第09讲 直角三角形全等的判定（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（浙教版2024）

第09讲 直角三角形全等的判定（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 直角三角形的两个锐角互余 典型例题二 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题三 锐角互余的三角形是直角三角形 典型例题四 用HL证全等（HL） 典型例题五 全等的性质和HL综合（HL） 典型例题六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 典型例题七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 典型例题八 角平分线的判定定理 知识点01角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·随堂练习）三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【即时训练】 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 知识点02 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【即时训练】 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 知识点03全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【典型例题一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，若，，，则的度数是 ． 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在直线外，在直线上任取两点，，分别以和为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，作直线，连接．则 ． 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，于点，只需添加下面三个条件中的一个即可证明是直角三角形．①；②；③．所有正确条件的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 °． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． (1)如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． (2)该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 【典型例题二 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【例2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【例3】（2025·广东广州·模拟预测）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【例4】（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，点在正方形的对角线上，连接，点是的中点，点是的中点，连接．若，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图1，四边形是一个边长2的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点，不重合，点与点，不重合），且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点、运动到、中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【典型例题三 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在四边形中，，与的角平分线交于点，点为中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 【例3】 （24-25七年级下·山东泰安·期中）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果 ， 那么 ． 【例4】（2024八年级上·浙江绍兴·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 1．（24-25八年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·单元测试）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【典型例题四 用HL证全等（HL）】 【例1】 （24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，，，，E、F是垂足，，则与全等的依据是 ． 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，，请添加一个条件，使． （1）添加 ，根据是 ； （2）添加 ，根据是 ； 1．（2025·河北衡水·模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（   ）    A．一直变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．一直变大 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形金等为判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究， 【深入探究】 （1）当是直角时，．如图①，在和，，，，根据 ，可以知道． （2）当是钝角时，．如图②，在和，，，，且，都是钝角，请你证明：（提示：过点C作交AB的延长线于G，过点F作交DE的延长线于H）． （3）当是锐角时，和不一定全等．在和，，．，且，都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出，使和不全等． 【得出结论】 （4）通过以上对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形的研究，你能得出什么结论？ 【典型例题五 全等的性质和HL综合（HL）】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，，．若，则的度数为 ． 【例4】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（    ） A．①或② B．①或③ C．②或③ D．①或②或③ 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： (1)【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． (2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【典型例题六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（2025·福建·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，连接BD，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2﹣2 B．2 C．﹣1 D．4 【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，，点D在边上，，则 °． 【例4】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为 ． 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，E，F分别是正方形的边上的点，且，，H为垂足，求证：分别平分和． 2．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 【典型例题七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 【例3】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，则的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图所示，平面内4条直线是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条平行线上，则正方形ABCD的边长是（    ）    A． B． C．5 D．10 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 3．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【典型例题八 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（   ）    A．