第2章 对称图形——圆（优质类型）-2025-2026学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

第2章 对称图形——圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的平移、折叠、旋转 【解惑】如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【融会贯通】 1．如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 3．小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 类型二、圆锥侧面最短路径 【解惑】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【融会贯通】 1．今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 3．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 类型三、秦九韶与海伦公式 【解惑】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 3．【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 类型四、婆罗摩笈多定理 【解惑】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【融会贯通】 1．【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 2．阅读与思考； 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：已知：如图，四边形ABCD内接与圆O对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于F，求证：MF=DF 证明∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF，即F是AD中点． （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明： 已知：如图1，四边形ABCD内接与圆O，对角线AC⊥BD于点M，F是AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC （2）已知如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 类型五、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【融会贯通】 1．请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 2．【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 3．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，是的弦，点P在上，于点C，点D在弦上且，在上取一点Q，，连接，则． (1)如图2，小亮尝试说明，于是他连接了，，，．请你帮助他完成下列证明． ①求证：； ②求证：． (2)如图3，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线l与相切于点Q．过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接，．若，，求的半径的长 类型六、弦切角定理 【解惑】阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1，所示，同学们研究发现：为圆上任意一点，当弦经过圆心时，且切于点，此时弦切角 （图2）． [问题拓展]若不经过圆心 （如图），该结论：弦切角还成立吗如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． [知识运用]请运用以上结论解决如下问题 如图，是中的平分线，经过点的与切于点，与、分别相交于、．求证：． 【融会贯通】 1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． 是的直径， ① ． 是过点B的切线， ② ． 即， 又和是弧所对的圆周角 ③ ． ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”） 2．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴ ① ． 即， ∴， ∵ ② ． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴ ③ ． ∴ ④ ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于 ⑤ ． 3．【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 类型七、托勒密定理 【解惑】古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题： (1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明； (3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 2．探究问题：    (1)阅读理解： ①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． ②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理． 知识迁移： ①请你利用托勒密定理解决如下问题： 如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆； 第二步：在上任取一点，连接．易知________； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离． (2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 3．【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】 （1）请将证明过程补充完整： 如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长； 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为__________． 类型八、新定义圆——几何函数型 【解惑】在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 2．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 类型九、动圆相切求t 【解惑】在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒，以为圆心，为半径作半圆；交直线分别于点，（点在的左侧）．    (1)当秒时，求的长； (2)当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长； (3)直接写出当为何值时，半圆与四边形的边相切． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，．