06讲等式与不等式性质（思维导图+知识梳理+常考题型）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）

2.1等式与不等式的性质 模块一 不等关系与不等式 1.不等式 用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 例1.（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为(    ) A. 与2的和是非负数，可表示为“” B. 小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮，可表示为“” C. 的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且” D. 若某天的温度为，最低温度为，最高温度为，则这天的温度范围可表示为“” 【答案】CD  【分析】 依据各选项中的描述依次列不等式，逐项判断即可． 【解答】 解：对于，与2的和是非负数，应表示为“”，故A错误； 对于，小明比小华矮，应表示为“”，故B错误； 对于，根据三角形的两边之和大于第三边，可知C正确； 对于，最低温度为，最高温度为，则这天的温度范围可表示为“”，所以D正确． 故选CD． 【变式1-1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于，且不大于设甲班和乙班的分数分别为，，则用不等式组表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据题意列出关系式，即可． 【解答】 解：由题意得 故选D． 【变式1-2】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到米以外的安全区，导火索的长度厘米应该满足的不等式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【分析】 当导火索的长度为厘米时，燃烧的时间为秒，为了保证安全，有． 【解答】 解：当导火索的长度为厘米时，燃烧的时间为秒，人跑开的距离为米， 为了保证安全，有． 故选C． 【变式1-3】足球赛期间，某球迷俱乐部一行人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有，两个出租车队，队比队少辆车若全部安排乘队的车，每辆车坐人，车不够，每辆车坐人，有的车未坐满若全部安排乘队的车，每辆车坐人，车不够，每辆车坐人，有的车未坐满则队有出租车(    ) A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 【答案】B  【解答】 设队有出租车辆，则队有出租车辆， 由题意得 解可得． 而为正整数，故10． 故选：． 模块二 比较大小 1． 两个实数大小的比较 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 2． 比较大小的基本方法 （1）作差法、作商法 ① 作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ② 作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 注意： ①作差法需要对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 ② 作商法需要同正或者同负彩可以使用。 （2）中间值法 其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值。 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法 对两式先平方，再比较大小． 例2-1.已知，，则(    ) A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C  【分析】 本题考查作差法比较大小，属于基础题． 【解答】 解：， 所以， 故选C． 例2-2.（多选）关于两个代数式，比较大小，下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD  【解析】 对于，在，符号不确定时，不能得出 对于，显然成立 对于，由于，故应为 对于，由于，故结论正确． 【变式2-1】设，，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】A  【分析】 利用作差法解出的结果，然后与进行比较，即可得到答案． 【解答】 解：因为，， 所以，， 故选A． 【变式2-2】若，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 由的取值确定 【答案】C  【分析】 平方作差即可求解． 【解答】 解：依题意， ， 又因为， 所以， 故选C． 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. 推论： a+b>c ⇒ a>c-b (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②糖水变甜：若a>b>0,m>0，则 例3.下列说法中，错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A  【分析】 逐项分析，利用不等式性质判断正误即可． 【解答】 解：对，取，，则，故错误 对，由，，得，故正确 对，，由，，得，所以，故正确 对，由，又，所以，故正确， 故选A． 【变式3-1】（多选）下列命题中真命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD  【分析】 本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 【解答】 解：对于：当，时，不成立，故A错误； 对于：若，则，故B错误； 对于：若，故，则，故C正确； 对于：若，则，故D正确． 故选：． 