SAA B．ASA C．AAS D．SSS 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且平分，交于点E，连接，则 °， °． 【例4】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，，，是的中点，只需添加 ，就可使，分别为和的平分线． 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，P、F分别是、上的点，作垂足分别是D、E，若，以下四个结论：①；②；③；④连接，则垂直平分．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上） 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知点O是内一点，且点O到三边、、的距离相等，连接、，若，则的大小是 ． 8．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 9．（24-25八年级上·山东济南·期中）直角三角形的判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形． （2）有两个角 的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形是直角三角形． （4）如果三角形一边上的 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为其内部有一个等腰直角三角形，其中，斜边长为，可以在正方形中任意滑动，始终保持 垂直于那么这个三角形的重心能扫到的面积为 ． 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·随堂练习）如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 12．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点O 为码头所在位置，为海岸线，A，B 两个灯塔分别在上，且到码头的距离相等（即 ），一轮船从码头O开出，计划沿 的平分线航行，航行途中，某时刻测得船所在的位置C到灯塔A，B的距离相等（即 ），此时轮船有没有偏离航线?并说明你的理由． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 14．（24-25八年级上·广西贵港·期中）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下： 步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1） 步骤②：把A折向，得；（如图2） 步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3） (1)基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论） (2)深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：． 15．（2025·广东深圳·模拟预测）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到； 第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程：     ②    ， 解得： ，即H是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ； ②处所列方程是 ； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值． ②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直角三角形全等的判定（3大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 直角三角形的两个锐角互余 典型例题二 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题三 锐角互余的三角形是直角三角形 典型例题四 用HL证全等（HL） 典型例题五 全等的性质和HL综合（HL） 典型例题六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 典型例题七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 典型例题八 角平分线的判定定理 知识点01角平分线的定义 ①定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的角平分线。 ②表示： 若射线 OC 是 ∠AOB 的角平分线，则 ∠AOC = ∠BOC = (1/2)∠AOB。 记作：OC 平分 ∠AOB。 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·随堂练习）三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的（　　） A．内部 B．外部 C．一边上 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形角平分线，作出图形，根据三角形角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图， 三角形的三条角平分线的交点一定在三角形的内部． 故选：A 【即时训练】 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，为的高，为的角平分线，若，则 ． 【答案】/80度 【分析】根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是利用外角表示出． 知识点02 角平分线的性质与判定 1、 角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 用符号语言表示角的平分线的性质定理： 若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF. 2、角的平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示角的平分线的判定： 若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB 3、角的平分线的尺规作图 角平分线的尺规作图步骤： （1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E. （2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C. （3）画射线OC，射线OC即为所求. 4、三角形的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等。 角平分线的性质定理与判定定理的区别与联系： （1） 角平分线的性质定理中的题设“在角的平分线上的点”，这个点不是一个点，实际上是指角平分线上的任 意一点，或者说是角平分线上的所有点都具有“到角两边的距离相等”的性质。 （2） 角平分线的性质定理与判定定理是两个互逆定理，是两个互逆的真命题。要从题设、条件与结论的关系上 理解它们的区别和联系。点在角平分线上点到这个叫的两边的距离相等。 （3） 角平分线的性质定理与判定定理在应用时的作用不同。性质定理的结论是确定点到角的两边的距离相等的问题。判定定理的结论是判定点是否在角平分线上的问题。 【即时训练】 1．（2025·云南文山·模拟预测）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 【即时训练】 2．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】此题考查角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此得到，由此求出的长，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵平分交于点D，， ∴， ∵ ∴， 故答案为：4． 知识点03全等三角形的判定 一、全等三角形判定1——“边边边” 定理1：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 二、全等三角形判定2——“边角边” 定理2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 三、全等三角形判定3——“角边角” 定理3：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 四、全等三角形判定4——“角角边” 定理4：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 五、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理5：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即时训练】 1．