解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. (1)求C的方程； (2)C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 3．（24-25高二下·山西·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 5．（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 6．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 8．（2025·河北邢台·三模）椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 考点二 定值问题 1．（24-25高二下·江西新余·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高二下·广西崇左·期末）已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． (1)求的方程； (2)若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； (3)若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 5．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 7．（24-25高二下·北京顺义·期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设． (1)求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标． (2)求证：为定值． 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 考点三 定直线问题 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 2．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 3．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 6．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 7．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 8．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题专项训练 考点一 定点问题 1．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知椭圆：，点，，，中恰有两点在C上. (1)求C的方程； (2)C的左、右焦点分别为，，过点且斜率存在的直线与C交于P，Q两点. （i）若的面积为，求的斜率； （ii）过点P作直线：的垂线PR，垂足为R，试问直线是否过定点?若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）直线过定点. 【详解】（1）由题可知，，中有且仅有一点在椭圆C上， 故或. 若点在椭圆C上，则，不符合题意， 故点一定不在椭圆C上， 所以点一定在椭圆C上. 当点，在椭圆C上时， ，解得. 则椭圆C的方程为； 当点，在椭圆C上时， ，方程组无解. 综上，椭圆C的方程为. （2）（i）由题意知直线的斜率不为0，故设其方程为，， 联立，可得，过点,则， 设，故， 则， 故, 即得，设，则，解得或（舍去）， 解得，故l方程为,即； （ⅱ）由（i）知当直线的斜率存在且不为0时，， 且，则. 所以直线的方程为. 由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 令，得 . 所以直线过点. 当直线的斜率为0时，直线：，过点. 综上，直线过定点. 2．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动． (1)求C的方程． (2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r． (3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是， 【详解】（1）因为抛物线C：经过点，所以， 解得或， 又C的焦点F在x轴的正半轴上，所以，则，则C的方程为． （2）设，． 由得，，则 ， ． 因为点到直线AB的距离， 所以的面积， 所以． （3）是，定点坐标为， 因为EF平分，所以， 设，， 则， 因为，，所以， 整理得， 则， 即．① 将代入，得， 则 代入①可得， 因为，所以，即， 所以直线方程为， 所以直线AB过定点． 3．（24-25高二下·山西·期末）已知抛物线的焦点为，是上一点，且.椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，是上一点. (1)求，的方程； (2)已知为上的一点（异于A，B两点），直线，分别与直线相交于P，Q两点，求的最小值； (3)已知直线与交于M，N两点，直线和的斜率分别为，，且，证明:直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)，的方程为 (2)6. (3)证明见解析，定点. 【详解】（1）因为，且，所以，解得， 所以抛物线，， 设的半焦距为，则由题意得解得 所以的方程为. （2） 设，，， 因为A，R，P三点共线，所以， 又，，所以， 所以，同理， 所以. 因为点在，所以，所以， 所以， 令，则， 代入并整理，得， 所以， 解得，所以，即的最小值为6. （3） 设，， 联立消去并整理，得， 所以，化简得， 由韦达定理得，， 所以， 此时，即， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以直线过定点. 4．（24-25高二下·陕西西安·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． (1)求的标准方程； (2)若，求直线的斜截式方程； (3)若，，三点不共线，且，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，由题意， 当时，过点且垂直于轴的直线为， 将代入双曲线方程，得，解得；又，则， 又，所以，结合，得， 解得或， 所以，所以双曲线的标准方程为； （2）易知直线的斜率存在，设， 则，作差可得， 所以， 因为线段AB的中点坐标为，所以， 所以，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，即. （3）由，，三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，则，所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 5．