2.2.1 直线的倾斜角与斜率-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 2．2.1　直线的倾斜角与斜率 知识点一　直线的倾斜角与斜率 1．给出下列命题： ①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴； ④按照直线的倾斜角概念，直线集合与集合{α|0°≤α<180°}建立了一一对应的关系； ⑤若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0，1)． 其中真命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：利用直线的倾斜角概念可知倾斜角α满足0°≤α<180°，则sinα∈[0，1]，因此命题②⑤为假命题．又每一条直线有唯一倾斜角，但倾斜角为α的直线有无数条，因此命题①为真命题，命题③④为假命题．故选A. 2．过点A(3，－2)和点B(2，5)的直线的斜率为(　　) A．7 B．－7 C．－3 D．3 答案：B 解析：由题意，直线的斜率k＝＝－7. 3．已知直线l的斜率为k，且－≤k≤，那么直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．∪ B．∪ C．∪ D．∪ 答案：C 解析：由题意可得－≤tanα≤，且0≤α<π，解得α∈∪. 4．已知直线PQ的斜率为－，将直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的斜率是(　　) A．0 B． C． D．－ 答案：C 解析：由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以所得直线的斜率是. 5．若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的倾斜角为135°，则m＝(　　) A．－4 B．－2 C． D．2 答案：D 解析：由题意，斜率k＝＝－1，解得m＝2. 6．已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为________． 答案：(2，0)或(0，－8) 解析：设B(x，0)或(0，y)，∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，∴x＝2或y＝－8，∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8)． 7．已知M(，0)，B，A(a，)三点共线，求实数a的值． 解：易知直线MB的斜率kMB存在，又A，B，M三点共线，所以直线MA的斜率kMA存在，且kMA＝kMB，即＝，＝，所以a＝2. 知识点二　直线的方向向量与法向量 8．若直线l的一个方向向量为v＝(3，－)，则直线l的斜率为________，倾斜角为________；直线l的一个法向量为________． 答案：－　150°　(，3)(答案不唯一) 解析：设直线l的倾斜角为θ，k＝tanθ＝－，则θ＝150°.法向量与方向向量垂直，故直线l的一个法向量为(，3)(答案不唯一)． 一、单项选择题 1．若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(　　) A． B． C． D．[0，π) 答案：C 解析：因为直线经过第二、四象限，则直线斜率为负，因此倾斜角的范围是. 2．下列各项中，三点共线的是(　　) A．P(－2，3)，Q(3，－2)，R B．P(－2，3)，Q(3，－3)，R C．P(0，0)，Q(1，1)，R(1，－1) D．P(1，1)，Q(2，－1)，R(3，2) 答案：A 解析：对于A，kPQ＝＝－1，kQR＝＝－1，故三点共线；对于B，kPQ＝＝－，kQR＝＝－1，故三点不共线；对于C，kPQ＝1，直线QR的斜率不存在，故三点不共线；对于D，kPQ＝＝－2，kQR＝＝3，故三点不共线． 3．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 答案：D 解析：由题图知直线l1的倾斜角为钝角，∴k1<0.又直线l2，l3的倾斜角为锐角，且l2的倾斜角较大，∴0<k3<k2，∴k1<k3<k2. 4．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为(　　) A．－2 B．0 C． D．2 答案：B 解析：由题意知，AB，AC所在直线的倾斜角分别为60°，120°，如图，可得AB，AC所在直线的斜率分别为，－，∴AC，AB所在直线的斜率之和为＋(－)＝0.故选B. 5．若将直线l沿x轴正方向平移2个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是(　　) A．－ B． C．－ D． 