1.2.5 空间中的距离-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

1．2.5　空间中的距离

知识点一　空间中两点之间的距离

1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则MN的长为(　　)

A．a B．a

C．a D．a

答案：A

解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，由条件知，＝－＝(＋)－＝(＋＋)－(＋＋)＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，||2＝＝＝＝a2，∴||＝a.故选A.

2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD所成的角为60°，则B，D两点间的距离为________．

答案：2或

解析：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理，·＝0.∵AB与CD所成的角为60°，∴〈，〉＝60°或120°.又＝＋＋，∴·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．当〈，〉＝60°时，2＝4，||＝2，当〈，〉＝120°时，2＝2，||＝，∴B，D两点间的距离为2或.

知识点二　点到直线的距离

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

解析：如图，过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥AB于点N，连接PN，因为AB⊂平面ABCD，所以PM⊥AB，又PM∩MN＝M，所以AB⊥平面PMN，从而PN⊥AB，则线段PN的长即为点P到直线AB的距离．因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且＝＋＋，所以AN＝，MN＝，PM＝，所以PN＝＝.故选B.

4．已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．

答案：3

解析：以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以＝(－4，3，0)．设D满足＝

λ且PD⊥AB，连接CD，则＝＋λ＝(4，0，0)＋λ(－4，3，0)＝(4－4λ，3λ，0)，即D(4－4λ，3λ，0)，所以＝.又因为PD⊥AB，所以·＝0，即－4(4－4λ)＋9λ＝0，解得λ＝，因此＝，从而可知点P到斜边AB的距离为||＝＝3.

知识点三　点到平面的距离

5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　)

A． B．

C． D．

答案：B

解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取