第2章 对称图形——圆拓展之最值篇（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第2章 对称图形——圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，交于点E．其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 3．如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 3．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ． 类型三、切线与勾股定理 【解惑】如图，在中，．的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【融会贯通】 1．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．2 2．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为    3．如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是 ． 类型四、两动一定 【解惑】如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 3．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 类型五、折叠圆 【解惑】如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 3．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 类型六、直角圆 【解惑】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 2．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 3．如图，已知正方形的边长为8，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为 ． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 2．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 3．如图，是的直径，弦是下半圆上的一动点，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    类型八、定角定弦 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2． 如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线于点P，交边于点E，若，则的最小值为 ． 3．如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ． 类型九、面积最值 【解惑】如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是 ，最小值是 ． 3．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ． 类型十、费马距离 【解惑】设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 2．【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 3．【背景资料】在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）如图4，中，，，E，F为上的点，且，判断，，之间的数量关系为 ； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，三个内角均小于，在外侧作等边，连接，在上取点P，使，连接、，求证：点P是的费马点． （2）如图6，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，则的值为 ． 【学以致用】 如图7所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆拓展之最值篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、点的运动路径 【解惑】如图，在半径为3的中，边长为3的等边两顶点B，C在圆上，若在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，明确点B的运动路径是解题的关键．画出在圆内绕翻滚一周的图形，可知点B经过的路径分别是圆心角为的三条弧，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长，进行计算即可． 【详解】解：如图，在圆内绕翻滚一周后，回到原位置，则点B的运动路径分别为圆心角为：的三条弧长，即点B的运动路径长为半径为3的圆的周长， ∴点B的运动路径长为：， 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，是等腰直角三角形，，，点D是斜边上一点，且，将绕点D逆时针旋转，得到，交于点E．其中点C的运动路径为弧，则弧的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，过点C作于F，连接，先利用勾股定理得到，则，再求出，即可求出，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于F，连接， ∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴弧的长度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求弧长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 2．如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，理解折叠的性质，掌握弧长的计算公式是关键． 根据题意可得，当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示，结合弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵点关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示， ∴， ∴， ∴点的路径长为， 故答案为： ． 3．如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轨迹，轴对称性质，正方形的性质，弧长公式，解题的关键是证明．如图，连接，交于点，连接，，，．证明，推出，利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，，． 点，关于对称， ，， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是弧， 弧的长 故答案为：． 