精品解析：福建省泉州市四校联盟2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

福建省泉州市四校联盟高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（ ） A. 26 B. 23 C. 21 D. 19 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 曲线的一条对称轴为直线 C. 的单调递减区间为 D. 将余弦曲线向右平移个单位长度可得到曲线 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的展开式的二项式系数之和为 D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则______，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. （1）在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. （2）在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． （1）若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 19. 已知函数，， （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省泉州市四校联盟高二期末考试 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的结论求参数的值. 【详解】因为，所以.即． 故选：A 3. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算，得到答案. 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：D 4. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 5. “为等比数列”是“为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 6. 某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于5万元，且小于30万元，销售价格分为五组：，，，，（单位：万元）.统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的80%分位数为（ ） A. 26 B. 23 C. 21 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率直方图的性质，结合百分位数的概念，即可求解. 【详解】由频率分布直方图知， ，所以. 设销售价格的分位数为， 因为，1， 所以销售价格的分位数在内. 由，得. 故选：C. 7. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【详解】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为． 故选：B 8. 已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 曲线的一条对称轴为直线 C. 的单调递减区间为 D. 将余弦曲线向右平移个单位长度可得到曲线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数的周期确定的值，判断A的真假；利用整体代换法求函数的对称轴，判断B的真假；求函数的单调减区间判断C的真假；利用函数的图象变换判断D的真假. 【详解】因为，所以，故A不正确； ，令，得曲线的对称轴为直线，令，得，所以B正确； 令，得的单调递减区间为，所以C正确； 将余弦曲线向右平移个单位长度得到曲线，所以D不正确（或由余弦曲线的周期为，平移后周期不变，判断D不正确）． 故选：BC 10. 已知，则（ ） A. B. C. 的展开式的二项式系数之和为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理进行求解，注意，，故为锐角，从而得到答案. 【详解】由正弦定理得， 又，，，所以， 其中，，故为锐角，所以. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则______，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则______． 【答案】 ①. 4 ②. 8 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求抛物线上的点到的距离和的最小值，确定的值；利用导数，写出抛物线的切线方程，再根据直线与圆的位置关系，确定点纵坐标，结合抛物线的定义，求. 【详解】如图： 设点在的准线上的射影为，则， 要使得取得最小值，即取得最小值， 当三点共线时，取得最小值， 由4，得． 因为，所以. 设，则切线的方程为，即． 因为切线与圆相切， 所以，化简得，解得（舍去）或， 因为，所以． 故答案为：4；8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）求； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用累加法求出数列的通项公式; （2）由（1）可得,利用裂项相消法计求和即可. 【小问1详解】 因为， 所以 【小问2详解】 因为， 所以. 16. 已知正方形ABCD，沿BD将折起到的位置（如图），G为的重心. （1）在BC边上找一点E，使得平面PCD，并求出的值. （2）在（1）的条件下，设. ①证明：平面平面BCD. ②求平面PGC与平面PDE所成角的余弦值. 【答案】（1）当平面PCD时， （2）①证明：取BD的中点O，连接PO，CO，FO，则，. 因为，，所以. 因为，，平面，所以平面FOC. 因为平面FOC，所以. 因为，，平面，所以平面PBD. 