（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 【即时训练】 2．（24-25八年级上·浙江·期中）如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【详解】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 【典型例题一 直角三角形的两个锐角互余】 【例1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，， ， ， 故选：B． 【例2】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明得到，再利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，点在直线外，在直线上任取两点，，分别以和为圆心，，长为半径作弧，两弧交于点，作直线，连接．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，根据题意可得，则垂直平分，进而可得，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，于点，只需添加下面三个条件中的一个即可证明是直角三角形．①；②；③．所有正确条件的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的判定，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用直角三角形的判定方法，相似三角形的判定和性质，等量代换，互为余角等知识逐项判断即可． 【详解】解：∵ ，， ①当时，， 即， ∴是直角三角形，故①正确，符合题意； ②当时，无法证明是直角三角形，故②错误，不符合题意； ③当时，且， ， ,同①可得是直角三角形， 故③正确，符合题意； 综上，所有正确条件的序号是①③， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，P是延长线上一点，与相切于点C．若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得，求出的度数，再根据圆周角定理即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某校综合实践小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图所示． (1)如图，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式表示． (2)该综合实践小组前往江北烈士陵园测量革命烈士纪念碑的高度（碑顶到水平地面的距离）．该小组利用自制简易测角仪在点分别测得碑顶的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求革命烈士纪念碑的高．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，根据直角三角形两锐角互余即可求解； （）设， 由可得，即得，再解即可求解； 【详解】（1）解：如图，过点向下的箭头延长与过点的水平延长线相交于点，则， ∴， 即； （2）解：设， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 即， 解得， 即， 答：革命烈士纪念碑的高为． 【典型例题二 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（24-25八年级上·吉林松原·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米， ∴千米， 故选：A． 【例2】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在中，，、分别是边上的中线和高，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】解：∵是的中线，，， ∴， ∵，是边上的高， ∴， ∴． 故选：B． 【例3】（2025·广东广州·模拟预测）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据所给网格，得出，再由点D为的中点，得出，最后结合余弦的定义即可解决问题． 【详解】解：由图得：， ，， ∴， ∴． 因为点D为的中点， 所以， 所以． ∵，． ∴， 所以． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·河南三门峡·期中）如图，在中，，分别是的中点，，是线段上一点，连接，，．若，则的长度是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．先根据直角三角形斜边中线的性质得到，再根据求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵，点E为的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D，E分别是，的中点， ∴是中位线， ∴． 故答案为：8． 1．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据菱形的性质，得出，，，求出，根据，求出，利用直角三角形斜边上的中线性质求出答案即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）如图，点在正方形的对角线上，连接，点是的中点，点是的中点，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质．连接，根据正方形的性质得到经过点O且，，根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形为正方形，点O是的中点， ∴经过点O且，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ， ∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·云南大理·期末）如图1，四边形是一个边长2的正方形，点和分别是边和上的动点（点与点，不重合，点与点，不重合），且，连接、相交于点． (1)求证：； (2)如图2，当点、运动到、中点时，求的长； (3)在（2）的条件下，连接，试判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用正方形的性质和全等三角形的判定即可证明； （2）利用正方形的性质得到，，根据中点的定义得到，利用勾股定理求出，利用全等三角形和直角三角形的性质得到，最后利用等面积法即可求解； （3）延长和交于点，通过证明，得到，由（2）中的结论得到，再根据直角三角形斜边中线定理得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ∴； （2）解：∵正方形边长为2， ∴，， ∵点运动到的中点， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：是等腰三角形，理由如下： 如图，延长和交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵点运动到的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【典型例题三 锐角互余的三角形是直角三角形】 【例1】（24-25八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·重庆江津·阶段练习）如图，在四边形中，，与的角平分线交于点，点为中点，若，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质及角平分线的性质可知，再根据直角三角形的判定与性质可知，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 故选． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，掌握直角三角形的性质与判定是解题的关键． 【例3】 （24-25七年级下·山东泰安·期中）把定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果 ， 那么 ． 【答案】 一个三角形的两个角互余 这个三角形是直角三角形 【分析】分清题目的已知和结论，即可解答． 【详解】解：定理“有两个角互余的三角形是直角三角形”，写成“如果...那么... ”的形式是：如果一个三角形的两个角互余，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：一个三角形的两个角互余；这个三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，正确理解定义是解题关键． 【例4】（2024八年级上·浙江绍兴·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ， 由折叠的性质知，， ∴在中，， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·单元测试）如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直线 DE 与 AC，BC 分别交于 D，E 两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC 是 ． 