动点从点出发，在边上以每秒的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒的速度向终点匀速运动，当、到达终点后停止运动，连接．设运动时间为（秒） (1)当秒时，则的面积_______________．（直接写出答案） (2)以为直径作，在点、的运动过程中，当与或所在直线相切时，求的值． 2．如图，在矩形中，，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)的面积能否为10，若能请求出t值，若不能请说明理由． (3)当时，内有一个动点P，连接，若，线段的最小值为　　　． 3．探究与推理 如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有的式子表示． (2)当为何值时，点恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】请仅用无刻度的直尺完成下列题目（不写画法，保留画图痕迹．用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图，点是的边上一点，过点画一条直线把这个四边形分成面积相等的两部分． (2)如图，在正五边形中，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分． (3)如图，是的外接圆，点是弧的中点，画出的中线． 【融会贯通】 1．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 对称图形——圆思维导图 【类型覆盖】 类型一、圆的平移、折叠、旋转 【解惑】如图，边长为4的正方形中，半径为1的⊙在正方形内平移（⊙可以与该正方形的边相切），设点到⊙上的点的距离为，且是整数，则的值所有情况有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，直线和圆的位置关系，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解；当与AB，BC相切时，连接，证明出是正方形，利用性质求解；当与，相切时，切点分别为G，H，连接，，利用同样的方法进行求解即可． 【详解】解：如图1，当与，相切时，切点分别为E，F，连接． 由题意易得四边形是正方形，． 的半径为1，， ∴点到上的点的距离的最小值为． 如图2，当与，相切时，切点分别为G，H，连接，， 由题意易得四边形是正方形，．， ∴点B，O，D三点共线． 的半径为1， ∴， ， ∴点到上的点的距离的最大值为． ，， ∴x的取值可能是1，2，3，4，5，共有5种， 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，是的直径，点A在上，将沿翻折交于点，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形， 设点的对称点为点，连接，进而得到，直径得到，进而求出的度数，再根据圆内接四边形的内对角互补，求出的度数即可． 【详解】解：设点的对称点为点，连接，则：， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴； 故选C． 2．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 3．小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径四等分，其四等分点分别记为，，，如图1所示．（虚线为折痕） (1)如图2，若折叠后点恰好与点重合，折痕为，顺次连接，，，，得到四边形．请判断四边形的形状并证明； (2)如图3，若折叠后点恰好与点重合，折痕仍记为，连接．请判断直线与所在圆的位置关系，并简述理由． 【答案】(1)四边形为菱形，理由见解析 (2)与所在圆的位置关系是相交，理由见解6790 【分析】本题考查了折叠的性质，菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系，熟练掌握菱形的判定和性质，圆与直线的位置关系判定是解题的关键． （1）由折叠得出垂直平分，则，，，根据垂径定理得出，根据弧、弦的关系得出，根据菱形的判定定理即可判断四边形的形状； （2）由折叠可知，所在圆的圆心为点，连接，，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据切线的判定得出与相切，结合可判断与所在圆的位置关系是相交． 【详解】（1）解：四边形为菱形，证明如下： ∵折叠， ∴垂直平分， ∴，，， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：与所在圆的位置关系是相交． 理由如下： 由折叠可知，所在圆的圆心为点， 连接，， ∵是直径， ∴， ∴与相切， ∵， ∴与所在圆的位置关系是相交． 类型二、圆锥侧面最短路径 【解惑】如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 【融会贯通】 1．今年9月23日是第五个中国农民丰收节，小明用3D打印机制作了一个底面周长为12cm，高为8cm的圆柱粮仓模型．如图是底面直径，是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过，两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B．48cm C． D．20cm 【答案】D 【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点C为的中点， ∵，， ∴装饰带的长度， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开−最短路线问题，以及学生的立体思维能力．解题关键是圆柱的侧面展开图是长方形． 2．如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为n， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故答案为：． 3．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍， （1）求它的侧面展开图的圆心角． （2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长 【答案】（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出n的值即可； （2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长． 【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°， 根据题意得2πr＝， 而l＝2r， 所以2πr＝，解得n＝90， 所以它的侧面展开图的圆心角为90°； （2）连接BB′，如图， 此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径， ∵r＝4， ∴l＝2r＝8， ∵∠BAB′＝90°， ∴△ABB′为等腰直角三角形， ∴BB′＝AB＝8． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 类型三、秦九韶与海伦公式 【解惑】《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式．若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把三角形的三边长代入面积公式，得出三角形的面积为，然后设这个三角形内切圆的半径为，再根据三角形的内切圆的半径垂直于三角形的三边，结合三角形的面积公式，得出，即，再把三角形的三边长代入面积公式，计算即可得出答案． 