2.1 坐标法-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 知识点一　平面直角坐标系中的基本公式 1．下列各组点中，点C位于点D右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 答案：A 解析：对于A，点C在点D右侧，符合题意；对于B，点C在点D左侧，不符合题意；对于C，点C在点D左侧，不符合题意；对于D，点C在点D左侧，不符合题意．故选A. 2．在平面直角坐标系中，已知A(1，－4)，B(3，2)，那么线段AB中点的坐标为(　　) A．(2，－1) B．(2，1) C．(4，－2) D．(－1，2) 答案：A 解析：因为A(1，－4)，B(3，2)，所以线段AB中点的坐标为，即(2，－1)． 3．[多选]有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B．可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离 答案：BCD 解析：由题意，可得＝＝＝，可看作点(x，0)与点(－1，－2)的距离，可看作点(x，0)与点(－1，2)的距离，可看作点(x，－1)与点(－1，1)的距离．故选BCD. 4．已知A(1，2)，B(a，6)，且|AB|＝5，则a的值为(　　) A．4 B．－4或2 C．－2 D．－2或4 答案：D 解析：∵|AB|＝5，∴＝5，∴a＝4或a＝－2.故选D. 5．已知△ABC的三个顶点分别为A(2，3)，B(－1，0)，C(2，0)，则△ABC的周长为(　　) A．2 B．3＋2 C．6＋3 D．6＋ 答案：C 解析：由题意知|AB|＝＝3，|AC|＝＝3，|BC|＝＝3，故△ABC的周长为|AB|＋|AC|＋|BC|＝6＋3.故选C. 6．已知点P(a＋3，a－2)在y轴上，则点P关于原点的对称点的坐标为________． 答案：(0，5) 解析：由点P(a＋3，a－2)在y轴上，得a＋3＝0，a＝－3，∴a－2＝－5.点P(0，－5)关于原点的对称点的坐标为(0，5)． 7．已知数轴上三点A(x)，B(2)，P(3)． (1)当向量与2的坐标相等时，求x； (2)当向量与2的坐标相等时，求x； (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，求x的取值范围． 解：由题意，可知向量的坐标为3－x，向量的坐标为1. (1)当向量与2的坐标相等时，有3－x＝2，解得x＝1. (2)当向量与2的坐标相等时，有3－x＝2×(－1)，解得x＝5. (3)当向量的坐标大于向量2的坐标时，有3－x＞2，解得x＜1， 所以x的取值范围为(－∞，1)． 知识点二　坐标法 8．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 证明：如图所示，在△ABC中，D，E分别为边AC，BC的中点，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，设B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|＝|c|， 又由中点坐标公式， 可得D，E， 所以|DE|＝＝|c|， 所以|DE|＝|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 一、单项选择题 1．已知线段AB的端点A(3，4)及中点O(0，3)，则点B的坐标为(　　) A． B．(－3，2) C．(3，2) D．(3，10) 答案：B 解析：设点B(x，y)，则解得故点B的坐标为(－3，2)． 2．点A(2，－3)关于点B(－1，0)的对称点A′的坐标为(　　) A．(5，－6) B．(－4，3) C．(3，－3) D． 答案：B 解析：设点A′(x，y)，则解得则点A′的坐标为(－4，3)．故选B. 3．直线l经过点P(－4，6)，与x轴、y轴分别交于点A，B，当P为AB的中点时，|AB|＝(　　) A．4 B．8 C．10 D．12 答案：A 解析：设A(a，0)，B(0，b)，因为P为AB的中点，所以解得所以A(－8，0)，B(0，12)，所以|AB|＝＝4. 4．已知直线上两点A(a，b)，B(c，d)，且－＝0，则(　　) A．原点一定是线段AB的中点 B．A，B一定都与原点重合 C．原点一定在线段AB上，但不是中点 D．以上结论都不正确 答案：D 解析：由－＝0，得＝，即A，B两点到原点的距离相等，所以原点在线段AB的垂直平分线上．故选D. 5．已知A，B的坐标分别为(1，1)，(4，3)，点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A．20 B．12 C．