【变式3-2】（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是(    ) A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BC  【分析】 利用赋值法及不等式的性质逐项判断即可． 【解答】 解：若且，当，时，则，故A错误 B.， ，，，， 即，故B正确 C.若，则，则， 当时，，所以，故C正确； D.若且，因为，所以，必为一正一负； 又因为，所以，， 当时，当时，则 ，故D错误． 故选BC． 模块四 常用题型归纳 题型一：用不等式表示不等关系 1.中国南方航空公司关于乘客行李规定如下：国内航班经济舱每位乘客婴儿除外行李件，重量上限千克，且外部尺寸长、宽、高之和不超过设行李重量为单位：千克，外部尺寸长、宽、高分别为，，单位：，则这个规定用数学关系式可表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 根据题意，由不等式组表示即可． 【解答】 解：由题意，因为重量上限千克，则， 因为外部尺寸长、宽、高之和不超过，则， 故这个规定用数学关系式可表示为． 故选：． 2.糖水溶液中糖的量为克，糖水的量为克，，向糖水中再加入克糖，那么糖水将变得更甜，下面哪一个式子可以说明这一事实(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】 本题考查不等关系的确定，解题时要将题中的文字信息转化为数学语言，考查转化思想，属于基础题． 【解答】 解：向糖水溶液中加入克糖，糖水的浓度变为， 此时浓度变大，糖水更甜，即． 故选：． 3.已知甲、乙、丙三种食物的维生素，含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素单位 维生素单位 成本元 若用甲、乙、丙三种食物各，，配成的混合食物，并使混合食物内至少含有单位维生素和单位维生素． 试用，表示混合食物成本元，并写出，所满足的不等关系． 【解析】本题考查了用不等式组表示不等关系． 由混合食物成本为元可得，结合可得；由题意可得，把代入可得结合，可得答案． 【答案】 解：依题意，得， 又， ； 由及． 得 ，所满足的不等关系为   题型二：作差法比较大小 1.设，，，则的大小顺序是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 对  作差可求出  ，再对  作差可求出  ，即可得出答案． 【解答】 解：  ， 因为  ，  ， 而  ，所以  ，所以  ，  ， 而  ，  ，  ， 而  ，所以  ， 综上，  ． 故选：． 2.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C  【分析】 本题考查不等式的实际应用，利用作差法比较大小，属于基础题． 【解答】 解：由题意可得，，，， 且，， ， ． 故选：． 3.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比(    ) A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 【答案】B  【分析】 设法列出升级前后的屏占比表达式，由作差法可比较大小． 【解答】 解：设升级前屏幕面积为，整机面积为， 则屏占比为，设减小面积为，则升级后屏占比为：，则，即，屏占比变小． 故选：． 4.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积单位：分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为，，，且在不同的方案中，最低的总费用单位：元是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 作差法逐个选项比较大小可得． 【解答】 解：且， ， ； 同理 ， ； 同理 ， ， 最低费用为 故选：． 题型三：作商法比较大小 1.近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为元斤、元斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买元钱的牛肉，乙食堂每周购买斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价分别记为，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C  【分析】 由题意可知，，再利用作商法结合基本不等式比较与的大小即可． 【解答】 解：甲食堂购买牛肉的平均单价为：， 乙食堂购买牛肉的平均单价为：， 所以，当且仅当时取“”， 因为两次购买的单价不同，即， 所以， 即乙食堂的购买方式平均单价较大． 故选：． 2.已知，1，则、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】C  【分析】 利用作商法解答即可． 【解答】 解：， 又， 即，， ． 故选C． 3.已知，则与的大小关系为          ． 【答案】  【解析】【分析】 利用作商与比较计算得结论． 【解答】 解：由，得， ，， 而， ， ， ， 故答案为． 题型四：利用不等式的性质比较大小 1.已知，，则 A. B. C. D. 【答案】D  【分析】． 结合不等式基本性质，逐个选项判断即可． 【解答】 解：，，，， ，故选D． 2.若，则下列不等式中不成立的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 本题考查利用不等式的基本性质判断不等关系，属于基础题． 【解答】 因为，所以，所以，即，故A中不等式成立  ，即，故B中不等式成立  ，即，故C中不等式成立 当，时，，故D中不等式不成立 故选D． 3.设，，，且，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 对于、、可举出反例，对于利用不等式的基本性质即可判断出． 