【答案】直角三角形 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论. 【详解】解: 在Rt△ABC 中， ∵∠B＝90°, ∴∠A+∠C=90°, ∵∠DEC＝∠A, ∴∠DEC+∠C=90°, ∴∠EDC=90°, ∴△EDC 是直角三角形, 故答案为 直角三角形. 【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握. 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．猜想与的关系，并说明理由． 【答案】,，理由见解析． 【分析】本题考查了三角形全等判定及性质，直角三角形的两锐角互余，垂直定义．通过证明，可得，进而得，进而得，从而即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵ ∴ 又∵在和中， ∴（） ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典型例题四 用HL证全等（HL）】 【例1】 （24-25八年级上·陕西咸阳·期中）如图，于点C，于点D，连接，且，则可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ， ∵在和中 ， ， 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　） ①，； ②，； ③，； ④，． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐个判断，即可作出选择，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：①，，加上，可利用证明； ②，，可利用证明； ③，，加上，可利用证明； ④，，加上，可利用证明． 所有正确的个数是4个， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，，，，E、F是垂足，，则与全等的依据是 ． 【答案】 【分析】与两个直角三角形中，一组直角边相等，一组斜边相等，符合． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． 即与全等的依据是． 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握两直角三角形全等的判定方法，即除SAS，ASA，AAS，SSS外，还有HL． 【例4】（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，，请添加一个条件，使． （1）添加 ，根据是 ； （2）添加 ，根据是 ； 【答案】 【分析】（1）添加条件，再由条件：，可根据定理证明； （2）添加，同理由条件可以推导． 【详解】解：（1）添加． 理由：， ， ，， （2）添加． 理由：， ， ，， 故答案为：，；，（答案不唯一）． 【点睛】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 1．（2025·河北衡水·模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含角的直角三角板，重叠在一起．李老师将三角板绕点顺时针旋转（保持，延长线段，与线段的延长线交于点（如图所示），随着的增大，的值（   ）    A．一直变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．一直变大 【答案】B 【分析】利用证明，得，从而，则可得出结论． 【详解】解：如图，在上截取，连接，， 由题意得：，，， 在和中， ， （）， ， ， 的值保持不变． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海长宁·期末）小明同学提出：用一把直尺就可以画出一个角的平分线．具体操作如下：首先把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线l（如图1）；随后移动该直尺，把直尺的一边与的一边贴合，沿着直尺的另一边画直线m（如图2），直线l与直线m交于点P，则射线就是的平分线．请指出这种画法的依据是（请写本学期所学的数学知识）： ．    【答案】 【分析】本题考查角平分线的判定以及全等三角形的判定定理，解题的关键是利用直尺宽度相等构造全等直角三角形，进而得出角平分线． 过点作于点于点．因为直尺的宽度相等，所以，同时（公共边），，证明， 可得，即平分，因此这种画法的依据是． 【详解】解：如图2中，过点P作于点M，于点N．    ∵尺的宽度相等， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ∴平分， 画法的依据是：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）【问题提出】 学习了三角形全等的判定方法（即“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形金等为判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究． 【初步思考】 我们不妨将问题用符号语言表示为：在和中，，，，然后，对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究， 【深入探究】 （1）当是直角时，．如图①，在和，，，，根据 ，可以知道． （2）当是钝角时，．如图②，在和，，，，且，都是钝角，请你证明：（提示：过点C作交AB的延长线于G，过点F作交DE的延长线于H）． （3）当是锐角时，和不一定全等．在和，，．，且，都是锐角，请你利用图③，在图③中用尺规作出，使和不全等． 【得出结论】 （4）通过以上对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形的研究，你能得出什么结论？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）当这个角是直角或者钝角时，这两个三角形全等，当这个角是锐角时，这两个三角形不一定全等 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质， （1）根据判定; （2）过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H，证明，得到，再证明得，最后证明即可； （3）根据题意画出图形，在和中，，，，满足了题目中的条件，但很明显，它们不全等． （4）得到结论：两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等时，当这个角是直角或者钝角时，这两个三角形全等，当这个角是锐角时，这两个三角形不一定全等． 【详解】（1）根据，可以知道． 故答案为：； （2）如图，过点C作交的延长线于G，过点F作交的延长线于H， ∵， ∴，即， 在和 中， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （3）如图，和中，，，，满足了题目中的条件，但很明显，它们不全等． （4）两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等时，当这个角是直角或者钝角时，这两个三角形全等，当这个角是锐角时，这两个三角形不一定全等． 【典型例题五 全等的性质和HL综合（HL）】 【例1】（24-25八年级上·河南商丘·期末）在中，，是上的一点，且，过作交于，如果，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质．利用“”得到，利用全等三角形对应边相等得到，最后根据，等量代换即可确定出的长．熟练掌握三角形全等的判定定理及性质定理是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的内角和定理，先由、得到，然后结合，得证，进而得到，再利用求得的大小，最后求得的大小． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ，， ， ． 故选：B． 【例3】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，，．若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】由，可得，证明两个直角三角形全等，由直角三角形的两个锐角互余性质可得其它结论．本题重点考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的两个锐角互余性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 又，， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为： 【例4】（23-24八年级上·宁夏中卫·期末）如图．有两个长度相等的滑梯和，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了全等三角形的应用，直角三角形两锐角互余的性质，准确识图判断出全等三角形是解题的关键． 