【详解】解：∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴ ， 如图， 设这个三角形内切圆的半径为， 则， 即， ∵三角形的三边a，b，c分别为7，6，3， ∴， 解得：， ∴这个三角形内切圆的半径为． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆、求代数式的值、二次根式的运算，解本题的关键在正确求出代数式的值． 【融会贯通】 1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，则a的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 设，则， 整理，得，解得． 当时，，∴（负值舍去）； 当时，，∴（负值舍去）． 故选D． 2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则其面积．这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若，，则此三角形面积的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式，根据完全平方公式的变形即可求出解． 【详解】解：∵，p=3，c=2， ∴， ∴a+b=4， ∴a=4−b， ∴ ∴当b=2时，S有最大值为． 【点睛】本题考查了二次根式与完全平方公式的应用，解答本题的关键是明确题意，表示出相应的三角形的面积． 3．【知识技能】 （1）已知，是关于x的一元二次方程 的两实数根，求m的取值范围； 【数学理解】 （2）已知，是关于x的一元二次方程的两实数根，等腰三角形的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【拓展探索】 （3）如图，如果三边的长分别为a，b，c，那么根据秦九韶一海伦公式可得．其中，在（2）的条件下，若和的平分线交于点I，求的面积． 【答案】（1）且；（2）10；（3） 【分析】（1）根据一元二次方程根的情况代入再结合一元二次方程的定义列出关于m的一元一次不等式组求解即可． （2）由题意知，再根据根的判别式求出m的值，进而可求出，再根据三角形的周长公式计算即可． （3）由（2）知，的三边长分别为3，3，4，结合题干得出，过点I 分别作，，，垂足分别为点 F，D，E．由角平分线的性质得出，再根据三角形面积公式得出，最后再根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得 且，化简得， 解得∶且． （2）由题意知，恰好是等腰三角形的腰长， ， 是关于x的一元二次方程的两实数根，， 解得： 解得： ∵ 的周长为． （3）由（2）知，的三边长分别为3，3，4， ， 如图，过点I 分别作，，，垂足分别为点 F，D，E． ∵I是的角平分线的交点， 解得， 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，等腰三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 类型四、婆罗摩笈多定理 【解惑】阅读与思考 下面是小宇同学的一篇数学日记，请认真阅读并完成相应任务． ×年×月×日    星期日   晴 “婆罗摩笈多定理”的拓展与思考 今天，我在一本数学杂志上看到一篇介绍印度数学家“婆罗摩笈多”的文章，文章转述了婆罗摩笈多在算术、不定方程、几何等内容上的伟大成就，其中还记载了以他的名字命名的一个定理，定理的内容与证明过程如下： 婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．即在如图1所示的圆内接四边形中，，垂足为，过点作，垂足为．延长与交于点，则． 下面是该定理的证明过程． 证明：，垂足为．，垂足为． ． ，． ． 与都是所对的圆周角， ．（依据1） ． ． ．（依据2） 同理，． ． 看了上面定理的证明过程后，我作出了如下拓展探究： 如图2，若弦与所在直线互相垂直，且相交于外一点，过点作，垂足为，与相交于点，则与仍然相等． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指_______，依据2是指_______． (2)小宇在拓展探究中得出的结论是否正确？请利用图2说明理由． (3)如图3，在图1的基础上，过点作，垂足为．延长交于点．连接．若，．请直接写出的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等，等角对等边 (2)正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等以及等腰三角形的性质即可得到答案； （2）根据，，可推出，再由圆内接四边形的性质可知，从而得到，结合，可得，则，同理，，即可得到结论； （3）取的中点，连接，，利用三角形中位线的性质可推出，，，，结合，可知，最后利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：与都是所对的圆周角， ，（同弧所对的圆周角相等） 依据1为同弧所对的圆周角相等； ， ，（等角对等边） 依据2为等角对等边； 故答案为：同弧所对的圆周角相等；等角对等边． （2）解：正确，理由如下， ，， ，， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 又， ， ， 同理，， ． （3）解：取的中点，连接，，如图， 则， 根据题意可知，， 为中位线， ，， 同理，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 在中，． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【融会贯通】 1．【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边． 证明：如图1所示内接于圆的四边形的对角线互相垂直，垂足为点，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点，由垂直关系得，，所以，由同弧所对的圆周角相等得，所以，则，同理，，故； 【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为　 　（填“真命题”，“假命题”）； 【探究】（1）如图2，和为共顶点的等腰直角三角形，，过点的直线垂直于，垂足为点，与边交于点．证明：点是的中点； （2）如图3，和为共顶点的等腰直角三角形，点是的中点，连接交于点，若，求的长． 【答案】【思考】真命题；【探究】（1）证明见解析；（2）4． 【思考】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用等量代换计算．结论可得； （1）过点作，交的延长线于点，利用同角的余角相等得出和，进而得到；再证明，结论可得； （2）过点作，交的延长线于点，易证，得到，．再进一步说明，可得，结论可得． 【详解】解：【思考】“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题． 理由如下：如下图， ∵，为的中点， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 即：． ∴命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一边”为真命题． 故答案为：真命题． 