专题16：一元二次方程根与系数的关系（3大知识点+8大题型+真题检验） 2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册暑假班预修提升课程

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题16 一元二次方程根与系数的关系 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型01：不解方程求两根之和与两根之积 【例1】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0；（2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【例2】设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 2.若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3.设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列选项正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C． D．x1x2＝1 题型02： 不解方程判定方程根的情况 【例3】已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【跟踪训练】 1．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 2．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 3．关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 题型03：已知方程的一个根求另一根 【例4】关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（   ） A． B． C． D． 【例5】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【跟踪训练】 1．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 2.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 3.若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（    ） A． B． C． D．2 题型04：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【例6】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 【例7】已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【跟踪训练】 1．若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 2．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6 3．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 4．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 5．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 6.若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 题型05：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例8】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 2.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 4.设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 5.设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 6.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 题型06：构造一元二次方程求代数式的值 【例9】已知实数，满足，且，则的值为 ． 【跟踪训练】 1.已知实数m，n满足，则 ． 2.非零实数a，b满足，，则的值是 ． 3.若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 题型07：由根与系数关系求方程字母系数 【例10】关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【例11】若、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 【例12】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【跟踪训练】 1.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2.已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 3.已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 题型08：判别式与韦达定理综合 【例13】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【例14】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 2.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 3.关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． (3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值． 题型09：阅读理解与新定义问题 【例15】定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 【例16】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【例17】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 一、选择题 1.若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 2.已知是方程的两个实数根，则的值（  ） A． B．1 C．0 D．2 3.若m，n为方程的两个实数根，则（  ） A． B． C．7.5 D．-1.8 4.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 二、填空题 5.若和是方程的两个根，则 ． 6.已知方程的两个根分别是，则= ． 7.一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ． 8.已知，且，则的值为 ． 9.关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 10.已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 11.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 12.已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 13.已知实数，满足，，则 ． 3、 解答题 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根． 15.已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 16.关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 17.定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题16 一元二次方程根与系数的关系 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程（）的两根为那么 知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型01：不解方程求两根之和与两根之积 【例1】不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： （1）x2+3x﹣5＝0； （2）2x2﹣3x﹣5＝0． 【答案】（1）x1+x23，x1x25； （2）x1+x2，x1x2． 【分析】（1）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可； （32）先找出a，b，c，再根据x1+x2，x1x2，代值计算即可． 【详解】（1）∵a＝1，b＝3，c＝﹣5， ∴x1+x23，x1x25； （2））∵a＝2，b＝﹣3，c＝﹣5， ∴x1+x2，x1x2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握x1+x2，x1x2是解题的关键． 【例2】设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据进形计算即可． 【详解】解：根据， 得， 故选D． 【跟踪训练】 1.