解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题 专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广西南宁·三模·多选）的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的面积为 D．的外接圆的面积为 6．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 7．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为 . 9．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 10．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 11．（24-25高一下·福建三明·期中）记的内角所对的边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长； (3)求边上的中线长度的最小值. 12．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝. (1)求角B的大小； (2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度； ②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度. 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 14．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 考点二 角平分线问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模·多选）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏扬州·期中）中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为 ． 8．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 9．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 10．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 13．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 14．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 考点三 高线问题 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 4．（24-25高一下·福建福州·期末·多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·海南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设边上的高为，若为锐角，，则的最大值为 ． 6．（24-25高三下·山西大同·期末）在中，已知，若边上的高为，则 ． 7．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 8．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 (1)求A； (2)若，，求BC边上的高 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求边上的高. 11．（24-25高一下·山西大同·期末）已知在中，，． (1)求； (2)设，求边上的高． 12．（24-25高一下·海南海口·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练 考点一 中线问题 1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在中，已知是边上的中线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由余弦定理得：， 再由余弦定理得：， 则， 故选：B 2．（24-25高一下·江苏淮安·阶段练习）的内角的对边分别为．其中，则边上的中线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 则， 则 ， 则，即. 故选：A. 3．（24-25高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形中，已知边上的两条中线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】法一：分别是的中点，. 与的夹角等于， ， 则； 法二：以为轴，过点作与垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，则 ， 则 ； 法三：在中，由余弦定理， 又因为P为的重心，则， 在中再由余弦定理， 在中由余弦定理， 在中，由余弦定理，则 . 故选：D. 4．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）如图，在中，已知，，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，，由余弦定理得， 则，为直角三角形，且， 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 则，， 所以. 故选：C 5．（2025·广西南宁·三模·多选）的内角的对边分别为，且，，边的中线，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．的面积为 D．的外接圆的面积为 【答案】ACD 【详解】由，根据正弦定理得，， 整理得，因为， 所以得，解得，故A正确； 因为为边的中线，所以，整理得，即， 又，解得或（舍）， 所以，故B错误； ，故C正确； 根据余弦定理，，即，解得，又由正弦定理得，解得， 所以的外接圆的面积为，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高一下·福建厦门·期中·多选）的内角的对边分别为，且，，若边的中线，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【详解】根据正弦定理，由可得， 即，因为，所以， 所以，所以，所以A正确，B错误； 因为为边的中线，所以，两边同时平方可得， 因为，所以，即，解得或（舍去）， 所以，所以C正确； ，所以D正确. 故选：ACD 7．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【答案】7 【详解】在中，由余弦定理得， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，即的长为7. 故答案为：7 8．（24-25高一下·山东淄博·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，，则的中线的最大值为 . 【答案】/ 【详解】 ， 即，即，又，所以， 又的中线，所以， ， 又为锐角三角形，所以，， 即时，. 故答案为： 9．（2025·河北石家庄·三模）设的内角、、的对边分别为、、，已知． (1)求角的大小； (2)若，且，求边上中线的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由及正弦定理得 ， 即， 因为、，则，即，可得，故. （2）由正弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，， 因为为边上的中线，所以， 所以 ，故， 因此，边上的中线的长为. 10．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）在锐角中，设角，，的对边依次为，，，满足． (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设知， 由正弦定理得①， 又，则， 将上式代入①式得， 即， 即， 又，，故，即，即，， 又，得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得， 在中，由余弦定理得，即， 所以， 在中，由正弦定理得，所以，， 所以， 因为为锐角三角形，所以且，解得， 所以．所以，所以， 所以中线的取值范围是. 11．（24-25高一下·福建三明·期中）记的内角所对的边分别为，若，且. (1)求角的大小； (2)若，求的周长； (3)求边上的中线长度的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 又由余弦定理，可得， 因为，所以. （2）解：因为，由正弦定理得， 因为，所以，所以， 又因为，所以，则， 由，可得，所以， 所以的周长为. （3）解：因为，由余弦定理得，即， 又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以， 因为为边上的中线，可得， 所以， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 12．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝. (1)求角B的大小； (2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度； ②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）∵，则由正弦定理可得， ∴，∵，∴，， ∴，解得． （2）①由（1）可得，即 则，解得， 则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为： ． ②由（1）可得，设的外接圆半径为R， 则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：． 13．（24-25高一下·河南南阳·期末）在锐角中，设角的对边依次为，满足. (1)求的大小； (2)若，求边上的中线的取值范围. 【答案】(1). (2) 【详解】（1）由题设知. 由正弦定理,可得.① 又，则. 将上式代入①式得 即， 即. 又，，故， 则，即. 又，则，则，解得. （2）因为为的中点，所以， 两边平方得. 在中，由余弦定理得，因， 即， 所以. 在中，由正弦定理得，即得，， 所以 . 因为锐角三角形，则且，解得， 则，故，故， 则， 故中线的取值范围是. 14．