（24-25高二下·浙江·期末）已知抛物线，且过抛物线焦点作直线交抛物线于，两点，弦长最小值为4 (1)求抛物线的方程； (2)过点作直线交抛物线于点，且直线过定点，连接直线并交抛物线于点，请问直线是否经过定点，若是请求出定点坐标，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)直线经过定点 【详解】（1）因为抛物线，所以焦点坐标为：， 过该焦点的直线方程为：，与抛物线的交点为：，， 与抛物线方程联立得：，则， 而由抛物线的定义可知， 因为，所以当时，有最小值，所以， 所以抛物线方程为. （2） 由（1）得，直线方程为，且① 设直线方程为， 与抛物线方程联立得：，则② 设直线方程为，，同理可得③ 联立①②③可得 设直线方程为 与抛物线方程联立得：，则 因为，所以，所以直线经过定点 6．（24-25高二下·云南·期末）已知双曲线的离心率为为坐标原点，过点的直线交于，两点，其中点在第一象限. (1)求的标准方程. (2)设. ①求直线的方程. ②过点作斜率分别为的两条直线，且直线与交于另一点，直线与交于另一点.若，证明直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【详解】（1）因为的离心率为，所以，解得， 所以的标准方程为. （2） ①由，得点在以为圆心，5为半径的圆上. 设，则解得即， 所以直线的斜率为，直线的方程为，即. ②当直线的斜率不存在时，点关于轴对称，设， 由，得，即，解得，不符合题意， 所以直线的斜率存在. 设直线，由得， 则，即. 设，则， 因为，所以，即， 得， 所以，即， 所以或. 当时，直线的方程为，经过定点，不符合题意； 当时，直线的方程为，经过定点. 综上，直线过定点，且定点坐标为. 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知分别是双曲线的左､右焦点，是的右顶点，，且与椭圆有相同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与的公共点个数为1，求的值； (3)已知是上不同的两点，直线的斜率分别为不在直线上，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【详解】（1）椭圆的焦点为，所以双曲线的焦点也为，即. 因为，所以，所以， 故双曲线的方程为. （2）联立，得，即. ①当，即时，直线与的渐近线平行，只有1个交点； ②当，即时， 直线与相切，只有1个交点. 综上，当直线与的公共点个数为1时，或； （3）    易知，如图，设， 显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且. 联立，消去得， 显然， 所以， 因为， 所以， 化简得，即， 又，化简得，所以直线过定点. 8．（2025·河北邢台·三模）椭圆：的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)圆：在椭圆内，过的右顶点作圆的两条切线，，斜率分别为，，且分别与交于，两点（均不与点重合）. ①求的值； ②当变化时，证明：直线与轴交于定点. 【答案】(1) (2)①1；②证明见解析 【详解】（1）由题意可得，且， 又，解得，，，故的方程为. （2）①由题可得，设直线，的斜率分别为，， 则直线的方程为， 由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离， 整理得，同理， 则，为方程的两个根，所以. ②证明：设，，由得， 则，即，所以， 所以， 同理得， 直线的斜率 ， 所以直线的方程为， 令，得， 所以直线与轴交于定点. 考点二 定值问题 1．（24-25高二下·江西新余·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程； (3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定点，定值为1 【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． （3）设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 2．（24-25高二下·广西崇左·期末）已知双曲线：（，）的焦距为，，且点在上． (1)求的方程； (2)若直线：与的右支交于点（），求的取值范围； (3)若，是上不同的两点（异于点），的平分线垂直于（为坐标原点），证明：直线的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【详解】（1）由题知， 则的方程为. （2）因为直线：与的右支交于点（）， 所以， ， 则的取值范围为. （3）证明：根据题意直线斜率存在， 设，， ， ， ， ， 由（1）知，又的平分线垂直于， 所以直线的斜率互为相反数， 即 ， ， 异于点，点不在直线上， 即， 所以， 即直线的倾斜角为定值. 3．（24-25高二下·上海闵行·期末）在直角坐标系中，已知椭圆（）的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，请求出与的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由已知椭圆的长轴长为，即， 又椭圆的离心率，则， 所以， 故椭圆方程为； （2）由已知直线的斜率为，且过点，则直线的方程为， 设，， 联立直线与椭圆，得， 则，即， 且，， 则， 则， 解得； （3）当直线斜率存在时，设直线，即， 联立直线与椭圆，得， 则， 且，， 则，， 则， 又恒为定值， 则，解得，即， 且； 当直线斜率不存在时，直线， 则，则，， 此时， 则， 易知当时，.    4．（2025·安徽芜湖·模拟预测）在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为2，过点且倾斜角为45度的直线交双曲线于，两点（在轴右侧）且，． (1)求双曲线的方程； (2)若直线是过的右支上点的切线，且不与轴垂直，过，分别作直线的垂线，垂足为，． ①求证：点，均在以为圆心的定圆上，且，； ②求证：是定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1），，， 设，，， ， 设，，则， ， 所以直线与双曲线交点位于两支上，即点在轴左侧， 又，， 解得：， 又， 即，又，解得， ， . （2）（2）①设，， 由双曲线光学性质，， ，， ，均为等腰三角形， ，，， 又，分别为，的中位线， ，， 又， ，同理，， ，在以原点为圆心的单位圆上.    ②法一：设关于的对称点为点，设处双曲线的切线交于， 由对称性：， 由于的左右顶点为， 故，，，，均在单位圆上，如图， 由圆的性质得； 法二、设，过的直线 ， 即，故， 又，故， 所以，即，解得， ， 又， ， ， ∴. 5．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆，圆.若动圆与圆外切，且与圆内切，设动圆圆心的轨迹为.