类型二、圆中的将军饮马 【解惑】如图，的半径为，点是半圆上的一个三等分点，点是的中点，是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，，此时是最小值，证明是等腰直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， 点与关于对称，点是半圆上的一个三等分点， ，， 点是弧的中点， ， ， 又， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了结合图形的性质，考查了对称轴——最短路径问题，也考查了对称的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识，利用弧、弦、圆心角的关系证明是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，，点在上，，是弧的中点，是直径上的一动点，若，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题、圆周角定理等知识点，作辅助线并得到是等边三角形是解题的关键． 如图，作点关于的对称点，连接、、、，根据轴对称确定最短路线问题可得与的交点即为最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的倍求出，然后求出，再根据对称性可得，然后求出，从而判断出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，即为的最小值，从而求得周长的最小值． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、、， 则与的交点即为的最小时的点，的最小值， ， ， 是弧的中点， ， 由对称性，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值． 故选：B． 2．如图，是的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧的中点，点P是直径上一动点．若，，则周长的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理． 作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ．根据轴对称的性质得到，，进而可知，，根据勾股定理求出，可知，进而可求周长的最小值． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接，，，， ． ∵点A与关于对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴，， ∵点B是劣弧的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∴周长的最小值， 故答案为：3． 3．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，点是直径上的一个动点，连接，，，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称：最短路线问题，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图添加适当的辅助线是解题的关键． 作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，，根据对称性可得，，从而可得，此时有最小值即为，再利用圆周角定理可得，从而可得，再根据垂径定理可得，从而可得，进而可得，最后可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可解答． 【详解】解：作点D关于的对称点为点E，连接交于点G，连接，，，， ∴，， ∴，当点P与点G重合时，此时有最小值，最小值为 ∵， ∴， ∵点D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型三、切线与勾股定理 【解惑】如图，在中，．的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（点为切点），则线段长的最小值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到时，线段最短是关键． 连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段最短， ∴的长最短， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，切于点Q，则的最小值为（     ） A． B． C．3 D．2 【答案】B 【分析】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点．因为为切线，所以是直角三角形．又为定值，所以当最小时，最小，根据垂线段最短，知时最小，根据勾股定理得出结论即可． 【详解】解：∵切于于点， ∴， ∴． 又， ∴，即， ∴当最小时，有最小值． 又∵点到直线的距离为， ∴的最小值为， ∴． 故选：B． 2．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为    【答案】4 【分析】设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，    当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键． 3．如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质， 先根据直角三角形的性质，勾股定理求出，连接，可知是直角三角形，当时，最小，最小，再根据三角形的面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：在中，， ∴． 根据勾股定理得， 即， 解得． 连接， ∵是的切线， ∴， 则是直角三角形． 当时，最小，最小． ∵， ∴， 解得． 在中，根据勾股定理得． 所以的最小值为． 故答案为：． 类型四、两动一定 【解惑】如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 【融会贯通】 1．如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 2．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 3．如图，在矩形中，，，现有长为3的小木棒紧贴、边滑动（即的两个端点始终落在、边上），为的中点，为边上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、最短距离问题、勾股定理、矩形的性质等知识点，判断出G点的轨迹是解题的关键． 如图：连接，由直角三角形的性质可得，则点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，点为的中点， ∴， ∴点G是以D为圆心，以为半径的圆弧上的点，， 如图：作A关于的对称点，连接交于P，交以D为圆心，以为半径的圆于G，此时的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 类型五、折叠圆 【解惑】如图，在中，，点D是斜边上的动点，将沿直线翻折得到，连接，则周长的最小值为（    ） A． B． C．9 D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形30度角的性质，熟练掌握各性质是解题的关键： 利用直角三角形30度角的性质及勾股定理求出，根据折叠的性质得到，推出的周长，当最短时，的周长最小，以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短，由此得到答案． 【详解】∵在中，， ∴，， 由翻折得：， 的周长， 则当最短时，的周长最小， 以点C为圆心，长为半径作圆，则点C，E，B三点共线时，最短， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，在中，，点D是边的中点，点E是边上的任意一点（点E不与点B重合），沿翻折使点B落在点F处，连接，则线段长的最小值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值，然后利用勾股定理计算长度即可． 