（24-25高一下·河北石家庄·阶段练习）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)已知，求边上的中线的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理得， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 代入数值得，解得（舍去）或， 因为是的中点，所以， 所以， 所以，即边上的中线的长为. 考点二 角平分线问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）在中，三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c，的角平分线为CM交AB于M且,,，则线段（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由余弦定理可得：， 因为，所以， 因为为的角平分线，所以， 且， ， 则， 可得：. 故选：B. 2．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，，，，的角平分线交于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 如图记， 由余弦定理可得，， 因为，解得：， 由可得， ， 解得：． 故选：C 3．（24-25高一下·安徽亳州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 4．（24-25高二上·湖北鄂州·阶段练习）在中，，E是边中点，线段AE长为 ，，是边上一点，是的角平分线，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】因为E是边中点，所以， 所以， 所以， 所以，即，得， 因为是的角平分线，所以， 因为， 所以， 所以， 所以，得. 故选：A 5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模·多选）在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（   ） A． B．的外接圆周长为 C． D． 【答案】ABD 【详解】在中，由余弦定理可得，所以，故A正确； 又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确； 因为BD为的角平分线，所以，所以，所以， 在中，，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选:ABD． 6．（24-25高三上·安徽芜湖·期末·多选）在中，，，，的角平分线交于，则（   ） A．是钝角三角形 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，因为，， 所以， 三个角度都小于，所以是锐角三角形，选项A错误； 对于B，根据正弦定理， 因为，，， 得，选项B正确； 对于C，因为的角平分线交于，，所以， 由选项A可得，则， 因为，所以，选项C正确； 对于D，在中，根据正弦定理可得， 因为，，，， 所以，故选项D错误. 故选：BC. 7．（23-24高一下·江苏扬州·期中）中，角的平分线交边于点，则角平分线的长为 ． 【答案】/ 【详解】依题意，设，, 由,可得，， 解得:. 故答案为：. 8．（23-24高一下·山东临沂·期中）在中，已知的角平分线，则的正弦值为 ． 【答案】 【详解】因为，，的角平分线， 由等面积可得， 即， 即， ，因为， 所以，， 所以． 故答案为：． 9．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且.    (1)求； (2)若，，设为的角平分线，求的长. (3)若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）在中，由及由正弦定理，得， 而，则，又， 所以. （2）由（1）知，由为的角平分线，得， 即，而，， 所以. （3）由（1）知，由，得， 又，由余弦定理，得， 即，解得， 所以的周长为. 10．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）的内角的对边分别为，满足. (1)求； (2)的角平分线与交于点，求的最小值. 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，即， 由，所以，化简得， 所以，所以. （2）由， 得， 即，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 11．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，的对边为，，，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理，因为，所以， 所以； （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由为的中点，所以， 所以 ，当且仅当时，等号取得到， 所以，则，故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 所以， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故，故的最大值为 12．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，D为BC中点，求线段AD长； (3)若该三角形面积为，AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，由余弦定理得，而， 所以. （2）由（1）知，，由D为BC中点，得，而， 所以. （3）由的面积为，得，解得， 由为内角的角平分线，得， 由，得， 因此，，当且仅当时取等号， 所以线段AD长的最大值为. 13．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，，分别为角，，的对边，. (1)求； (2)若，，点在边上，且是的角平分线，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. 可化为. 所以 由正弦定理可得， 由余弦定理可得：，所以：. （2）三角形如图所示. 由是的角平分线得， 法一：， 又， 所以. 法二：因为， 所以. . 14．（24-25高二下·贵州六盘水·期末）在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知且. (1)求； (2)求的最大值； (3)若的角平分线交于点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，得， 即， 所以，而， 所以. （2）由（1），，即， ， ，即，当且仅当时，取等号. 所以的最大值为. （3）由（1），，， ，即， ， 由，得， 所以， 由，令， 设，则， 所以在上单调递增， ，即， 所以的取值范围为. 考点三 高线问题 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 2．（24-25高一下·河北·期末）在中，角所对的边分别是，若，边上的高为，则角的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为边上的高为， 所以，即， ，当且仅当取等号， ，即，即， ，则， ，故角的最大值为. 故选：B. 3．（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为， 代入上式可得：， 即，因为，所以，得到， 则，正确； 对B，由，且， 因为，，所以， 可得，又， 由正弦定理得，则，所以， 则， 因为，所以，边上的高为， 因为，，又，，则，，正确； 对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误； 对D，的面积，正确． 故选：ABD 4．（24-25高一下·福建福州·期末·多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，，由，得，由正弦定理得 ，而，因此，A正确； 对于B，由及正弦定理得， 即，则 ，即，又， 因此，又，则，，B正确； 对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知， ，而 解得，即，矛盾，C错误； 对于D，由选项A知，，而， 则，整理得， 而，因此，又，则， ，D正确. 故选：ABD 5．（24-25高一下·海南·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，设边上的高为，若为锐角，，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】由，利用正弦定理得， 又，则， 为锐角，则， 由余弦定理可知， 由等面积法知，即， 则， 当且仅当时取等号， 则的最大值为． 故答案为：． 6．（24-25高三下·山西大同·期末）在中，已知，若边上的高为，则 ． 【答案】/ 【详解】设角所对的边为c，依题意得边上的高，而， 所以，，在中，， 在中，； 在中，． 故答案为： 7．（2025·海南三亚·一模）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求边上的高的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 因为，所以， 又因为锐角三角形，，所以. （2）由余弦定理 可知 又因即代入上式可得 则的面积为 则 解得：. 8．（2025·江苏宿迁·二模）记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且 (1)求A； (2)若，，求BC边上的高 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，，， 所以，， 因为，所以，所以，； （2）由余弦定理得可得，所以， 因为的面积， 所以，所以 10．（24-25高一下·河北石家庄·期中）记的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若的面积为，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理，得，又，所以， 所以， 整理得，即， 又，所以， 所以，故. （2）由的面积为，得，所以. 结合，可得， 设边上的高， 由，解得. 11．（24-25高一下·山西大同·期末）已知在中，，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由于为锐角，所以， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 12．（24-25高一下·海南海口·期末）在中，，，分别为角，，的对边，且． (1)求角； (2)若的面积为，，求边上的高的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由结合正弦定理可得 因为，则 所以． 则有故． （2）由得 因，所以 由余弦定理得 所以，解得 所以 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$