不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）x1＋x2＝3，x1x2＝－15；（2）x1＋x2＝－，x1x2＝；（3）x1＋x2＝1，x1x2＝－1；（4）x1＋x2＝2，x1x2＝ 【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （4）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）原方程化为x2－3x－15＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （2）原方程化为3x2＋4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （3）原方程化为x2－x－1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （4）原方程化为2x2－4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 2.若是方程的两个实数根，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．一元二次方程有两根，，则，，然后代入数值进行计算，即可求解， 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ，， 故选：C． 3.设一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2，则下列选项正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C． D．x1x2＝1 【答案】B 【解答】解：一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两根分别为x1，x2则： ，． 故选：B． 题型02： 不解方程判定方程根的情况 【例3】已知关于x的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，错误的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．两根互为相反数 C．两根异号 D．实数根的个数与实数b的取值无关 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，先通过根的判别式可得实数根的个数与实数b的取值无关，再利用根与系数的关系可得，则两根异号，熟练运用相关公式是解题的关键． 【详解】解：， 该方程有两个不相等的实数根，实数根的个数与实数b的取值无关，故A,D正确不符合题意； ， 两根异号，两根不一定互为相反数，故B错误，符合题意，C正确不符合题意， 故选：B． 【跟踪训练】 1．不解方程，的两个根的符号为（    ） A．同号 B．异号 C．两根都为正 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记“”的公式是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可求出两根之积，即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项系数，常数项， ∴， ∴一元二次方程的两个根、的符号是异号； 故选：B． 2．甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．两根分别是2和5 D．两根分别是和 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．设原方程为，由根与系数的关系得，，得出，，再代入到原方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：设原方程为， 由题意得，，， ，， 原方程为，即， 解得：，， 原方程根的情况是两根分别是2和5． 故选：C． 3．关于的一元二次方程中，．则该方程根的情况是（   ） A．没有实数根 B．有两个正实数根 C．两根之积为 D．两根之和为1 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题关键．先求出这个方程根的判别式为，从而可判断选项A错误；再根据一元二次方程根与系数的关系即可判断选项C正确，选项D错误；然后根据两根之积小于0即可判断选项B错误． 【详解】解：由题意得：这个方程根的判别式为， ∵， ∴， ∴， ∴这个方程有两个不相等的实数根，则选项A错误； 由根与系数的关系得：两根之和为，则选项D错误； 两根之积为，则选项C正确； ∴这个方程的两个不相等的实数根异号，则选项B错误； 故选：C． 题型03：已知方程的一个根求另一根 【例4】关于x的一元二次方程有一个根是，则另一根是（   ） A． B． C． D． 【答案】．A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程为， ∴此方程的两根之和为2， 又∵此方程的一个根是， ∴方程的另一个根是． 故选：A． 【例5】写出一个以﹣2、3为两根的一元二次方程　　 ． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据根与系数的关系：两根之和，两根之积，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程． 【详解】∵﹣2+3＝1，﹣2×3＝﹣6， ∴方程为：x2﹣x﹣6＝0， 故答案为：x2﹣x﹣6＝0． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【跟踪训练】 1．已知x＝2是关于x的方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则方程的另一个根为（　　） A．﹣5 B．1 C．2 D．﹣1 【答案】B 【解答】解：设该方程的两根为x1，x2， 则x1+x2＝3， ∵该方程的一个根为2， ∴另一个根为：3﹣2＝1， 故选：B． 2.已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（    ） A．1和2 B．和2 C．2和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是把代入方程计算即可求出的值，再把的值代入方程，求出另一个根即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 原方程可化为， 设方程的另一个根为，则， ． 故选：B． 3.若关于x的一元二次方程的一个根为2，则另一个根为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 设另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根为2，可得，计算求解即可． 【详解】解：设另一个根为， ∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得，， 故选：B． 题型04：利用根与系数的关系直接求代数式的值 【例6】若x1，x2是方程x2＋2x－2 007＝0的两个根，试求下列各式的值： （1）x＋x；（2）＋；（3）（4）(x1－5)(x2－5)；（5）|x1－x2|. 【解析】x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 007， （1）x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×(－2 007)＝4 018. （2）＋＝＝＝. （3）(x1－5)(x2－5)＝x1x2－5(x1＋x2)＋25＝－2 007－5×(－2)＋25＝－1 972. （4）|x1－x2|＝＝＝＝＝4. 【例7】已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据a、b是一元二次方程的两个根可求出，，再根据即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练】 1．若是方程的两个实数根，则（    ） A．2016 B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数关系，方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+．利用根与系数关系，变形计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， 故选：C． 2．已知a，b是一元二次方程2x2﹣4x＝3的两个根，则a2b+ab2的值是（　　） A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣6 【答案】C 【解答】解：方程化为一般式为2x2﹣4x﹣3＝0， 根据根与系数的关系得a+b2，ab， 所以a2b+ab2＝ab（a+b）2＝﹣3． 故选：C． 3．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个根分别为x1，x2，则（x1+1）（x2+1）的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．5 【答案】A 【解答】解：由条件可知x1+x2＝﹣1、x1x2＝﹣3， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣3﹣1+1＝﹣3． 故选：A． 4．已知x1，x2分别是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则代数式的值为（　　） A．4 B．5 C．2 D．6 【答案】A 【解答】解：由条件可得x1+x2＝4，x1x2＝3， ∴； 故选：A． 5．已知实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵实数m，n（m≠n）满足2m2﹣3m﹣1＝0，2n2﹣3n﹣1＝0， ∴m，n是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根， ∴m+n，mn， ∴． 故选：B． 6.若m，n是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 题型05：利用根与系数的关系降次求代数式的值 【例8】已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 【跟踪训练】 1.设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 2.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 3.已知、是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题题考查了一元二次方程根与系数的关系，单项式乘以多项式，由、是方程的两个实数根，则，，然后将原始变形并结合一元二次方程根与系数的关系分析计算即可，理解方程的解的概念，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：． 