利用证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（    ） A．①或② B．①或③ C．②或③ D．①或②或③ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：选①或②或③， 理由：当选①时： ∵，，， ∴， ∴； 当选②时， ∵，，， ∴， ∴； 当选③时， 过D、E分别作、的垂线交点G与点H． 在和中， ，，， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 2．（24-25八年级上·北京·期中）如图，于点于点，且．若，则的大小为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：25． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： (1)【课本再现】 第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平； 第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接，根据以上操作，当点M在上时，如图①，连接，判断的形状并证明． (2)【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求与的数量关系是 （用数学式子表示）； (3)【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在矩形内部的点M处，连接，并延长交于点Q，连接．当时，请求出的长． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由折叠的性质得，，从而得到是等边三角形即可求解； （2）根据正方形的性质得出，，根据折叠得出，垂直平分，，根据余角的性质证明，证明，得出，即可证明； （3）分两种情况：当点Q在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，分别画出图形，利用勾股定理解方程即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵对折矩形纸片，使与重合，折痕为， ∴垂直平分， ∴， ∵沿折叠纸片，使点落在矩形内部的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 根据折叠可知：，垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴； （3）解：当点Q在点F的下方时，如图所示： ∵正方形中，， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， 设，由折叠知， ∴，， 在中，， ∴， 解得， 即； 当点Q在点F的上方时，如图， 则， ∴， ∴， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得，即； 综上可知，的长为或． 【点睛】本题考查正方形折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定等，掌握折叠前后对应角相等、对应边相等，是解题的关键． 【典型例题六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（2025·福建·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，连接BD，则图中阴影部分的面积是（　　） A．2﹣2 B．2 C．﹣1 D．4 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得AB=AE，∠BAE=60°，AD=AC=2，BC=DE=2，可得△ABE是等边三角形，根据“SSS”可证△ADB≌△EDB，可得S△ADB=S△EDB，由S阴影=（S△ABE-S△ADE）可求阴影部分的面积. 【详解】解：如图，连接BE， ∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝2， ∴AB2＝AC2+BC2＝8 ∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°，AD＝AC＝2，BC＝DE＝2， ∴△ABE是等边三角形， ∴AB＝BE，S△ABE＝AB2＝2， ∵AB＝BE，AD＝DE，DB＝DB ∴△ADB≌△EDB（SSS） ∴S△ADB＝S△EDB， ∴S阴影＝（S△ABE﹣S△ADE） ∴S阴影＝ 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【例2】（2025·山东济南·模拟预测）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接DE，DE与AC相交于点F，连接AE，则图中与△ACE全等或相似的三角形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明△ACE≌△BCD，得∠CAE＝∠CEF＝45°，再证明△ACE∽△ECF，最后证明△ACE∽△ADF，便可得结论． 【详解】解：∵将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE， ∴CE＝CD， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）； ∴∠CAE＝∠B＝45°， ∵CE＝CD，∠DCE＝90° ∴∠CEF＝45° ∵∠ACE＝∠ECF， ∴△ACE∽△ECF； ∵∠FAD＝∠FEC＝45°，∠AFD＝∠EFC， ∴∠ADF＝∠ACE， ∵∠DAF＝∠CAE＝45°， ∴△ACE∽△ADF， 综上，图中与△ACE全等或相似的三角形有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，图形复杂，要善于观察，不重不漏地找出符合条件的三角形． 【例3】（24-25八年级上·北京西城·期末）如图，，点D在边上，，则 °． 【答案】 【分析】先由，得到，继而解得，由等边对等角解得，最后根据三角形内角和180°解题即可． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【例4】（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为AB边上一点（不与点B重合），连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°，点C的对应点为E，连接BE．若AB＝6，则△BDE面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，根据AAS证得EDN≌DCM，得出EN＝DM，然后解直角三角形求得AM＝3，得到BM＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，根据三角形面积公式得到S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，根据二次函数的性质即可求得． 【详解】解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N， ∴∠EDN+∠DEN＝90°， ∵∠EDC＝90°， ∴∠EDN+∠CDM＝90°， ∴∠DEN＝∠CDM， 在EDN和DCM中 ∴EDN≌DCM（AAS）， ∴EN＝DM， ∵∠BAC＝120°， ∴∠MAC＝60°， ∴∠ACM＝30°， ∴AM＝AC＝6＝3， ∴BM＝AB+AM＝6+3＝9， 设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x， ∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+， ∴当BD＝4.5时，S△BDE有最大值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查旋转综合题、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质和求最值，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质和利用二次函数求最值． 1．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，E，F分别是正方形的边上的点，且，，H为垂足，求证：分别平分和． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，最后证明即可说理． 【详解】证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分． 2．（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，将△ABC绕着点C旋转，连接BD，AE，M是BD的中点． (1)如图①，当CA与CD重合，CB与CE重合时，线段AE，CM的数量关系是 　 　； (2)当△ABC的位置如图②和图③时，线段AE，CM又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并选择图②或图③其中一种情况进行证明． 