【探究】（1）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵为等腰直角三角形， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 即是的中点． （2）如下图，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合运用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，利用中点添加平行线构造全等三角形是解题的关键． 2．阅读与思考； 婆罗摩笈多是一位印度数学家与天文学家，书写了两部关于数学与天文的书籍，他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的，他还提出了著名的婆罗摩笈多定理，该定理的内容及证明如下：已知：如图，四边形ABCD内接与圆O对角线AC⊥BD于点M，ME⊥BC于点E，延长EM交CD于F，求证：MF=DF 证明∵AC⊥BD，ME⊥BC ∴∠CBD=∠CME ∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF ∴∠CAD=∠AMF ∴AF=MF ∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90° ∴∠FMD=∠FDM ∴MF=DF，即F是AD中点． （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成婆罗摩笈多逆定理的证明： 已知：如图1，四边形ABCD内接与圆O，对角线AC⊥BD于点M，F是AD中点，连接FM并延长交BC于点E，求证：ME⊥BC （2）已知如图2，△ABC内接于圆O，∠B=30°∠ACB=45°，AB=2，点D在圆O上，∠BCD=60°，连接AD 交BC于点P，作ON⊥CD于点N，延长NP交AB于点M，求证PM⊥BA并求PN的长． 【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析, PN=1． 【详解】试题分析：（1）由于AC⊥BD，所以∠AMD=90°，∠FAM+∠FDM=90°，由于F是AD的中点，所以AF=MF=DF，从而可证明∠EMC+∠MCB=90°． （2）由圆周角定理得出∠D=∠B=30°，由三角形内角和定理求出∠DAC=45°，得出△APC是等腰直角三角形，∴PA=PC，∠CPD=90°，由（1）的证明过程可知：PM⊥BA，再由含30°的直角三角形的性质即可求出AP=1，CD=2，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出PN的长度． 试题解析：（1）∵AC⊥BD， ∴∠AMD=90°， ∵F是AD的中点， ∴AF=MF=DF， ∴∠FAM=∠FMA， ∠FMD=∠FDM， ∵∠FDM=∠MCB，∠FMA=∠EMC， ∠FAM+∠FDM=90° ∴∠EMC+∠MCB=90°， ∴ME⊥BC； （2）∵∠ACB=45°，∠BCD=60°， ∴∠ACD=45°+60°=105°， 又∵∠D=∠B=30°， ∴∠DAC=180°﹣∠ACD﹣∠D=45°， ∴∠APC=180°﹣45°﹣45°=90°，△APC是等腰直角三角形， ∴PA=PC，∠APC=90°， ∴AD⊥BC， ∵ON⊥CD， ∴由垂径定理可知：N是CD的中点， ∴由（1）的证明过程可知：PM⊥BA ∵AB=2，∠B=30°， ∴AP=1， ∴PC=1， ∵∠D=30°， ∴CD=2PC=2， ∵N是CD的中点，∠CPD=90°， ∴PN=CD=1． 3．阅读下列材料，完成相应的任务． 婆罗摩笈多定理： 如图，四边形内接于，对角线，垂足为M，如果直线，垂足为E，并且交边于点F，那么． 证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵① ，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴② ． … 任务： (1)材料中①处缺少的条件为______，②处缺少的条件为______； (2)根据材料，应用婆罗摩笈多定理解决下面试题： 如图，已知中，，，分别交于点D，E，连接交于点P．过点P作，分别交于点M，N．若，求的长． 【答案】(1)①；② (2)1 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边的性质，关键是能熟练应用圆的有关性质，掌握相应角的定义和计算是关键． （1）根据圆周角定理和等角对等边的性质可得结论； （2）应用（1）的结论，圆内接四边形的性质，可求解．． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∴． 又∵，（同弧所对的圆周角相等） ， ∴． ∴． … 故答案为：①；②； （2）解：四边形是内接四边形， ， ， ，即， ， ， ， ， ． 类型五、阿基米德折弦定理 【解惑】【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据切线的性质和含角的直角三角形的性质求出，然后折线段的中点的定义求解即可； （2）在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，根据弧、弦的关系可得，根据圆周角定理可得，根据证明，得出，根据三线合一的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （3）在上截取，连接、、，，类似（2）探究即可得出结论。 【详解】（1）解：∵PA是的切线，A为切点， ， ， ， ， ， ∵B是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：如图3，在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA， 点M是的中点， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 解：，理由如下： 如图4，在上截取，连接、、，， 点M是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； . 【融会贯通】 1．请阅读材料，并完成下列问题． 阿基米德折弦定理 阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即． (1)下面是用“截长法”证明的部分过程． 证明：如图2，在上截取，连接． 是的中点， ． ． ．．． 请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分． (2)在图1中，若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键． （1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解； （2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 在中，， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，， 由（1）可知， 过圆心且， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 2．【了解概念】 折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【概念应用】 （1）如图2，的半径为是的切线，为切点，点是折线段的中点．若，则的长为______； 【认识定理】 爱动脑筋的小亮发现将折线段放在圆中，且、、三点都在圆上时，就有数学中著名的阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），是的中点，，垂足为，则． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【证明定理】 证明：如图3，在上截取，连接，，和． 