【详解】解：连接AD，以D为圆心，以CD为半径画圆，交AD于G，根据题意可知点F在上，当G和F重合时AF有最小值， ∵点D是边的中点， ∴, 在Rt△ACD中， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查圆的性质和勾股定理，能够找到点F的运动轨迹是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，，，是一动点，是由沿直线翻折得到，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点，确定点在何位置时，的值最小是解题的关键．根据题意可推出点在以为圆心为半径的圆上运动，得到当、、共线时，的值最小，根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，即可求出． 【详解】解：由折叠可得：， ，， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动， 当、、共线时，的值最小，如图， 四边形矩形， ， 在中，，， ， ． 故答案为：． 3．如图，矩形中，，，点E是的中点，点F是边上一动点．将沿着翻折，使得点B落在点处，若点P是矩形内一动点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．将绕点顺时针旋转得到，连接，连接，由等腰三角形得出，再由折叠得出点的轨迹在点为圆心，为半径的圆周上，所以的最小值为，即的最小值为，经计算答出答案即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， 连接，连接， 则，，共线，， ， ， 点是的中点， ， ， ， 由折叠成， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上， ， 两点间线段最短， ， 即 ， ， 则的最小值为． 故答案为：． 类型六、直角圆 【解惑】如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．由题意知，又长度一定，则点P的运动轨迹是以中点O为圆心，长为半径的圆弧，所以当B、P、O三点共线时，最短，再进一步求解即可． 【详解】解： 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在上运动， 由题意知：当B、P、O三点共线时，最短，而， ， ∵， ， ∴的长度最小值为． 故选：B 【融会贯通】 1．如图，在中，，，，经过点C且与边相切的动圆，与分别相交于点E、F，则线段长度的最小值是（    ） A．3 B．4 C．4．8 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，90度的圆周角所对的弦是直径，过点C作于H，连接，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，则是经过点C且与边相切的动圆的直径，故当为直径且时，有最小值，即此时有最小值，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵是经过点C且与边相切的动圆的直径， ∵， ∴当为直径且时，有最小值，即此时有最小值， ∵， ∴， ∴有最小值4， 故选B． 2．如图，正方形内接于，点P为弧上的动点（不与端点重合），连接，过点D作于点Q，连接，若的半径为，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，取的中点K，以为直径作，则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）．由正方形外接圆的半径可得的长，进而根据勾股定理求出的长，根据即可解决问题． 【详解】如图，取的中点K，以为直径作， ∵ ∴则点Q在正方形内部的圆弧上运动（不与端点重合）． ∵的半径为， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴当B,Q,K在一条直线上时，有最小值， 此时， 故答案为：． 3．如图，已知正方形的边长为8，点和分别从、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一点到圆上点距离的最值，正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等．根据题意和正方形的性质可利用证明，得出，进而可证出，于是可得点P在以为直径的圆上运动，运动路径是弧，连接交圆O于P，此时最小，进一步即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∵，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧，是这个圆的， 如图所示，连接交圆O于P，此时最小， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴ ； 故答案为：． 类型七、中位线与瓜豆原理 【解惑】如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方形的性质，共圆的判定是关键． 连接，根据中位线的判定和性质得到，点共圆，圆心为的中点，记为，当三点共线时，最小，此时最小，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【融会贯通】 1．如图所示，是x轴的正半轴上一点，与轴交于、两点，与轴交于、两点，，，点是上任意一点，点是的中点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，作出辅助线是解题的关键； 取中点，连接，，，，由点是的中点，得 ，由，，得，，进而可得，，，，由勾股定理求得，由，得、、三点共线时，，最小，即可求解． 【详解】解：取中点，连接，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ，， ， ， ，， ∴，， 中， ， 中，， ∴、、三点共线时，，最小， 此时， 故答案为：B 2．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在线段上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点在线段上时，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．如图，是的直径，弦是下半圆上的一动点，E为的中点，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握圆周角定理，垂径定理，最短线段的计算是解题的关键，根据题意，连接，由垂径定理可得，点E在以为直径的圆上运动，根据可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得则的半径为3，由此即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点为的中点， ， ∴点E在以为直径的圆上运动，   ， ∴是等边三角形， ，取的中点M， 则的半径为3， 的最小值为， 故答案为：． 类型八、定角定弦 【解惑】如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，，由勾股定理及圆周角定理的推论得，是的直径，根据等腰直角三角形的性质得，，从而，点在定圆的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，， ∵，， ∴，是的直径， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点在定圆的上运动， ∴根据三角形的两边只差小于第三边得，当、、三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2． 