不过原点O的动直线与曲线交于两点，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若. (1)求轨迹的方程； (2)试问：直线OA，OB的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. (3)试问：四边形的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 (3)是定值， 【详解】（1）设动圆的半径为R，动圆与圆外切，则， 又因为动圆与圆内切，结合图象可知：，， 所以， 由椭圆的定义可知，动点在以、为焦点，为长轴长的椭圆上， 设椭圆的方程为，半焦距为， 则，，， 又可知圆与圆内切，所以点C不能在切点处，即椭圆应去掉点， 曲线C的方程为. （2）直线OA，OB的斜率乘积不是定值，理由如下：设，则， 因为，所以，进而， 由点F在曲线E上得, 所以, 又因为点A，B均在E上，即，带入上式得, 所以不为定值； （3）因为点A，B均在E上，所以， 两式同向相乘得，整理得：, 由（2）知，带入上式解得：， 又因为 ， 所以. 7．（24-25高二下·北京顺义·期中）椭圆的左、右顶点分别为A，B过右焦点F的直线l与椭圆交于C，D两点（与A，B重合），设． (1)求椭圆的离心率e与右焦点F的坐标． (2)求证：为定值． 【答案】(1)，. (2)证明见解析 【详解】（1）由椭圆方程得，， 则，. 所以离心率. 椭圆右焦点坐标为. （2）由题，， 如图，当直线l的斜率时， 设， 则， ， 联立，消x得， 且，则. 所以，代入得， ， 当直l的斜率时，可得， 不能做比值，所以情况不存在； 所以为定值，得证. 8．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 考点三 定直线问题 1．（24-25高二下·广西桂林·期末）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，且． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点（不与，两点重合）． （i）若的面积为，求的方程； （ii）若直线与直线交于点，证明：在一条定直线上． 【答案】(1)； (2)（i）或；（ii）证明见解析. 【详解】（1）由题意，，即，解得，则， 所以，椭圆的方程为. （2） 由题意，直线不与轴重合，且过点，设直线， 联立，可得， 则， 设，则. （i）因为，所以， 则，即， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以，， 所以直线的方程为,即或. （ii）由题意，， 所以直线，直线， 联立两直线方程，消去可得，即， 整理得，即， ， 即，解得， 所以，直线与直线的交点在定直线上. 2．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 3．（2025·甘肃白银·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形为正方形，点，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过的直线与交于，两点，求证：； (3)已知直线交椭圆于，两点，直线，相交于点.试判断点是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)在， 【详解】（1）解：由四边形为正方形，点，且的面积为， 可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：证明：由（1）可得，， 若直线与轴重合，则，为椭圆长轴的端点， 不妨设点，则，所以，， 所以成立； ②若直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设点，，所以， 且，， 则 ， 所以轴平分， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 又， 所以，两式相除得. （3）解：由（1）可得，， 联立方程组，整理得， 则，可得， 设点，，则，， 直线的方程为，直线的方程为， 设直线和的交点为， 则， 把，代入上式得，整理得， 所以点在定直线上，定直线的方程为. 4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线（非y轴）交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，则，所以， 将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为． （2）易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为， 并设点，AD的中点坐标设为． 联立方程，消去y，得， 所以，且即或, 由条件，，点B，P，D共线，其中，， 则， 所以， ， ， ， 而， 所以，可得， 而，故， 又，所以， 即线段AD的中点在定直线上． 5．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 6．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 7．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程与准线l的方程； (2)求的最小值； (3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)； (3)N在定直线上，直线方程为：. 【详解】（1）由是C上一点，且，结合抛物线定义， 可得准线方程为：，则焦点为，则； （2）由题可得点F的直线的斜率存在， 设过点F的直线方程为：，将直线方程与抛物线方程联立， 可得，判别式为. 设，由韦达定理，可得，则. 又由抛物线定义可得， 当且仅当，即时取等号； （3）设，， 则在处的切线方程为：. 令，得，设，则. 又注意到，， 则.因， 则，从而，即N在定直线上， 直线方程为：. 8．（2025·湖南岳阳·三模）已知抛物线的顶点在坐标原点处，对称轴为轴，且过点，，是上两个动点． (1)求抛物线的标准方程； (2)已知是上一点，且的焦点为的重心，设的横坐标为，求的取值范围； (3)已知为直线在第二象限内一点，直线，与抛物线分别相切于，两点，设，与轴分别交于，两点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）设抛物线方程为，代入点，得，得， 所以抛物线的标准方程为； （2）设，，， 则重心坐标公式可知，，， 得，， 且，，， 所以，且， 所以，得且， 综上可知，的取值范围是； （3）直线的斜率，直线的方程为， 设，，， 两边求导，，得， 设，， 抛物线在点处的切线方程为，即， 因为切线过点，即， 整理得， 同理，抛物线在点处的切线方程为， 所以是方程的两个根，则，， 切线，令，得，得，同理， 直线的方程为，即， 同理，直线的方程为， 设直线与直线的交点为， 联立直线与直线的方程为， ，得， 且，代入上式化简为，① 代回直线得，， 得 即，② 由①②可得， 所以直线与直线的交点在定直线上上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$