【答案】(1)CMAE (2)CMAE，证明见解析 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°，求得AD＝BE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，等量代换得到CMAE； （2 ）如图②，证明：如图2中，延长CM到N使得CM＝MN．如图③中，延长CM到N使得CM＝MN．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：CM＝AE； 理由：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，DC＝EC，∠ADE＝∠BED＝45°， ∴CD﹣AC＝CE﹣BC， 即AD＝BE， 在△ADE与△BED中， ， ∴△ADE≌△BED（SAS）， ∴BD＝AE， ∵M是BD的中点， ∴CM＝BD， ∴CM＝AE； 故答案为：CM＝AE； （2）解：CM＝AE； 理由：如图④，证明：如图④中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DN∥BC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM ∴CM＝AE 如图⑤，证明：如图⑤中，延长CM到N使得CM＝MN． ∵BM＝DM，∠CMB＝∠DMN， ∴△CMB≌△NMD（SAS）， ∴BC＝DN＝CA，∠CBM＝∠NDM， ∴DNBC， ∴∠CDN+∠DCB＝180°， ∵∠DCE＝∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠DCB＝180°， ∴∠ACE＝∠CDN， ∵DC＝EC，AC＝DN， ∴△CDN≌△ECA（SAS）， ∴CN＝EA， ∴AE＝2CM． ∴CM＝AE 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）综合与实践 【基本模型】如图1和2所示，，直线l经过点O（不与，重合），过点A，B作l的垂线，垂足分别为C，D，可以很容易证得，进而得到：． 【模型应用】在图1的基础上，在射线上取一点M，把线段绕点O逆时针转得到、连接．交直线l于点P．    (1)如图3，当点M与点C重合时与的数量关系为______； (2)如图4，当点M在的延长线上时，试判断与的数量关系．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：过点N作直线l于E（见下图）．同学们，根据小颖的提示，请你判断与的数量关系，并给出证明． (3)如图5，当点M在线段上时的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用证明，可得结论； （2）过点N作直线于E，证明，可得，再证明，可得结论； （3）过点N作直线于H，证明，可得，，证明，可得，，，设，，则，可得，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∵，点M与点C重合， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明：过点N作直线于E，    ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：过点N作直线于H，    同理得， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 【典型例题七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题)】 【例1】（23-24八年级上·吉林长春·期末）如图，在和中，，，点B、C、E在同一条直线上．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型-垂直模型、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，作，证得是解题关键． 【详解】解：作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 【例2】（2025八年级上·浙江绍兴·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 【答案】A 【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE （AAS） ∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 . 故答案是68. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 【例3】（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在四边形中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识点．作，可推出是等腰直角三角形，即可证，利用即可求解． 【详解】解：作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，将边长为5正方形OACD放在平面直角坐标系中，О是坐标原点，点D的坐标为横坐标为3，求A的坐标． 【答案】 【分析】过点A、D分别作x轴的垂线，可证，由此得，，即可求出点A的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴ ∵四边形OACD是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵正方形边长为5，点D的横坐标为3， 即，， ∴ ∴，， 又∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 答：点A的坐标为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的特征、全等三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 1．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图所示，平面内4条直线是一组平行线，相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条平行线上，则正方形ABCD的边长是（    ）    A． B． C．5 D．10 【答案】A 【分析】过B点作BE⊥于E点，延长EB交于F点，先证△AFB≌△BEC，可得BF=1，AF=BE=2，根据勾股定理即可求解． 【详解】过B点作BE⊥于E点，延长EB交于F点，    ∵是一组平行线 ∴∠AFB=∠BEC=90° ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠ABC=90°，AB=BC ∴∠FBA+∠FAB=90°，∠FBA+∠EBC=90° ∴∠FAB=∠EBC ∴△AFB≌△BEC（AAS） ∴BF=1，AF=BE=2 ∴AB= 故选：A 【点睛】本题考查了三角形的全等及勾股定理，掌握辅助线的作法是解答的关键． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，，，于点，于点，其中． （1）若，，求的长； （2）连接，取的中点为，连接，，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE=13；（2）△QEF为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）利用AAS证出△BCE≌△CAF，可得CE=AF=5，BE=CF，求出CF即可求出BE的长； （2）根据平行线的判定证出BE∥AM，然后利用AAS证出△BEQ≌△AMQ，从而得出BE=AM，EQ=MQ，证出△FME为等腰直角三角形，然后根据三线合一和等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：（1）∵，， ∴∠BEC=∠F=90° ∴∠BCE＋∠ACF=90°，∠A＋∠ACF=90° ∴∠BCE=∠A 在△BCE和△CAF中 ∴△BCE≌△CAF ∴CE=AF=5，BE=CF ∴CF=CE＋EF=13 ∴BE=13 （2）△QEF为等腰直角三角形，理由如下 延长AF、EQ交于点M，如下图所示 ∵∠BEF=∠AFC=90° ∴BE∥AM，∠MFE=180°－∠AFC=90° ∴∠EBQ=∠MAQ，∠BEQ=∠M 在△BEQ和△AMQ中 ∴△BEQ≌△AMQ ∴BE=AM，EQ=MQ ∵CE=AF，BE=CF ∴AM=CF ∴AM－AF=CF－CE ∴FM=FE ∴△FME为等腰直角三角形 ∴FQ⊥ME，∠QEF=45° ∴△QEF为等腰直角三角形 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和等腰直角三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和等腰直角三角形的判定及性质是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 【典型例题八 角平分线的判定定理】 【例1】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）在中，点是内一点，且点到三边的距离相等．