2.7.1 抛物线的标准方程-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

2．7.1　抛物线的标准方程

知识点一　抛物线的定义

1．已知动点M的坐标满足方程5＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是(　　)

A．椭圆 B．双曲线

C．抛物线 D．圆

答案：C

解析：方程5＝|3x＋4y－12|可化为＝，它表示点M到坐标原点O的距离等于它到直线3x＋4y－12＝0的距离，由抛物线的定义可知，动点M的轨迹是抛物线．故选C.

2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

答案：D

解析：解法一：∵y＝4，∴x2＝4y＝16，∴x＝±4，∴A(±4，4)，又焦点坐标为(0，1)，∴所求距离为＝＝5.

解法二：∵抛物线的准线方程为y＝－1，∴点A到准线的距离为5，又点A到准线的距离与点A到焦点的距离相等，∴所求距离为5.

3．给出下列命题：

①到定点F(－1，0)的距离和到定直线x＝1的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；

②到定点F(2，1)的距离和到定直线3x－2y－4＝0的距离相等的动点P的轨迹为抛物线；

③抛物线的焦点一定在y轴上．

其中假命题是________(填序号)．

答案：②③

解析：由抛物线的定义，知①为真命题；因为定点F(2，1)在定直线3x－2y－4＝0上，可知动点P的轨迹为一条直线，所以②为假命题；因为抛物线的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，所以③为假命题．

知识点二　抛物线的标准方程

4．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为(　　)

A．8 B．－8

C． D．－

答案：B

解析：∵x2＝ay的准线方程为y＝－＝2，∴a＝－8.

5．焦点在坐标轴上的抛物线过点(－2，3)，则抛物线的标准方程是(　　)

A．x2＝－y或y2＝x

B．y2＝－x或x2＝y

C．x2＝y

D．y2＝－x

答案：B

解析：∵点(－2，3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或y2＝－2p1x(p1>0)，把(－2，3)代入，得(－2)2＝2p×3，9＝－2p1×(－2)，∴2p＝，－2p1＝－.故所求抛物线的标准方程为x2＝y或y2＝－x.

6．根据下列条件写出抛物线的标准方程：

(1)准线方程为y＝－；

(2)焦点在x轴的正半轴上，且到准线的距离是3.

解：(1)由准线方程为y＝－知抛物线的焦点在y轴正半轴上，且＝，则p＝3.

故所求抛物线的标准方程为x2＝6y.

(2)设焦点在x轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，

则焦点坐标为，准线方程为x＝－，

则焦点到准线的距离为p＝3，

因此所求抛物线的标准方程是y2＝6x.

知识点三　与抛物线有关的轨迹问题

7．过点A(3，0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(　　)

A．圆 B．椭圆

C．直线 D．抛物线

答案：D

解析：如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线．故选D.

8．若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(　　)

A．x＋4＝0 B．x－4＝0

C．y2＝8x D．y2＝16x

答案：D

解析：依题意可知点M到点F的距离等于点M到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，经过原点，焦点在x轴的正半轴上，所以其方程为y2＝16x.故选D.

一、单项选择题

1．抛物线y＝4x2的准线方程是(　　)

A．y＝1 B．y＝－1