【解答】 解：、，但是，故A不正确； B、，但是，故B不正确； C、，但是，故C不正确； D、，，成立，故D正确． 故选：． 题型五：不等式的性质求取值范围 1.已知实数，满足，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】 令，，先得出，利用不等式的性质求取值范围即可． 【解答】 解：令，， 则 ， ， ， ，， ， 即， ． 2.已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 由已知可得，利用不等式的性质可得的取值范围． 【解答】 解：由已知，， 可得， 所以． 故选D． 3.已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】 设关于已知条件的线性关系，由题意可得参数，的值，再由题意求出的范围． 【解答】 解：设 ， 所以，解得，， 因为， 所以， 又， 所以， 即， 则． 故选：． 4.已知，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 利用不等式的性质可得的范围，利用不等式的可加性得答案． 【解答】 解：因为，所以， 因为，所以， 则的最大值是． 故选B． 5.实数，满足， 求实数，的取值范围 求的取值范围 【解析】 由不等式的同号相加法则进行化简求范围； 设，则，解得，的值， ，由不等式的性质计算即可． 【答案】解：由，， 两式相加得，则 由，得 又， 两式相加得， 则． 设， 则解得． ． ，， ，， 则．  题型六：利用不等式的性质证明不等式 1.按要求完成下面问题． 已知，，求的取值范围 已知，，证明“”是“”的充要条件． 【解析】 根据不等式的性质，求出的范围，即可根据性质求得； 先证充分性，再证必要性即可． 【答案】解：因为，所以， 所以， 又，所以，则， 所以， 故的取值范围为． 证明：先证充分性． 当时，可得，或，， 当，时，，，所以 当，时，，，所以， 当时，或，此时均有， 综上可知，当时，成立． 再证必要性． 由得，， 整理得，所以， 综上所述“”是“”的充要条件．  2.设，，，证明：的充要条件是． 已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 【解析】 分别证明充分性与必要性即可； 利用作差法比较大小即可比较与的大小． 【答案】解：证明： 充分性：如果， 那么 ， ， ， 必要性：如果， 那么， ， ，，， ， 综上知，的充要条件是； ， 证明： 由 ，都是正实数，且， ， 即  3.已知，求证：． 【解析】 由题意可得，又，所以，根据，，可得，即可得证． 【答案】证明：， ， ． ， ， ． 又， ． ，， ． ， 得证．   4.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． 证明糖水不等式； 已知是三角形的三边，求证：． 【解析】 由作差法，与做比较去证明即可； 根据三角形两边之和大于第三边，由糖水不等式变形证明． 【答案】 解：， 因为， 所以， 所以， 即． 因为是三角形的三边，所以， 由知， 同理， 所以， 所以原不等式成立．   5.请选择适当的方法证明． 已知，，且，证明：； 已知，，，证明：，中至少有一个不小于． 【解析】 利用作差法，对因式分解，判断正负即可证明； 利用反证法，假设、都小于，推出矛盾即可证明． 【答案】 证明：作差法： 因为 ， 因为且，，所以， 所以，得证． 反证法： 假设、都小于，即，，则有， 因为，，， 则， 这与假设所得相矛盾，因此，假设不成立． 所以、中至少有一个不小于．  学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1等式与不等式的性质 模块一 不等关系与不等式 1.不等式 用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接起来的数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 例1.（多选）下面列出的几种不等关系中，正确的为(    ) A. 与2的和是非负数，可表示为“” B. 小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮，可表示为“” C. 的两边之和大于第三边，记三边分别为，，，则可表示为“且” D. 若某天的温度为，最低温度为，最高温度为，则这天的温度范围可表示为“” 【变式1-1】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于，且不大于设甲班和乙班的分数分别为，，则用不等式组表示为(    ) A. B. C. D. 【变式1-2】在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒厘米，人跑开的速度是每秒米，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到米以外的安全区，导火索的长度厘米应该满足的不等式为(    ) A. B. C. D. 【变式1-3】足球赛期间，某球迷俱乐部一行人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有，两个出租车队，队比队少辆车若全部安排乘队的车，每辆车坐人，车不够，每辆车坐人，有的车未坐满若全部安排乘队的车，每辆车坐人，车不够，每辆车坐人，有的车未坐满则队有出租车(    ) A. 辆 B. 辆 C. 辆 D. 辆 模块二 比较大小 1． 两个实数大小的比较 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 如果a>b⇔a－b>0. 如果a＝b⇔a－b＝0. 如果a<b⇔a－b<0. 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 2． 