答案：A 解析：设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，则直线l的斜率k＝kAA′＝＝－. 二、多项选择题 6．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则下列说法正确的是(　　) A．当m∈(－∞，－5)∪(1，＋∞)时，直线MN的倾斜角为锐角 B．当m∈(－5，1)时，直线MN的倾斜角为钝角 C．当m＝1时，直线MN的倾斜角为直角 D．当m＝－5时，直线MN的倾斜角为零 答案：AB 解析：当倾斜角为锐角时，斜率kMN＝>0，则m<－5或m>1；当倾斜角为钝角时，斜率kMN＝<0，则－5<m<1；当倾斜角为直角时，两点横坐标相等，即2m＋3＝m－2，解得m＝－5；当倾斜角为零时，两点纵坐标相等，即m＝1.故选AB. 7．若直线经过(－n，2m)，(2n，－3m)两点，且m，n∈[0，1]，则下列各项可能为直线的法向量的是(　　) A．(－3，0) B．(5，3) C．(－10，3) D．(5，－6) 答案：AB 解析：由题意知直线的一个方向向量为(3n，－5m)，故该直线的一个法向量为(5m，3n)，则对于任意的实数λ≠0，(5λm，3λn)是直线的一个法向量，当λ＝－1，n＝0，m＝时，直线的一个法向量为(－3，0)，故A可能为直线的法向量；当λ＝1，n＝m＝1时，直线的一个法向量为(5，3)，故B可能为直线的法向量；因为5λm·3λn＝15λ2mn≥0，而－10×3<0，5×(－6)<0，故C，D不可能为直线的法向量．故选AB. 三、填空题 8．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________． 答案：30°或150°　或－ 解析：如图，直线AB的倾斜角为30°或150°，其斜率为或－. 9．若已知直线l的一个法向量为a＝(2，3)，则直线l的斜率为________． 答案：－ 解析：因为直线l的一个法向量为a＝(2，3)，所以直线l的一个方向向量为(－3，2)，所以直线l的斜率k＝－. 10．若(0，1)，(m，－1)，(2，n)三点在斜率为－3的直线上，则m＝________，n＝________． 答案：　－5 解析：已知三点(0，1)，(m，－1)，(2，n)在斜率为－3的直线上，根据斜率公式k＝知，－3＝，－3＝，解得m＝，n＝－5. 四、解答题 11．如图所示，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为1，下底长为3，高为1，求梯形各边所在直线的斜率． 解：如图，过B，C分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E， 则有|OE|＝|ED|＝|DA|＝1， |CE|＝|BD|＝1， ∴C(1，1)，B(2，1)，A(3，0)， ∴kOC＝＝1，kAB＝＝－1，kOA＝kBC＝0. 12．已知直线l经过点P(1，1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)． (1)求直线PM与PN的斜率； (2)求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为kPM＝＝－4，kPN＝＝. (2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过点P且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°， 又kPN＝，∴k≥. 当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°， 又kPM＝－4，∴k≤－4. 综上所述，k的取值范围为(－∞，－4]∪. 13．[多选]若等腰直角三角形的一条直角边所在直线的斜率为2，则斜边所在直线的斜率为(　　) A．－3 B． C．－4 D． 答案：AB 解析：如图，设Rt△ABC的直角边AC所在直线的斜率为2，其倾斜角为α，则tanα＝2，以AC为等腰直角三角形的直角边，∠C为直角可作Rt△AB1C和Rt△AB2C(以∠A为直角可得对应直角三角形的斜边所在直线的斜率相等)，则易得斜边AB1所在直线的倾斜角α1＝α＋45°，此时kAB1＝tanα1＝tan(α＋45°)＝＝－3，斜边AB2所在直线的倾斜角α1＝α－45°，此时kAB2＝tanα2＝tan(α－45°)＝＝. 14．已知A(2，4)，B(3，2)，P(x，y)是线段AB上的点，试求的最值． 解：＝表示点P(x，y)与原点O连线的斜率，当点P在线段AB上运动时，直线OP的斜率k＝也随之变化， 由图可知，当点P在点B时斜率最小，当点P在点A时斜率最大，因为kOB＝，kOA＝＝2，所以≤≤2，因此的最大值为2，最小值为. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$