如图，在中，，，，D是内一动点，为的外接圆，交直线于点P，交边于点E，若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据得，再由可得到，于是点在以为弦，的圆弧上运动，再由可证明，从而算出，当、、三点共线时，最小，求出此时的长即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 点在以为弦，的圆弧上运动， 如图，设点运动的圆弧圆心为，取优弧上一点，连接，，，，，，    则， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，最小， 此时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，等边中，，点D、点E分别在和上，且，连接、交于点F，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先证明，推出点F的运动轨迹是O为圆心，为半径的弧上运动（易求，），连接交于N，当点F与N重合时，的值最小，只需求得的长即可． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，圆心为O，则点F在以O为圆心，为半径的劣弧上运动，连接，交于N，当点F与N重合时，的值最小，最小值为． ∵， ∴， ∵， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质、等腰三角形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 类型九、面积最值 【解惑】如图，点为矩形的中心，的半径为2，点是上一个动点，则面积的最小值为（    ） A．9 B．8 C． D．7 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，三角形面积，直线与圆的位置关系等知识，得到面积最小时点P的位置是解答的关键． 连接，过B作于H，交于G，过G作，由勾股定理及面积相等可求得的长；当点P到的距离最短时，面积最小，此时点P与点G重合，进而求得面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于H，交于G，过G作直线， ∵点为矩形的中心， ∴必过点O， 由勾股定理得：； ∵四边形是矩形， ∴ ∵， ∴； ∵，， ∴直线是的切线， ∴； 当点P到的距离最短时，即最短距离为的长时，面积最小，此时点P与点G重合， ∴面积的最小值为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，四边形中，，，，，则四边形的面积最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转，勾股定理，圆的相关性质，先将逆时针旋转连接，得到，再由隐形圆可得，可求得，由，只需求面积最大即可． 【详解】解：如图，以为中心，将旋转， ∵， ∴与为对应边， 设点对应点为，连接 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴在以为弦，优弧所对圆周角为的圆周上， 设所在圆的圆心为，连接，作于点，交于点 劣弧所对圆周角为， ∴所对圆周角为， ∴，， ∴， ∴， ∴当面积最大时，四边形ABCD面积最小， 作于， 由图可知，在时，取得最大值 ∴最大值为 ∴四边形最小值为 故选A． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，点为弦的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 3 1 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、垂径定理、勾股定理、三角形的三边关系等知识，正确找出的面积取最值时，点的位置是解题关键．过点作于点，连接，先利用垂径定理和勾股定理可得，再根据一次函数的解析式求出，，利用勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，则要使的面积最大或最小，只需最大或最小，最后利用三角形的三边关系可得当点共线时，的最大值为，最小值为，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵的半径为1， ∴， ∵点为弦的中点，， ∴，， ∴， 对于一次函数， 当时，，解得，即， 当时，，解得， ∴在中，，， ∴的面积为， ∴要使的面积最大或最小，只需最大或最小， 又∵，（当且仅当，点共线时，等号成立）， ∴的最大值为，最小值为，此时点共线， ∴此时， ∴的最大值为，最小值为， ∴面积的最大值是，最小值是， 故答案为：3，1． 3．如图，在中，，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据切线的性质可得，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识的综合，掌握切线的性质得到，当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 类型十、费马距离 【解惑】设平面上的三个点、、，需确定点的位置，使最小． 当点、、共线时，点应取三点中居中的点．当点、、不共线时，分成两类：有一个内角大于或等于和的三个内角均小于．约年，法国数学家费马 ，提出了这个问题，此问题中求得的点也称为费马点，并由意大利数学家托里拆利首次证明． 下面来探究当点、、不共线时的情况： (1)如图1，已知：在中，时，____为所求费马点． (2)如图2，已知：在中，最大角时， 我们可以快速找到这类三角形的费马点，作法如下：分别以的边、为边向外作等边三角形和等边三角形，此时和交于一点，点就是所求的费马点． ①请找出图中与相等的线段，并说明理由； ②为了验证作图中找到的点就是费马点，连接． 求证：． 【答案】(1)点 (2)①，理由见解析；②见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）当点和点重合时取得最小值，即可求解； （2）①证明，根据全等三角形的性质，即可求解； ②设交于点，连接，在上取点使得，根据，得出，则，进而证明是等边三角形，证明得出，即可得证． 【详解】（1）解：在中，时，点为所求费马点． ∵当点和点重合时取得最小值， ∴点为所求费马点． 故答案为：点． （2）解：①，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②如图，设交于点，连接，在上取点使得， ∵， ∴， 又∵，是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，，则， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记（节选），请仔细阅读并完成相应的任务 探究三角形的特殊点 通过学习我知道了三角形有重心、外心、内心三个特殊点．通过百度搜索，我发现三角形还有很多特殊点，如垂心、旁心、费马点等．下面是我对三角形垂心的学习收获． 定义：三角形的垂心是指三角形的三条高或其延长线的交点． 性质：三角形的垂心关于三边的对称点，均在三角形的外接圆上． 如图，已知是锐角三角形，是其外接圆，点是的垂心，分别连接并延长，交于点． 求证：点分别是点关于边的对称点． 证明：如图，连接． ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（依据）， ∴， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 任务： (1)上面日记中“依据”指的是 ； (2)下列说法正确的是 ； A．锐角三角形的垂心在三角形外    B．