阶段练习(一) (1.1)-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 阶段练习(一)　(1.1) 一、单项选择题 1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点．若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b＋c D．a－b＋c 答案：A 解析：由题意，得＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选A. 2．已知A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，2)，则向量在上的投影＝(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：因为A(1，1，0)，B(0，3，0)，C(2，2，2)，所以＝(－1，2，0)，＝(1，1，2)，所以||＝＝，·＝(－1)×1＋2×1＋0×2＝1，所以向量在上的投影＝·＝·＝＝.故选D. 3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝(　　) A．a＋b－c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b＋c 答案：B 解析：连接BD，∵E为PD的中点，＝(＋)＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋(－)＋(－)＝－＋＝a－b＋c.故选B. 4．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，P为平面ABC外一点，且〈，〉＝〈，〉＝120°，||＝3，若＝＋，则||＝(　　) A．4 B． C．6 D． 答案：D 解析：以{，，}为基底，则2＝4，2＝2＝9，·＝0，·＝2×3×cos120°＝－3，·＝3×3×cos120°＝－.因为＝＋，所以＝＋＝－－＋，则||2＝(－－＋)2＝2＋2＋2＋2·－2·－2·＝4＋9＋9＋0－2×(－3)－2×＝37，所以||＝.故选D. 5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，M为棱DD1的中点，P是线段BM上的动点，则下列式子的值为定值的是(　　) A．· B．· C．· D．· 答案：D 解析：解法一：由题意得，A1M＝，A1B＝2，BM＝，∴A1M2＋BM2＝A1B2，∴A1M⊥BM.如图，过点P作PN⊥A1B于点N.对于A，由向量数量积的几何意义得·＝||||cos∠PA1B＝||||，由于点P是动点，所以||不是定值，所以·不是定值，故A不符合题意；对于B，·＝||||cos∠A1PM＝||||＝(－||)||＝－＋，由于点P是动点，所以||不是定值，所以·不是定值，故B不符合题意；对于C，·＝(＋)·＝－||2，由于||不是定值，所以·不是定值，故C不符合题意；对于D，由于向量在向量上的投影为，所以·＝2＝2，是定值，故D符合题意．故选D. 解法二：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)，M(0，0，1)．设＝λ＝λ(1，2，－1)＝(λ，2λ，－λ)，0≤λ≤1，则P(λ，2λ，1－λ)，∴＝(λ－1，2λ，－λ－1)，＝(0，2，－2)，＝(1－λ，2－2λ，λ－1)，＝(－λ，－2λ，λ)，＝(－1，0，－1)．对于A，·＝(λ－1)×0＋2λ×2＋(－λ－1)×(－2)＝6λ＋2，不是定值，故A不符合题意；对于B，·＝(λ－1)(1－λ)＋2λ(2－2λ)＋(－λ－1)(λ－1)＝－6λ2＋6λ，不是定值，故B不符合题意；对于C，·＝(λ－1)(－λ)＋2λ(－2λ)＋(－λ－1)λ＝－6λ2，不是定值，故C不符合题意；对于D，·＝(λ－1)×(－1)＋2λ×0＋(－λ－1)×(－1)＝2，是定值，故D符合题意．故选D. 二、多项选择题 6．已知空间内三点A(3，2，0)，B(2，1，3)，C(0，2，－1)，则(　　) A．||＝ B．AB⊥AC C．cos∠ABC＝ D．△ABC的面积为 答案：ABD 解析：因为空间内三点A(3，2，0)，B(2，1，3)，C(0，2，－1)，所以＝(－1，－1，3)，＝(－3，0，－1)，＝(2，－1，4)，则||＝，||＝，||＝，A正确；因为·＝0，所以AB⊥AC，B正确；cos∠ABC＝＝＝，C错误；△ABC的面积为||·||＝，D正确．故选ABD. 7．下列命题中为真命题的是(　　) A．|a|＋|b|＝|a－b|是a，b共线的充要条件 B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb C．对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝2－4＋3，则P，A，B，C四点共面 D．若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋2c，c＋3a}构成空间的另一组基底 答案：CD 解析：对于A，因为向量a，b同向时，|a|＋|b|≠|a－b|，所以必要性不成立，故A为假命题；对于B，当a≠0，b＝0时，满足a∥b，但不存在实数λ，使得a＝λb，故B为假命题；对于C，由＝2－4＋3，得＝＋，若，共线，则向量，，共线，故A，B，C三点共线，与已知矛盾，故，不共线，由向量共面的充要条件，知，，共面，而，，过同一点P，所以P，A，B，C四点共面，故C为真命题；对于D，若{a，b，c}为空间的一组基底，则a，b，c不共面，假设a＋b，b＋2c，c＋3a共面，设a＋b＝x(b＋2c)＋y(c＋3a)，所以无解，故a＋b，b＋2c，c＋3a不共面，则{a＋b，b＋2c，c＋3a}构成空间的另一组基底，故D为真命题．