是的中点， …… （2）请按照上面的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【灵活运用】 （3）如图4，已知等边三角形内接于，为弧上一点，于点，连接，若，，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定及性质，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． （1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出再由所给的定义求出的长即可; （2）在上截取连接，，和，可证明 得到则可证明； （3）先证明为等腰直角三角形，得到，再求出，由（2）同理得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线，为切点， ∵是折线段的中点， ． （2）证明：如图,在上截取连接，，和， 是的中点， 在和中， ， ； （3）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可得，， ∴的周长 ． 3．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，是的弦，点P在上，于点C，点D在弦上且，在上取一点Q，，连接，则． (1)如图2，小亮尝试说明，于是他连接了，，，．请你帮助他完成下列证明． ①求证：； ②求证：． (2)如图3，将材料中的“弦”改为“直径”，作直线l与相切于点Q．过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接，．若，，求的半径的长 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）根据题中条件，可知垂直平分线段，得到，根据圆内接四边形的性质，可知，再结合角之间的替换，即可证出；根据等弧对等弦，再结合，可得，再结合①中结论，即可证出． （2）连接、，根据题中条件证明，可得，再根据，，切线性质，可证，最后即可求出答案． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴垂直平分线段， ∴， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）如图，连接，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵直线l与相切于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 与（1）同理，可得， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题考查了关于圆的知识点，涉及到圆内接四边形的性质、切线的性质、垂直平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键． 类型六、弦切角定理 【解惑】阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1，所示，同学们研究发现：为圆上任意一点，当弦经过圆心时，且切于点，此时弦切角 （图2）． [问题拓展]若不经过圆心 （如图），该结论：弦切角还成立吗如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由． [知识运用]请运用以上结论解决如下问题 如图，是中的平分线，经过点的与切于点，与、分别相交于、．求证：． 【答案】[问题拓展]：成立, 理由见解析；[知识运用]：见解析 【分析】本题考查了切线的性质，直径对的圆周角是直角，圆周角定理； [问题拓展]：首先连接并延长交于点，连接，由圆周角定理可得，又由是直径，切圆于点，易证得，继而证得结论； [知识运用]：连接，是中的平分线，与切于点，可得，又由圆周角定理可得，继而证得结论． 【详解】解：[问题拓展]：成立． 证明如下：如图3，连接并延长交于点，连接， 则， 是直径， ， 又切圆于点， ， ， 而， ； 证明：[知识运用]如图4，连接， 是中的平分线， ， 与切于点， ， ， 在中， ， ． 【融会贯通】 1．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． 是的直径， ① ． 是过点B的切线， ② ． 即， 又和是弧所对的圆周角 ③ ． ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”） 【答案】(1)见解析 (2)；；；它所夹的弧所对的圆周角 【分析】（）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，作直线即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； 【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 作直线； ∴即为所求； （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴； ∵是过点的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 又∵和是弧所对的圆周角， ∴， ∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：；；；它所夹的弧所对的圆周角． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，切线的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 2．在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线（M在点B左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴ ① ． 即， ∴， ∵ ② ． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴ ③ ． ∴ ④ ． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于 ⑤ ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤它所夹弧所对的圆周角 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，同角的余角相等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点，连接即可； （）连接，由是的直径，得；又是过点的切线，则，即，故有，又，则，从而得出结论； 【详解】（1）解∶ 如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 连接； ∴即为所求； （2）证明：连接． ∵是的直径， ∴ ∵是过点B的切线， ∴． 即， ∴， ∵． ∴， 又∵和是所对的圆周角 ∴． ∴． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角． 故答案为：①；②；③；④；⑤它所夹弧所对的圆周角 3．【定义】我们把顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角． 【探索】弦切角的度数等于它所夹弧所对得圆周角度数． 