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】到三边的距离相等 是三条角平分线的交点 是的角平分线，是角平分线 ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线．依据的数学基本事实是（   ）    A．SAA B．ASA C．AAS D．SSS 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的判定是解题的关键． 证明，进而可证射线是的角平分线，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴射线是的角平分线， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·北京·期中）如图，在△ABC中，，D为边上一点，且平分，交于点E，连接，则 °， °． 【答案】 50 40 【分析】根据，，可得，过E分别作的垂线，垂足分别为G，H，P，根据角平分线的性质定理和判定定理可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，即可． 【详解】解：∵，， ∴； 如图，过E分别作的垂线，垂足分别为G，H，P， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：50；40 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，角的平分线的性质定理和逆定理，本题的关键是作出辅助线，角的平分线性质定理的应用． 【例4】（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，已知，，，是的中点，只需添加 ，就可使，分别为和的平分线． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用角平分线的判定定理即可得． 【详解】解：只需添加，就可使，分别为和的平分线． 理由：，，，且点在的内部， 点在的角平分线上，即为的平分线， 点是的中点， ， ， 又，点在的内部， 点在的角平分线上，即为的平分线， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键． 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接交于，连接交于，交于，连接，下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④当为的中点时，；其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②③④ C．③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质可证明，再证明，即可判断①；根据等边三角形的判定可判断②；过B作于M，于N，则，证明，可证，再根据角平分线的判定，即可判断③，根据三线合一可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ，， 故①正确； ， 是等边三角形， 故②正确； 过B作于M，于N，则， ， ， ， ，， 平分， 故③正确； 为的中点， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质和判定，角平分线的判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，P、F分别是、上的点，作垂足分别是D、E，若，以下四个结论：①；②；③；④连接，则垂直平分．其中正确结论的序号是 （请将所有正确结论的序号都填上） 【答案】②④/④② 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角的平分线的判定定理，依据相应的知识判断即可． 【详解】∵， ∴平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵ ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故④正确；    ∵， 若， 则有， 显然没有这样的已知条件， 故①错误； 只有， 不满足三角形全等的条件， 故③错误； 故答案为：②④． 3．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期中）【定理】如图1．因为于于，所以___________． 【运用】如图2，在四边形中，，求证：平分． 【答案】【定理】平分；【运用】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的判定定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的判定定理，通过于于，即可判定平分； （2）通过作垂线构造全等三角形，得，进而利用角平分线的判定定理，即可完成证明． 【详解】解：定理：于于， 平分， 故答案为：平分； 运用：如图所示，过点作于点，过点作交的延长线于点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 平分． 1．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：由A、， ∴，故选项A符合题意； 由B、， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； 由C、，设设a、b、c的边长分别为， ∵， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； 由D、，则 ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项D不符合题意； 故选：A 2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，则的长为（　　） A．3 B．6 C．7 D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知， 在中，，点D为边的中点， , 故选：B． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）为了测量无法直接测量的池塘两端A，B的距离，小王同学设计了一个测量A，B距离的方案．如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，可以说明，最后测量的长即得．那么判断的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的实际应用，运用全等三角形的知识解决实际问题成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法进行判断即可解答． 【详解】解：由题意，可知：，， 又∵， ∴， ∴． 故选A． 5．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，是边长为3的等边三角形，点Q是边上一点，于点D，点E为边延长线上一点，且满足，连接交于点F，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作交的延长线于点，利用全等三角形判定证出，得到，，再证出，得到，再利用线段和差即可求出的长． 【详解】解：作交的延长线于点， 是边长为3的等边三角形， ，， ， ， ，， ， 又， ， ，， 又，， ， ， ． 故选：A． 6．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键． 求出O为的三条角平分线的交点，求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可； 【详解】∵ 在中，点O是内的一点，且点O到三边距离相等， ∴ O为的三条角平分线的交点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选C． 7．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）已知点O是内一点，且点O到三边、、的距离相等，连接、，若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】如图，由点O到三边、、的距离相等，可知，是三角形三条角平分线的交点，根据角平分线平分角，利用三角形的内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵点O到三边、、的距离相等， ∴是三角形三条角平分线的交点， ∴分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握到角两边的距离相等的点在角的平分线上，是解题的关键．本题考查含角平分线的燕尾型图，可以利用结论：，快速解题． 8．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，在中，若，于点，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：20． 9．