5 D．4 答案：C 解析：如图，作点A关于x轴的对称点A′(1，－1)，由平面几何知识得|PA|＋|PB|的最小值为|BA′|＝＝＝5. 二、多项选择题 6．如果一条平行于x轴的线段的长为5，它的一个端点是(2，1)，那么它的另一个端点可以是(　　) A．(7，1) B．(2，7) C．(－3，1) D．(2，－3) 答案：AC 解析：由线段平行于x轴知，两个端点的纵坐标相等，都是1，故可设另一个端点为(x，1)，则|x－2|＝5，所以x＝7或x＝－3，即另一个端点坐标是(7，1)或(－3，1)．故选AC. 7．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各项中可以作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 答案：BCD 解析：设第四个顶点为C(x，y)．当OA是对角线时，则有解得所以C(－2，1)；当OB是对角线时，则有解得所以C(2，－1)；当OC是对角线时，则有解得所以C(4，1)．故选BCD. 三、填空题 8．已知数轴上的点P到A(－9)的距离是它到B(－3)的距离的2倍，则点P的坐标是________． 答案：－5或3 解析：由题意，设点P(x)，则|x－(－9)|＝2|x－(－3)|，即(x＋9)2＝4(x＋3)2，即x2＋2x－15＝(x＋5)(x－3)＝0，解得x＝－5或3，故点P的坐标是－5或3. 9．已知A(1，5)，B(5，－2)，则在坐标轴上与A，B等距离的点有________个． 答案：2 解析：设所求点为P.若点P在x轴上，设P(x，0)，则有(x－1)2＋25＝(x－5)2＋4，∴x＝，P；若点P在y轴上，设P(0，y)，则有1＋(5－y)2＝25＋(－2－y)2，∴y＝－，P.∴在坐标轴上与A，B等距离的点有2个． 10．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，则当|AB|取得最小值时，实数a＝________． 答案： 解析：|AB|2＝(a＋1－5)2＋(a－4－2a＋1)2＝2a2－2a＋25＝2＋，所以当a＝时，|AB|取得最小值． 四、解答题 11．用坐标法证明▱ABCD的对角线相交且互相平分． 证明：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy(如图)． 设点A，B，C的坐标分别为(－a，0)，(a，0)(a>0)，(b，c)，由平行四边形的性质知点D的坐标为(－2a＋b，c)．再设AC，BD的中点分别为E(x1，y1)，F(x2，y2)， 由中点坐标公式，得 即E，F. ∴点E与点F重合， ∴▱ABCD的对角线相交且互相平分． 12．已知△ABC的两个顶点A(3，7)，B(－2，5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，求点C的坐标． 解：设点C(x，y)，边AC的中点为D，BC的中点为E， 则DE綊AB. 线段AC的中点D的坐标为， 线段BC的中点E的坐标为. 由直线AB与x轴不平行可知，若点D在y轴上，则＝0，所以x＝－3，此时点E的横坐标不为零，点E要在坐标轴上只能在x轴上，所以＝0， 所以y＝－5，即C(－3，－5)． 若点D在x轴上，则＝0， 所以y＝－7，此时点E只能在y轴上， 即＝0， 所以x＝2，此时C(2，－7)． 如图所示． 综上可知，符合题意的点C的坐标为(2，－7)或(－3，－5)． 13．已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，||＝5，||＝2，则点C的坐标为________． 答案：－4或0或6或10 解析：由题意，设A，C的坐标分别为xA，xC，则||＝|3－xA|＝5，∴xA＝－2或xA＝8，∴||＝|xC－xA|＝|xC－(－2)|＝2或||＝|xC－xA|＝|xC－8|＝2，解得xC＝－4或xC＝0或xC＝6或xC＝10.故点C的坐标为－4或0或6或10. 14．已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出最小值． 解：以AB所在直线为x轴，AB边中线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图． 则A，B，C. 设P(x，y)，则有|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝＋(－y)2＋＋(－y)2＋(－x)2＋＝3x2＋3y2－ay＋a2＝3x2＋3＋a2， ∴当P时，|PA|2＋|PB|2＋|PC|2有最小值a2. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$