第1章 一元二次方程 单元测试-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第1章 一元二次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 2．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3．用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 4．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系“两根之积等于”，直接计算即可求解． 【详解】解：根据一元二次方程根与系数的关系，得 ． 故选：B． 5．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值即可判断根的情况，熟知当时，方程无实数根是解答的关键． 【详解】解：方程可化为，其中，，， 判别式， ，因此该方程没有实数根， 故选：C． 6．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质． 先解方程得到对角线可能的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，最后计算面积． 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 8．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法的应用以及一元二次方程的定义，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：与是“同族二次方程”， ， ，解得：， ， 代数式取的最大值是， 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．写出一个没有实数根的一元二次方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用一元二次方程根的判别式，写出一个一元二次方程，使即可． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵， ∴方程没有实数根，故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的关系。 10．一元二次方程：的一次项系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题关键是把一元二次方程先化为一般形式． 将方程先化为一般形式：，即可求解． 【详解】解：先将化成一般形式，得， ∴一次项系数是． 故答案为：． 11．已知为方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，利用整体代入的思想解决问题即可． 【详解】解：∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 12．某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率是, 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该药品平均每次降价的百分率是． 故答案为： ． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：由题知，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即 解得， 故答案为：． 14．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，全等三角形的性质，设，则，可得，由勾股定理可得，则，进而可得，解得，据此可得答案． 【详解】解：设，则， ∴， 在中，由勾股定理得，即， ∵大正方形的面积是小正方形面积的25倍， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】解：（1）移项，得，开方，得，解得． （2）配方，得，即，或，解得． （3）， ，解得． （4）移项，得， 因式分解，得， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，解题关键在于要根据题目特点灵活选取合适的解法。 18．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据根的判别式，方程有实数根可证得结论； （2）根据根与系数关系得到，进而列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴不论取何值时，该方程总有实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根、， ∴，又， ∴，即， 解得． 19．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 20．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 21．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 【答案】长为，宽为，高为 【分析】通过设长方体纸盒的高为未知数，根据矩形纸张的尺寸表示出长方体纸盒底面的长和宽，再结合底面积列出方程求解．本题主要考查一元二次方程的实际应用（长方体的折叠问题 ），熟练掌握根据图形折叠关系表示出长方体的长、宽、高，以及利用面积公式列出方程求解是解题的关键． 【详解】设长方体纸盒高为，则长为，宽为， 依题意得：， 解得：，（舍去） 答：长方体纸盒高为，则长为，宽为． 22．为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 【答案】(1)4，5这两个月月销售量的平均增长率为； (2)当每千克降价4元时，6月份可获利75000元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据4月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每袋降价元，则6月份的销售量为千克，根据总利润=每千克利润×销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设4，5这两个月月销售量的平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：4，5这两个月月销售量的平均增长率为； （2）解：设当每袋降价元时，根据题意可得： ， 整理得， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：当每千克降价4元时，6月份可获利75000元． 23．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查了十字相乘法解一元二次方程，解一元一次不等式，熟练掌握十字相乘法解一元二次方程是解题的关键． （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，进一步求解可得答案； （）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，求出，，然后根据方程有一个根大于，即，然后求出的取值范围． 【详解】（1）解： 或， ∴，； （2）解： 或， ∴，； （3）解：， ∴， ∴，， ∵方程有一个根大于， ∴， ∴． 24．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 【答案】(1)或 (2)最小值为， (3)4 【分析】本题考查了完全平方式以及配方法的应用，在配方法中，通过加上或减去适当的常数，可将代数式凑成完全平方式，在配方时加减的常数为解决本题的关键． （1）根据完全平方式的定义求解即可． （2）由配方法的定义，可将配方成，将配方成，再配平常数，根据完全平方式非负即可求解最值，再由幂的运算法则即可计算． （3）先将转化为，再将配方为，将看做一个整体，根据完全平方式非负即可整体求解的最小值． 【详解】（1）解：根据完全平方式的定义，即， 可知代数式中，， 则， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以或． （2）解： ， ，， 当，时，有最小值，最小值为， 此时，，解得：，． 所以． （3）解：， ，， ，，的最小值为4． 25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 3．用配方法解方程，配方后的方程是（　　） A． B． C． D． 4．已知是方程的两个实数根，则的值为（　　） A． B．1 C． D．3 5．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．必有两个相等的实数根 B．必有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．必有实数根 6．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 7．已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 8．关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．写出一个没有实数根的一元二次方程： ． 10．一元二次方程：的一次项系数是 ． 11．已知为方程的一个根，则的值为 ． 12．某药品原价每盒144元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒81元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 14．如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 15．“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为 ． 16．如图，是我国汉代数学家赵爽在注解《周脾算经》时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的25倍，那么 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．用适当的方法解下列方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 18．已知关于的方程（为常数）． (1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根； (2)若该方程的两个实数根、满足，求的值． 19．已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 20．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 21．在手工活动课上，轩轩同学为了制作一个底面积是的有盖的长方体纸盒，他把一张长，宽的矩形纸张，将其两边剪去两个全等的矩形（如图①），剩余部分（阴影部分）经过折叠后得到一个长方体纸盒（如图②）．求长方体纸盒的长、宽、高各是多少？ 22．为帮助农民推销农产品，切实提高农民的家庭收入，我省某县副县长亲自开抖音直播销售当地农民种植的一种农产品，已知这种农产品的成本价为10元/千克．当这种农产品的售价为每千克20元时，3月份销售了10000千克．4，5月该农产品月销售量持续走高，在售价不变的基础上，5月份的销售量达到12100千克．设4，5这两个月月销售量的平均增长率不变． (1)求4，5这两个月月销售量的平均增长率； (2)在5月份的基础上，6月份该抖音直播间采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元/千克，销售量就增加100千克，当农产品每千克降价多少元时，该抖音直播间6月份获利75000元？ 23．阅读材料：解方程，我们可以按下面的方法解答： （1）分解因式； 竖分二次项与常数项： ，， ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式： （2）若，则或； （3）故此方程可以这样写出求解过程： ， ， ∴或 ∴，． 上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程 (1)； (2)； (3)已知关于的方程，若方程有一个根大于，请直接写出的取值范围． 24．阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在求代数式最值问题中有着广泛的应用． 示例：用配方法求代数式的最小值， 解：原式 ，，的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为______； (2)用配方法求代数式的最小值，并求出此时的值． (3)若实数，满足，求的最小值． 25．如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$