4.设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了根与系数的关系和方程的解等知识点，先利用一元二次方程解的定义得到,， 再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可得解，熟练掌握若是一元二次方程 的两根，则， 是解决此题的关键． 【详解】解：是方程 的实数根， , ,， 是方程的两个实数根， ， ， 故答案为：． 5.设α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解等知识点，根据根与系数的关系可以求出，根据方程的解得出，将可化为，代入求值即可解答，利用两根之和与的计算与转化是解决问题的关键． 【详解】∵α，β是方程的两个实数根， ∴， ， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：2024． 6.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 题型06：构造一元二次方程求代数式的值 【例9】已知实数，满足，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对根与系数的关系的理解和掌握，将原方程变为，得到，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到关系式，代入求出即可，能熟练地根据根与系数的关系进行计算是解此题的关键． 【详解】∵方程可变为， 又∵实数，满足，且， ，是方程的两个根， ， 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知实数m，n满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定是方程的两个根、掌握根与系数的关系是解题的关键．由两个方程的形式可知，是方程的两个根，根据根与系数的关系得到与的数量关系再计算即可． 【详解】解：， ， 是方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 2.非零实数a，b满足，，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，分两种情况：当时，实数a，b是方程的两个不同的根；当时，实数a，b是方程的两个相同的根，分别计算即可得解． 【详解】解：∵非零实数a，b满足，， ∴当时，实数a，b是方程的两个不同的根，由根与系数的关系可得，，此时； 当时，实数a，b是方程的两个相同的根，此时； 综上所述，的值是或， 故答案为：或． 3.若实数，满足，，则代数式的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值，分和两种情况分析，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：当时，实数，满足，， ∴可把，看成是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 当时， ∴， 综上可知：代数式的值为或， 故选：． 题型07：由根与系数关系求方程字母系数 【例10】关于x的一元二次方程的两实根，满足，则的值为（   ） A．1或5 B．1或 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再代入方程检验即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 解得或， 当时，方程为， 而，符合题意； 当时，方程为， 而， ∴不合题意，舍去， 故选：C． 【例11】若、是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系可得：、，根据可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：、是关于的一元二次方程的两个实数根， ，， 又， ， 解得： 故答案为： ． 【例12】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【跟踪训练】 1.已知关于的方程的两实数根为，，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握，，根据方程，先求出，，根据，得到，求出，再根据一元二次方程根的判别式，确定的值，即可． 【详解】解：∵关于的方程的两实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵方程有两实数根， ∴， 解得：， ∴（舍去）， ∴． 故选：A． 2.已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、通过对完全平方公式变形求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到和的值，再通过对完全平方公式变形代入求值，最后根据根的情况利用判别式确定值即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理得， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 3.已知关于的方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1)的取值范围是 (2)的值为 【分析】（）先整理方程得整理得，计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】（1）解：由整理得：， ∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：由（）得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：或， ∵， ∴的值为． 题型08：判别式与韦达定理综合 【例13】已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【例14】已知关于的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； （2）解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 【跟踪训练】 1.已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)当取满足（1）中条件的最小整数时，设方程的两根为和，求代数式的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系， （1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求得两个不等式的公共部分即可； （2）确定，方程变为，利用根与系数的关系得到，，利用一元二次方程的定义得到，，则，，然后利用整体代入法计算的值； 解题的关键是掌握：①一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，；②式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且， ∴的取值范围是且； （2）∵取满足（1）中条件的最小整数， ∴， 此时方程变为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ， ∴代数式的值为． 2.已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 【答案】(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0 (3)0 【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，． （1）由根的判别式即可知； （2）根据韦达定理知，，由方程的两个实数根都是整数可得答案； （3）根据方程的解得定义得、，继而知，，两式相加可得． 【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：， 不论为何值，， 此方程总有两个实数根． （2）解：设方程的两个根为， 则，． 此方程的两个实数根都是整数， 的值为， 符合条件的整数的值的和为0． （3）解：是方程的两个实数根， ，， ，， 以上两式相加，可得， 即． 3.关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围． (2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值． (3)若方程的两个实数根为，满足，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，解不等式即可得出答案； （2）求出的值为6，解方程求出，代入方程求出的值即可； （3）由一元二次方程根与系数的关系得出，，再结合求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，     解得； （2）解：∵是符合条件的最大整数， ∴的值为6， ∴方程变形为， 解得， ∵一元二次方程与方程有一个相同的根， ∴当时，， 解得：， ∵， ∴； 当时，， 解得：， ∴的值为． （3）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 题型09：阅读理解与新定义问题 【例15】定义：已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若且，则称这个方程为“特优方程”． 如：一元二次方程的两根为，，满足，所以一元二次方程为“特优方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“特优方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程是“特优方程”，且方程的两根，满足，求的值． (3)若关于的一元二次方程是“特优方程”，求的取值范围． 【答案】(1)一元二次方程是“特优方程”，理由见解析 (2) (3)的取值范围是或 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式．读懂题意，理解“特优方程”的定义是解题关键． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“特优方程”的定义判断即可； （2）由可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，代入，即可求解； （3）解该一元二次方程，得出或，再根据此方程为“特优方程”，即得出此方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式即可得出，且，分两种情况：当时，当时，根据可求出的取值范围． 【详解】（1）解：一元二次方程是“特优方程”，理由如下： ，，满足，， 一元二次方程是“特优方程”； （2）关于的一元二次方程为， ，， ， ， ， 整理得：， ， ， （不合题意，舍去），， 当时，原一元二次方程为， 解得：，， 满足，， ； （3） 或 解得：或， 是“特优方程”， ，， ， ，且， 当时，或， ， ， 解得：， 当时，或， ， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 【例16】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“同步方程”．例如，方程是“同步方程”． (1)下列方程是“同步方程”的是________（填序号）； ①，②，③； (2)若方程是“同步方程”，求的值； (3)若方程为“同步方程”，直接写出满足的数量关系． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系的应用，熟练掌握新定义，正确应用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据新定义同步方程的概念，逐一验证三个方程，得到结果； （2）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到，从而得到a的值； （3）根据同步方程的定义，结合一元二次方程根与系数的关系，得到结果． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ②∵， ∴， ∴， ∴是“同步方程”； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴不是“同步方程”， 故答案为：①②； （2）解：∵是“同步方程”， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故或； （3）解：∵为“同步方程”， ∴，， ∴， ∴． 【例17】定义：设是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“和谐方程”．例如，方程是“和谐方程”． (1)下列方程是“和谐方程”的是 ． ①；②；③． (2)若方程是“和谐方程”，求m的值． (3)若方程为“和谐方程”，直接写出b，c满足的数量关系． 【答案】(1)②③ (2) (3)（或） 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）根据根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，然后根据定义判断即可求解； （2）根据根与系数的关系结合新定义建立方程，再解方程即可； （3）根据根与系数的关系结合新定义求解即可． 【详解】（1）解：①，则 ∴， ∴不满足，故不是“和谐方程”； ②， ∴ 满足，故是“和谐方程”； ③ 解得：， ∴， ∴满足，故是“和谐方程”； 故答案为：②③； （2）解：∵， ∴． ∵方程是“和谐方程”， ∴ ∴． 即． 解得：； （3）解：对于， 则 ∵方程为“和谐方程”， ∴， ∵， ∴，即（或）． 一、选择题 1.若a，b是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的解就是使方程成立的未知数的值和一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，再代入求值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 2.已知是方程的两个实数根，则的值（  ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、分式化简求值等知识，先根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由，代值求解即可得到答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及分式化简求值是解决问题关键． 【详解】解：是方程的两个实数根， ， ， 故选：D． 3.若m，n为方程的两个实数根，则（  ） A． B． C．7.5 D．-1.8 【答案】A 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ． 故选：A． 4.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 由题意得，，，解得，，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 二、填空题 5.若和是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系对所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后整体代入求解即可． 【详解】∵和是方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为：． 6.已知方程的两个根分别是，则= ． 【答案】 【分析】本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是熟记根与系数的关系：，． 由根与系数的关系可得：，，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：方程的两个根分别是， ，， ． 故答案为：． 7.一元二次方程的两个根分别是，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题可得，，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别是，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8.已知，且，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令，结合，则z是的根，那么，x和z为方程的两根，利用根与系数的关系即可求得． 【详解】解：令， ∵， ∴， 则， 那么，x和z为方程的两根， ∴， 则， 故答案为：． 9.关于的一元二次方程的两实根满足，则的值为 ． 【答案】或 【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：，则k为任意实数，方程恒有两个不等的根， 由题意得：，， ∵， ∴， ∴，整理得：， 解得：，， 故答案为：或． 10.已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， ，， ， ． 故答案为：． 11.已知，是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再根据得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 12.已知，是方程的两个实根，则的值为（     ） A．10 B．11 C．12 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解．利用一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义可得，，，，再代入，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实根， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 13.已知实数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值等知识．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形，分式的化简求值是解题的关键． 由题意知，，，则是的两个根，即，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴是的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 3、 解答题 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若x＝1是一元二次方程x2﹣（m+4）x+2m﹣1＝0的一个根．求方程的另一个根． 【答案】（1）证明见解答； （2）方程的另一个根为x＝7． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m+4），c＝2m﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝[﹣（m+4）]2﹣4×1•（2m﹣1） ＝m2+20， ∴m2≥0， ∴Δ＞0， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵x＝1是一元二次方程一个根， ∴1﹣（m+4）+2m﹣1＝0， 解得m＝4， 此时，原一元二次方程为x2﹣8x+7＝0， 解得x1＝1，x2＝7， 所以方程的另一个根为x＝7． 15.已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 16.关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果是这个方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式等知识．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式是解题的关键． （1）由题意知，计算求解即可； （2）由题意知，，，由，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴的值为． 17.定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$