（24-25八年级上·山东济南·期中）直角三角形的判定 （1）有一个角是 的三角形是直角三角形． （2）有两个角 的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于 ，那么这个三角形是直角三角形． （4）如果三角形一边上的 等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 【答案】 互余 第三边的平方 中线 【分析】（1）根据直角三角形角度特点即可求解； （2）根据直角三角形角度特点即可求解； （3）根据勾股定理逆定理即可求解； （4）根据直角三角形斜边上的中线性质即可求解． 【详解】（1）有一个角是的三角形是直角三角形． （2）有两个角互余的三角形是直角三角形． （3）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． （4）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：；互余；第三边的平方；中线． 【点睛】此题主要考查直角三角形的判定，解题的关键是熟知直角三角形的判定方法． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为其内部有一个等腰直角三角形，其中，斜边长为，可以在正方形中任意滑动，始终保持 垂直于那么这个三角形的重心能扫到的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查对正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 根据题意，可推导出三角形的重心能扫到的图形为矩形，求出矩形的边长，即可解答． 【详解】解：由题知，三角形的重心的轨迹如图所示为矩形，过点G作于点M，如图： ∵正方形的边长为其内部有等腰直角三角形，， ， ∴， 根据重心的定义，可知． 面积为． 11．（24-25七年级下·浙江绍兴·随堂练习）如图，是中边上的高线，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了直角三角形的性质．根据直角三角形两个锐角互余，求得，进一步计算求解． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以． 12．（23-24七年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，点O 为码头所在位置，为海岸线，A，B 两个灯塔分别在上，且到码头的距离相等（即 ），一轮船从码头O开出，计划沿 的平分线航行，航行途中，某时刻测得船所在的位置C到灯塔A，B的距离相等（即 ），此时轮船有没有偏离航线?并说明你的理由． 【答案】轮船没有偏离航线，理由见详解 【分析】根据证明即可得出结论．本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：此时轮船没有偏离航线，理由如下： 在与中， ， ， ， 点在的角平分线上， 此时轮船没有偏离航线． 13．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，直角中，，．点是线段上一点，过点作的垂线，交直线于点，连接，取的中点，连接，． (1)当点在线段上时，试写出与的关系，并说明理由； (2)当点在线段外时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请举出反例；若成立，请画出图形，并说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)成立，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键在于掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）当点在线段上时，观察知道在直角中，，在直角中，，即可证明出结果； （2）当点在线段外时，（1）中的结论还成立，画出图形同理应用第（1）中的方法即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 在直角中，，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ； （2）解：成立，图形如下： 理由如下：，， ， 在直角中，取的中点， ， 过点作的垂线， ， 又在直角中，取的中点， ， ． 14．（24-25八年级上·广西贵港·期中）综合与实践：在数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． 操作步骤：小明利用一张矩形纸操作如下： 步骤①：把矩形对折，得折痕；（如图1） 步骤②：把A折向，得；（如图2） 步骤③：沿线段折叠，得到另一条折痕，展开后可得到．（如图3） (1)基础探究：根据以上操作，图3中与的数量关系是：______________．（直接写出结论） (2)深入探究：在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由． (3)拓展探究：在（2）的条件下，如图4，过点E作于点H，交于点Q．求证：． 【答案】(1) (2)是等边三角形．理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质得到点是中点，点是的中点，，再证明，即可求解； （2）根据折叠得到，，根据平行线的性质得到，结合（1）的结论得到，由此即可求解； （3）根据三线合一得到，，，，根据含的直角三角形得到，再证明，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵把矩形对折，得折痕， ∴， ∴点是中点，点是的中点，， 如图所示， 把A折向，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下， 如图所示，根据折叠得到，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）证明：∵是等边三角形，， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边三角形的判定和性质，三线合一，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，数形结合分析思想是关键． 15．（2025·广东深圳·模拟预测）在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点． 【操作探究】 “乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作： 第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到； 第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点． 证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程：     ②    ， 解得： ，即H是边的三等分点． “破浪”小组进行如下操作： 第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕． 【过程思考】 （1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ； ②处所列方程是 ； （2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论； 【拓展提升】 （3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值． ②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长． 【答案】（1）①HL②（2）点M是边的三等分点，证明见解析 （3） ①3；②3或12 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理和勾股定理即可得到答案． （2）证明，得，再根据平行线的性质即可求解． （3）①根据中点的定义、矩形的性质、折叠的性质可得．，，再证明四边形是矩形可得、；然后证明可得；设，，则、、、、，然后代入求得x的值，进而求得，最后求比例即可；②分点H在线段上和点H在的延长线上两种情况，分别根据正方形的性质、勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图：连接， ∵正方形沿折叠， ，， 又， （） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程：． 解得： ，即H是边的三等分点． 故答案为：，． （2）点M是边的三等分点， 证明如下： 分别是的中点，正方形， ∴， ，， ， ， ∵， ∴， ，即． ∴点M是边的三等分点． （3）①分别是的中点， ∴， 结合折叠的性质可得：．，， ∴， ∵， ． ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，，则，，，， ∴， ∴，整理得：，解得：或（舍弃）， ∴， ∴； ②如图∶当点H在线段上时，则， 设，则 ∴在中，由勾股定理得，，解得：； ； 如图∶当点H在的延长线上时，连接， ∵正方形的边长为6， ，． 由折叠的性质得∶， 又∵， ， ． 设． ，． 在，由勾股定理，可知， ，解得． 综上所述，的长为3或12． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$