直角三角形的垂心在直角顶点处 C．钝角三角形的垂心在三角形内    D．等腰三角形的内心和外心重合 (3)请仿照小宇的思路证明点和点关于对称． 【答案】(1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)B (3)证明过程见详解 【分析】本题主要考查三角形与圆的综合，掌握垂心，内心，外心的定义，同弧或等弧所对圆周角相等是解题的关键． （1）根据图示可得与所对的弧均是，由此即可求解； （2）根据垂心的定义，内心的定义，外心的定义进行判定即可求解； （3）根据材料提示方法证明即可． 【详解】（1）解：根据图示可得，与所对的弧均是， ∴依据是：同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）解：根据图示可得， A、锐角三角形的垂心在三角形内部，故原选项错误，不符合题意； B、直角三角形的垂心在直角顶点处，正确，符合题意； C、钝角三角形的垂心在三角形外，故原选项错误，不符合题意； D、等腰三角形的内心是角平分线的交点，等腰三角形的外心是三边垂直平分线的交点，不一定重合，故原选项错误，不符合题意； 故选：B； （3）证明：如图所示，连接，设于交于点， ∵点是的垂心， ∴，， ∴，， ∴， 又（同弧或等弧所对圆周角相等）， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点是对应点， ∴直线和关于对称． ∴点和点关于对称． 2．【阅读材料：】如图①，中，各个内角均小于，在内找一点O，使，此时；最小；这个点O称为的费马点，的值称为的费马距离；（费马，17世纪法国数学家） 【费马点的求作及原理：】如图②，在的外侧作等边、等边，连接交于点O，这个交点O就是的费马点； 作图原理：小明给了一些思路，请根据小明的思路，完成证明： 小明的部分证明思路：第一步，先证明，…进而得出，第二步，连接，并在线段上取一点Q，使；…进而得出 第一步：____________________； 第二步：____________________． 【费马距离的计算：】连接． （1）证明：； （2）当时，求的费马距离． 【答案】第一步：见解析；第二步：见解析；（1）见解析；（2）的费马距离为 【分析】作图原理：第一步：先证明，进而得出；第二步：连接，并在线段上取一点Q，使；进而得出，即可解决问题； （1）由第二步可得，所以，根据是等边三角形，即可解决问题； （2）过点D作交延长线于点G，证明，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：作图原理：证明：第一步： ∵等边、等边， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二步：如图②，连接，在线段上取一点Q，使， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （1）证明：由第二步可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图②，过点D作交延长线于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的费马距离为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是理解费马距离定义． 3．【背景资料】在已知所在平面上求一点P，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在1640年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数）当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接，由，，可知为三角形，故，又，故，由可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （1）如图3，等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； （2）如图4，中，，，E，F为上的点，且，判断，，之间的数量关系为 ； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （1）如图5，三个内角均小于，在外侧作等边，连接，在上取点P，使，连接、，求证：点P是的费马点． （2）如图6，在中，，，，点P为的费马点，连接、、，则的值为 ． 【学以致用】 如图7所示是一个三角形公园，其中顶点A，B，C为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭P，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是 ． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（1），（2）；问题解决：（1）见解析，（2），学以致用： 【分析】背景资料：由旋转的性质可得，，得出为等边三角形三角形，故，由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值，即可得解； 知识生成：（1）由旋转的性质可得，，，，证明为等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，求出，即可得解； （2）由等腰直角三角形的性质可得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，再由勾股定理即可得解； 问题解解：（1）在上截取一点Q，使得，连接，证明为等边三角形，得出，，由等边三角形的性质可得，，证明，得出，结合，即可得证； （2）由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，将顺时针旋转得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，推出为等边三角形，，由等边三角形的性质可得，即可得到，再由勾股定理得出，即可得出答案； 学以致用：连接、、，将绕点C顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于H，由旋转的性质可得，，，得出，均为等边三角形，由等边三角形的性质可得，，，证明，得出，推出，求出，得出，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图1，将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为等边三角形三角形， 故， 又∵， 故， 由两点之间，线段最短可知，当B，P，，在同一条直线上时，取最小值， 如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）解：将绕顶点A旋转到处，此时， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵中，，， ∴， 如图4：将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得：，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（1）证明：如图，在上截取一点Q，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P是的费马点； （2）解：∵在中，，，， ∴，， 如图6，将顺时针旋转得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， ∴的值为， 故答案为：； 学以致用：解：如图7，连接、、，将绕点C顺时针旋转得到，连接、，作交的延长线于H， 由旋转的性质可得：，，， ∴，均为等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$