比较大小的基本方法 （1）作差法、作商法 ① 作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ② 作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 注意： ①作差法需要对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 ② 作商法需要同正或者同负彩可以使用。 （2）中间值法 其实质是不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值。 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． （3）平方法 对两式先平方，再比较大小． 例2-1.已知，，则(    ) A. B. C. D. ，的大小无法确定 例2-2.（多选）关于两个代数式，比较大小，下列说法正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【变式2-1】设，，则与的大小关系是(    ) A. B. C. D. 无法确定 【变式2-2】若，，则，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 由的取值确定 模块三 等式性质与不等式性质 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. 推论： a+b>c ⇒ a>c-b (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc； 如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②糖水变甜：若a>b>0,m>0，则 例3.下列说法中，错误的是(    ) A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【变式3-1】（多选）下列命题中真命题的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【变式3-2】（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列命题正确的是(    ) A. 若且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若且，则 模块四 常用题型归纳 题型一：用不等式表示不等关系 1.中国南方航空公司关于乘客行李规定如下：国内航班经济舱每位乘客婴儿除外行李件，重量上限千克，且外部尺寸长、宽、高之和不超过设行李重量为单位：千克，外部尺寸长、宽、高分别为，，单位：，则这个规定用数学关系式可表示为(    ) A. B. C. D. 2.糖水溶液中糖的量为克，糖水的量为克，，向糖水中再加入克糖，那么糖水将变得更甜，下面哪一个式子可以说明这一事实(    ) A. B. C. D. 3.已知甲、乙、丙三种食物的维生素，含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素单位 维生素单位 成本元 若用甲、乙、丙三种食物各，，配成的混合食物，并使混合食物内至少含有单位维生素和单位维生素． 试用，表示混合食物成本元，并写出，所满足的不等关系． 题型二：作差法比较大小 1.设，，，则的大小顺序是(    ) A. B. C. D. 2.今年某地因天气干旱导致白菜价格不稳定，假设第一周、第二周的白菜价格分别为元斤、元斤，王大妈每周购买元的白菜，李阿姨每周购买斤白菜，王大妈和李阿姨两周买白菜的平均价格分别记为，，则与的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 3.平板电脑屏幕面积与整机面积的比值叫电脑的“屏占比”，它是平板电脑外观设计中的一个重要参数，其值在间，设计师将某平板电脑的屏幕面积与整机面积同时减少相同的数量，升级为一款“迷你”新电脑的外观，则该新电脑“屏占比”和升级前比(    ) A. “屏占比”不变 B. “屏占比”变小 C. “屏占比”变大 D. “屏占比”变化不确定 4.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积单位：分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用单位：元分别为，，，且在不同的方案中，最低的总费用单位：元是(    ) A. B. C. D. 题型三：作商法比较大小 1.近来牛肉价格起伏较大，假设第一周、第二周的牛肉价格分别为元斤、元斤，学校甲食堂和乙食堂购买牛肉的方式不同，甲食堂每周购买元钱的牛肉，乙食堂每周购买斤牛肉，甲食堂、乙食堂两次平均单价分别记为，，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. ，的大小无法确定 2.已知，1，则、的大小关系为(    ) A. B. C. D. 无法确定 3.已知，则与的大小关系为          ． 题型四：利用不等式的性质比较大小 1.已知，，则 A. B. C. D. 2.若，则下列不等式中不成立的是(    ) A. B. C. D. 3.设，，，且，则(    ) A. B. C. D. 题型五：不等式的性质求取值范围 1.已知实数，满足，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 3.已知，，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知，，则的最大值是(    ) A. B. C. D. 5.实数，满足， 求实数，的取值范围 求的取值范围 题型六：利用不等式的性质证明不等式 1.按要求完成下面问题． 已知，，求的取值范围 已知，，证明“”是“”的充要条件． 2.设，，，证明：的充要条件是． 已知，都是正实数，且，试比较与的大小，并证明． 3.已知，求证：．   4.如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． 证明糖水不等式； 已知是三角形的三边，求证：．   5.请选择适当的方法证明． 已知，，且，证明：； 已知，，，证明：，中至少有一个不小于． 学科网（北京）股份有限公司 $$