故选CD. 三、填空题 8．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，且a，b，c共面，则λ＝________． 答案：1 解析：由a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，c＝(1，4，4)，得向量b，c不共线，因为a，b，c共面，所以存在实数x，y使得a＝xb＋yc，即有解得λ＝1. 9．在三棱锥M－ABC中，MA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，点F满足＝，则·＝________． 答案： 解析：因为MA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以MA⊥AB，MA⊥AC，所以⊥，⊥.因为△ABC是正三角形，所以∠BAC＝60°，因为＝＝(－)，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以·＝(－)·＝2＋·－·－·＝×22＋×0－×2×2×cos60°－×0＝. 10．已知A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，O为平面ABCD外任意一点，若＝＋＋λ，则λ＝________． 答案： 解析：＝＋＋λ＝＋(－)＋λ＝－＋＋λ，因为A，B，C，D四点共面，且任意三点不共线，所以根据共面向量定理，得－＋＋λ＝1，解得λ＝. 四、解答题 11．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)． (1)求|2a－3b|； (2)若向量a＋2b与ka－3b垂直，求实数k的值． 解：(1)因为向量a＝(2，－1，－2)，b＝(1，1，－4)， 所以2a－3b＝(1，－5，8)， 所以|2a－3b|＝＝3. (2)由题意得a＋2b＝(4，1，－10)，ka－3b＝(2k－3，－k－3，－2k＋12)， 由向量a＋2b与ka－3b垂直，得(a＋2b)·(ka－3b)＝0， 即4(2k－3)＋(－k－3)－10(－2k＋12)＝0，解得k＝5. 12．如图，设圆柱OO1的一个轴截面为矩形ABCD，M是上靠近点B的三等分点，N是上靠近点D的三等分点，且点M，N位于轴截面ABCD的两侧，BC＝4.设＝a，＝b，＝c. (1)用a，b，c表示，； (2)求·. 解：(1)如图，连接MC，AM，CN，由圆柱的对称性可知，MC＝AN，AM＝CN，四边形MCNA为平行四边形，＝. ＝＋＝＋＝a＋b， ＝＋＋＝－a＋b＋c. (2)因为⊥，所以⊥， 则a·b＝0. 易知⊥，⊥， 则a·c＝0，b·c＝0. 因为M是上靠近点B的三等分点，N是上靠近点D的三等分点， 所以∠MBC＝，∠MCB＝， 所以|a|＝BM＝4×sin＝2，|b|＝AN＝4×sin＝2， 所以·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝－a2－a·b＋a·b＋b2＋a·c＋b·c＝－4＋12＝8. 13．[多选]下列说法正确的是(　　) A．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，{，，}可以构成空间向量的一组基底 B．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)，则点M在平面ABC内 C．若向量p＝mx＋ny＋kz，则称(m，n，k)为p在基底{x，y，z}下的坐标，已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为 D．已知PA，PB，PC是从点P出发的三条线段，每两条线段之间的夹角均为60°，PA＝PB＝PC＝1，若点M满足＝＋2＋3，则cos〈，〉＝ 答案：BCD 解析：对于A，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，，，共面，则{，，}不能构成空间向量的一组基底，A错误；对于B，＝＋＋，而＋＋＝1，则M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内，B正确；对于C，依题意，p＝a＋2b＋3c，设p＝x(a－b)＋y(a＋b)＋zc(x，y，z∈R)，即(x＋y)a＋(y－x)b＋zc＝a＋2b＋3c，则解得x＝－，y＝，z＝3，因此向量p在基底{a－b，a＋b，c}下的坐标为，C正确；对于D，·＝·＝·＝1×1×＝，＝－＝2＋3，||＝＝＝＝，||＝＝＝＝1，·＝(2＋3)·(－)＝22－2·＋3·－3·＝2－2×＋3×－3×＝1，cos〈，〉＝＝＝，D正确．故选BCD. 14．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别在棱AA1，CC1上，且A1M＝AA1，CN＝CC1，∠A1AD＝∠A1AB＝∠DAB＝60°. (1)求证：＝； (2)当为何值时，⊥； (3)若AB＝AA1＝1，且＝，求||. 解：(1)证明：因为A1M＝AA1，CN＝CC1， 所以＝＋＝＋＝＋， ＝＋＝＋＝＋， 所以＝. (2)当＝1时，⊥. 理由如下： 因为底面ABCD为菱形，所以||＝||， 又＝＋＝＋＋＝＋＋，＝＋＝－，⊥， 所以·＝(＋＋)·(－) ＝2－2＋·－· ＝||2－||2＋||||cos60°－||||cos60° ＝||2－||2＋||2－||·||＝0， 即3||2－||||－2||2＝0，解得||＝||或||＝－||(舍去)， 所以当＝1时，⊥. (3)因为＝， 所以＝＋＝＋＋， 又AB＝AA1＝1， 所以2＝＝2＋2＋2＋·＋·＋·＝1＋＋＋＋＋＝， 所以||＝. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$