已知：点A、B、C在上，是的切线，延长交于点D，连接、，则的弦切角． （1）特殊化：如图1，若是的直径，求证：； （2）一般化：如图2，是的弦，求证：； 【应用】（3）如图3，四边形是的内接四边形，是的切线，交延长线于点D，弦，若，求度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和圆周角定理． （1）连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，再利用等角的余角相等即可证明； （2）作直径，连接，同（1）即可证明； （3）连接，，利用垂径定理证明，由切线的性质得到，证明，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）作直径，连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）连接，， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型七、托勒密定理 【解惑】古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题： (1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握托勒密定理是解题的关键： （1）根据圆周角定理和相似三角形的性质，进行作答即可； （2）连接，作于点，根据圆周角定理，等弧对等弦，得到，，进而求出，设，则：，利用托勒密定理列式计算即可． 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ， （同弧所对的圆周角相等）． ． ∴， ． ， ． ， ， 即． ． ∴， ． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则：， 由托勒密定理，得：， ∴， ∴． 【融会贯通】 1．请阅读下列材料，完成相应的任务： 罗狄斯托勒密（ClaudiusPtolemaeus，约90年168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，著名的天文学家，地理学家、占星学家和光学家． 托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善． 托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积． 如图1，四边形内接于，求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图1，作，交于点E．∵，∴（依据1），∴（依据2），∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，… 任务： (1)托勒密定理的逆命题是______；上述证明过程中的“依据1”为______；“依据2”为______； (2)请完成后续证明； (3)如图2，以为直径的中，点C为上一点，且，的角平分线交于点D，连接，若，求的长． 【答案】(1)如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据逆命题，同弧所对的圆周角相等，两个角分别对应相等的两个三角形相似，进行作答即可． （2）如图，作，交于点E，证明，则，，由，可得，，即．证明，则 ，．则． （3）由为直径，可得，四边形为圆的内接四边形，由，可得，勾股定理求．由的角平分线交于点D，可得，，为等腰直角三角形，则．由四边形为圆的内接四边形，可得，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，托勒密定理的逆命题是：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形． 证明过程中的“依据1”为：同弧所对的圆周角相等； “依据2”为：两个角分别对应相等的两个三角形相似． 故答案为：如果一个四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，那么这个四边形是圆的内接四边形；同弧所对的圆周角相等；两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：如图，作，交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． ∴， ∴ ， ∴． ∴． ∴； （3）解：∵为直径， ∴， ∴四边形为圆的内接四边形， ∵， ∴，由勾股定理得，． ∵的角平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵四边形为圆的内接四边形， ∴，即，解得． 【点睛】本题考查了逆命题，等弧对等角，相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，含的直角三角形，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 2．探究问题：    (1)阅读理解： ①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离． ②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理． 知识迁移： ①请你利用托勒密定理解决如下问题： 如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：； ②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法： 第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆； 第二步：在上任取一点，连接．易知________； 第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离． (2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 【答案】(1)①见解析；②， (2)最小值为 【分析】（1）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证．②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解． （2）知识应用，在（1）的基础上先画出图形，再求解． 【详解】（1）解：①证明：由托勒密定理可知 是等边三角形 ， ； ②由题意可得： 线段的长度即为的费马距离．      （2）如图，以为边长在的外部作等边，连接，则知线段的长即为最短距离． 为等边三角形，， ，， ， ， 在中，，， ， 从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度的最小值为．    【点睛】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、勾股定理等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神． 3．【阅读材料】克罗狄斯•托勒密（约年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形中，有，当四点共圆时，有． 【尝试证明】 （1）请将证明过程补充完整： 如图1，四边形内接于，求证：． 证明：在上取点E，连接，使． 【直接应用】 （2）如图2，为的直径，，求的长； 【灵活运用】 （3）如图3，在等腰三角形中，，点D在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点C落在点E处，连接，则的长为__________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）在上取点E，连接，使，证明和，利用相似三角形的性质列式计算即可证明结论成立； （2）连接、、，由圆周角定理结合勾股定理求得，，利用（1）的结论求解即可； （3）先证明，求得，再证明A、B、E、D四点共圆，由（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）证明：在上取点E，连接，使． ∵， ∴， ∴， ∴①， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴②， 得， ∴； （2）解：连接、， ∵为的直径， ∴， ∵，，， ∴，， ∵由（1）得， 即， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴，， 由折叠性质得，，， ∴， ∴、、、四点共圆， 由（1）得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要多次相似解决问题，题目比较难． 类型八、新定义圆——几何函数型 【解惑】在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1)①；②， (2)S的最小值为，；S的最大值为， 【分析】（1）① 设，根据题意，得确定坐标，判断即可． ② 根据，，点C是弦的“关联点”，得到点C一定在直线上，设，根据题意，得，确定点C的坐标后，利用两点间的公式计算，的长即可． （2）根据题意，得， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值；利用切线长定理，勾股定理计算即可． 【详解】（1）① ∵点，，,点，， ∴， ∴不可能是的切线， 故不是弦的“关联点”， 设， 根据题意，得， ∴， 解得， ∴． 故符合题意，不符合题意， 故答案为：． ②根据，，点C是弦的“关联点”， ∴点C一定在直线上，设，, ∴， ∴， 解得， 故， ∵， ∴，． （2）∵直线与x轴，y轴分别交于点M，N， ∴，， ∴，， ∵对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”， ∴是的切线； ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为S， ∴， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值； ∵， ∴当T与N重合时，最大，此时，； 设与y轴的交点为G，根据切线长定理，得到，于点G， ∴， ∴； 根据垂线段最短，得当时，最小，此时，； 设与轴的交点为H，根据切线长定理，得到，于点H， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的基本作图，切线长定理，勾股定理，两点间距离公式，直角三角形的面积公式，最值的应用，垂线段最短，熟练掌握性质，勾股定理，切线长定理，最值的应用是解题的关键． 2．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据，，，得证四边形是矩形，结合，根据垂径定理，得证明四边形是正方形． （2）证明，得出；连接，设，交点为G，证明，得出，是的等垂弦． （3）分两种情况：当等垂点P位于圆内，当等垂点P位于圆外时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意，得，，， ∴四边形是矩形， ∵， 根据垂径定理，得 ∴四边形是正方形． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 连接，设，交点为G， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴，是的等垂弦． （3）解：当等垂点P位于圆内，如答图所示， 过点O作，垂足分别为E，F， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴； 当等垂点P位于圆外时，如答图所示， 过点O作，垂足分别为H，G， 根据题意，得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． ∵， 设，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，分类思想，正方形的判定和性质，熟练掌握圆的性质，正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 3．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】（1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为_________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，若的半径为6，求的最大值是多少？ 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径，连接， 则 ∵圆的半径为5， ∴， ∵， ∴. ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 类型九、动圆相切求t 【解惑】在矩形中，，，点是边上一点，且．点是直线上一点且在点的右侧，，点从点出发，沿射线方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间为秒，以为圆心，为半径作半圆；交直线分别于点，（点在的左侧）．    (1)当秒时，求的长； (2)当点与点重合时，求半圆被矩形的对角线所截得的弦长； (3)直接写出当为何值时，半圆与四边形的边相切． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）由点的运动速度可找出秒时的长，进而可得出的长， （2）过点作于点，利用面积法可求出的长，在中利用勾股定理可求出的长，再利用垂径定理可求出半圆被矩形的对角线所截得的弦长； （3）分三种情况讨论，当半圆与相切时；当半圆与相切时,，则重合，当半圆与相切时，在中，利用勾股定理可求出的长；设，则，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出的值，再结合即可求出此时的值． 【详解】（1）当秒时，， 又， ， 在中，，， ， （2）过点作于点，如图所示．   ，， ， ． 在中，，， ， 半圆被矩形的对角线所截得的弦长为 ； （3）解：如图所示，当半圆与相切时，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴； 如图所示，当半圆与相切时,，则重合，    ∴ ∴； 如图所示，当半圆与，相切时，设，则    在中， ∴， 解得： ∴ ∴； 综上所述，或或时，半圆与四边形的边相切． 【点睛】此题考查勾股定理、垂径定理、矩形的性质，切线的性质，分类讨论是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，正方形中，．动点从点出发，在边上以每秒的速度向终点匀速运动，同时动点从点出发，沿以每秒的速度向终点匀速运动，当、到达终点后停止运动，连接．设运动时间为（秒） (1)当秒时，则的面积_______________．（直接写出答案） (2)以为直径作，在点、的运动过程中，当与或所在直线相切时，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作于点，分别表示出，根据，求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （2）分与或所在直线相切时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，是等腰三角形， 依题意，，则，， ∴ 当时，， ∴， 故答案为：． （2）如图所示，过点作于点， 当与相切时，，则点与点重合， ∵,，是等腰三角形， ∴，即 解得： 当与相切时，，则是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得：． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，切线的性质，列代数式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 2．如图，在矩形中，，点M从A点出发沿以的速度向B点运动，同时点N从B点出发沿以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点M、N的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，？ (2)的面积能否为10，若能请求出t值，若不能请说明理由． (3)当时，内有一个动点P，连接，若，线段的最小值为　　　． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了矩形与动点．熟练掌握矩形性质，勾股定理，三角形面积公式，圆周角定理推论，是解题的关键． （1）根据矩形性质和，得到，根据勾股定理得到，得到，解得； （2）根据，，，得到，即，根据，得到方程没有实数根，的面积不能为10； （3）当，求得，根据，可得，可知点P是在以的中点O为圆心，以长为直径的圆弧上运动，运用勾股定理求出，可得最小值为： 【详解】（1）解：∵在矩形中，，，且， ∴． ∴． ∵， ∴． 解得． 故当t值为1或时，． （2）解：的面积不能为10．理由： ∵，，， ∴． 当时，， 即． ∴． ∴方程没有实数根，t不存在． （3）当时， ∵，， ∴． 解得． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴点P是在以的中点O为圆心，以长为直径的圆弧上运动． ∵， ∴． ∵， ∴当点P在上时，，最小． 最小值为：． 故答案为：． 3．探究与推理 如图1，在矩形中，，，连，点为上的一个动点，点从点出发，以每秒4个单位的速度沿向终点运动．过点作的平行线交于点，将沿对折，点落在点处，连交于点，设运动的时间为秒； (1)用含有的式子表示． (2)当为何值时，点恰好落在线段上； (3)如图2，在点运动过程中，以为直径作，当为何值时，与矩形的边相切？请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，与矩形的边相切，理由见解析． 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质以及勾股定理，可求出，再由，可得，即可求解； （2）根据折叠的性质可得垂直平分，从而得到，再由，即可求解； （3）连接，先求出，，然后分两种情况：当与边相切于时，当与边相切于时，即可求解． 【详解】（1）解：依题可知，由折叠可知 在矩形中，，， ， 又， ， ． （2）解：由折叠可知垂直平分， ， ， 点恰好落在线段上， ， ， ； （3）解：当或时，与矩形的边相切，理由如下： 连接， 依题可知，为的中点，为的中点，，，即半径为， ， 在矩形中，， 又，，， ， ，， ①当与边相切于时，如图①所示， 连接， 又， 、、三点共线 过作于 四边形为矩形， 解得； ②当与边相切于时，如图②所示 连接，并延长交于， ，， 四边形为矩形， ， 又，， 四边形为矩形， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握解直角三角形，切线的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质等知识是解题的关键． 类型十、无刻度尺作图 【解惑】请仅用无刻度的直尺完成下列题目（不写画法，保留画图痕迹．用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）． (1)如图，点是的边上一点，过点画一条直线把这个四边形分成面积相等的两部分． (2)如图，在正五边形中，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分． (3)如图，是的外接圆，点是弧的中点，画出的中线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）利用经过平行四边形的中心的直线把平行四边形的面积等分的性质解答即可； （）利用正五边形为轴对称图形的性质作出它的对称轴即可； （）利用垂径定理的推论找出的中点即可． 【详解】（1）解：作出平行四边形的对角线，交于点， 作直线， 则直线把这个四边形分成面积相等的两部分； （2）解：连接，它们交于点， 作直线， 则直线把这个五边形分成面积相等的两部分； （3）解：连接交于点， 画线段， 则线段为的中线． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正五边形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理推论，三角形的中线，掌握知识点的应用是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知，，，都是上的点，请仅用无刻度的直尺完成画图． (1)在图中，是的直径，平行四边形的顶点在上，画出弧的中点； (2)在图中，是的直径，平行四边形的顶点，分别在，上，画出弧的中点． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，菱形的判定与性质，垂径定理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接对角线，然后延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，连接，然后延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，连接对角线，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图，连接交于点，连接，然后延长交于点， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为半径， ∴， ∴， ∴点即为所求． 2．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： (1)在图1中，画出圆心O． (2)在图2中，点D为圆上任意一点，在圆上找一点E，使得是圆上最长的弦． (3)在图3中，点M是圆上任意一点（不与点A重合），作一条弦，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是圆的综合题，考查作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作的垂直平分交于点O，即可求解； （2）连接，并延长交圆O于点E，即可求解； （3）分别连接，并延长分别交圆O于点Q，P，即可求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，点E即为所求； （3）解：如图，即为所求． 3．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； (2)在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； (3)在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【详解】（1）解：如图所示，取格点M，连接，则点M即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，作直线，则直线即为所求； （3）解：如图所示，取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$