证明:(1)∵∠CAB=∠EAD, ∴∠CAB+∠DAC=∠EAD+∠DAC, ∴∠DAB=∠EAC. 又∵AB=AC,AD=AE, ∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE. (2)过点A作AN⊥EC于点N,过点 A 作AM⊥BD于点M，如答图， 由(1)已证明△DAB≌△EAC,BD=CE, ∴ ·DB·AM= ·EC·AN,∴AM=AN. 在Rt△ANF和Rt△AMF中 ∴Rt△ANF≌Rt△AMF(HL),∴∠AFN=∠AFM, ∴FA平分∠BFE. 学科网（北京）股份有限公司 $$