因为平面BCD，所以平面平面BCD. ② 【解析】 【分析】（1）取PD的中点F，可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）①取BD的中点O，根据线面垂直可证平面PBD，进而可得面面垂直；②建系标点，分别求平面PGC与平面PDE的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 当平面PCD时，. 证明如下：取PD的中点F，连接BF，CF，GE. 因为G为的重心，所以，所以. 因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. 【小问2详解】 ①略 ②由①知，直线OB，OC，OP两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方形ABCD的边长为6， 则，，，，，. 连接PE，DE，可得，. 设平面PDE的法向量为， 则令，得. 平面PGC的一个法向量为. 设平面PGC与平面PDE所成的角为， 则， 所以平面PGC与平面PDE所成角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为. （1）求椭圆W的方程； （2）直线与椭圆W交于A，B两点，连接，交椭圆W于点C，若的面积为5，求直线AC的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式、过焦点垂直于轴的弦长公式以及椭圆中的关系求解椭圆方程. （2）先设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出弦长，再根据三角形面积公式求出直线方程. 【小问1详解】 解：由题意得过点且垂直于x轴的直线方程为，代入椭圆，得， 又该直线所截得的线段长为，即， 椭圆的离心率， 又，故可列方程组为 ，解得，， 故椭圆W的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线AC不垂直于y轴，直线AC经过， 设直线AC的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 由韦达定理得，，， . 点（坐标原点）到直线AC的距离， 且是线段AB的中点，所以点B到直线AC的距离为2d， 所以. 由，令，则，上式变为，解得或， 即或（舍去），， 故直线AC的方程为，即或. 18. 某商场设置了两种促销方案：方案一，直接赠送消费金额的代金券（例如：消费200元，则赠送元的代金券）；方案二，消费每满100元可进行一次抽奖（例如：消费370元可进行三次抽奖），每次抽奖抽到10元代金券的概率为，抽到4元代金券的概率为，每次抽奖结果互不影响．每人只能选择一种方案． （1）若甲的消费金额为210元，他选择方案二且抽到14元代金券的概率为，求； （2）若乙消费了一定的金额并选择方案二，设他抽到的代金券总额为元，当最大时，求； （3）若，请你根据顾客消费金额（消费金额大于0）的不同，以代金券的数学期望为决策依据，帮助顾客选择方案． 【答案】（1）或； （2）； （3） 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 【解析】 【分析】（1）根据独立性乘法公式得到方程，解出即可； （2）根据二项分布的 均值和期望公式得到，最后根据二次函数性质即可得到答案； （3）对消费金额进行合理分段讨论即可. 【小问1详解】 甲的消费金额为210元，选择方案二可进行两次抽奖， 则抽到14元代金券的概率为，解得或. 【小问2详解】 设抽奖次数为，抽到10元代金券的次数为，则， 得． 因为， 所以． . 当时，取得最大值，所以． 【小问3详解】 ①当消费金额（单位：元）在内时，不能参与方案二，只能选择方案一． 由（2）可得，当时，． 设消费金额为， 方案一的代金券的数学期望为． ②当消费金额（单位：元）在或或或或内时， ，选择方案二． ③当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，，选择方案一、方案二都可以． ④当消费金额（单位：元）在或或或内时，，选择方案一． 综上，当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案一； 当消费金额（单位：元）在或或或或内时，选择方案二； 当消费金额（单位：元）为120或240或360或480时，选择方案一、方案二都可以． 19. 已知函数，， （1）若，求的单调区间； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若方程有两个不同的根，，证明：. 【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为， （2） （3） 设，则由（2）知. 因为，所以. 因为， 所以. 令，则. 要证，只要证， 即证，即证. 令，，则. 令. 因为，所以在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 因为，所以成立，故. 第（3）问中关于证明，可用下面方法： 欲证，即证. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 因为，所以，故. 【解析】 【分析】（1）求导得，讨论的符号即可得解； （2）思路一：同构法，即通过换元得，则，首先求得的范围，进一步可得的范围；思路二：直接由恒成立，求得分类讨论函数单调性，得最小值大于或等于0即可求解的范围； （3）令，分析知，故只需结合导数证明即可. 【小问1详解】 因为，所以. 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，. 【小问2详解】 （方法一）因为恒成立， 所以恒成立. 令，则. 令，则，在上单调递增. 因为，所以由，得. 由，得. 令，则， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以. （方法二）令，则恒成立. . ①当时，因为，所以，所以在上单调递减. 因为，所以不是恒成立的. ②当时，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为函数在上单调递增（因为），且， 所以当时，恒成立. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $