1.2.5 空间中的距离-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2.5　空间中的距离 知识点一　空间中两点之间的距离 1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为BB1的中点，则MN的长为(　　) A．a B．a C．a D．a 答案：A 解析：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝b·c＝c·a＝0，由条件知，＝－＝(＋)－＝(＋＋)－(＋＋)＝(2a－c)－(－c＋a＋b)＝a－b－c，||2＝＝＝＝a2，∴||＝a.故选A. 2．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD所成的角为60°，则B，D两点间的距离为________． 答案：2或 解析：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理，·＝0.∵AB与CD所成的角为60°，∴〈，〉＝60°或120°.又＝＋＋，∴·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．当〈，〉＝60°时，2＝4，||＝2，当〈，〉＝120°时，2＝2，||＝，∴B，D两点间的距离为2或. 知识点二　点到直线的距离 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若点P满足＝＋＋，则点P到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图，过点P作PM⊥平面ABCD于点M，过M作MN⊥AB于点N，连接PN，因为AB⊂平面ABCD，所以PM⊥AB，又PM∩MN＝M，所以AB⊥平面PMN，从而PN⊥AB，则线段PN的长即为点P到直线AB的距离．因为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，且＝＋＋，所以AN＝，MN＝，PM＝，所以PN＝＝.故选B. 4．已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________． 答案：3 解析：以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以＝(－4，3，0)．设D满足＝λ且PD⊥AB，连接CD，则＝＋λ＝(4，0，0)＋λ(－4，3，0)＝(4－4λ，3λ，0)，即D(4－4λ，3λ，0)，所以＝.又因为PD⊥AB，所以·＝0，即－4(4－4λ)＋9λ＝0，解得λ＝，因此＝，从而可知点P到斜边AB的距离为||＝＝3. 知识点三　点到平面的距离 5．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)．因为O为A1C1的中点，所以O，＝.设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取n＝(1，0，1)，所以点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.故选B. 6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B． C． D． 答案：D 解析：如图，连接EG，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则G(2，λ，2)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，＝(0，λ，1)．设平面D1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1，0，2)，则点G到平面D1EF的距离为d＝＝＝.故选D. 7．已知平面α内一点P(8，9，5)，点Q(1，2，2)在平面α外，若α的一个法向量为n＝(4，3，－12)，则点Q到平面α的距离为________． 答案：1 解析：因为P(8，9，5)，Q(1，2，2)，所以＝(－7，－7，－3)，又α的一个法向量为n＝(4，3，－12)，所以点Q到平面α的距离为＝＝1. 知识点四　相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 8．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离． 解：因为M，R分别为OA，AD的中点， 所以MR∥OD. 在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD. 又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D， 所以平面MNR∥平面OCD. 又MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD. 所以直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离． 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，2)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，N(2，1，0)， 所以＝(0，1，0)，＝(0，2，－2)，＝(－2，0，0)， 设平面OCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，得n＝(0，1，1)为平面OCD的一个法向量，所以点N到平面OCD的距离d＝＝＝， 所以直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离都等于. 一、单项选择题 1．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′，则A′C的中点E与AB的中点F之间的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a 答案：B 解析：由题易知A′(a，0，a)，C(0，a，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，则E，F，∴EF＝＝a.故选B. 2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：如图，以A为原点，，1的方向分别为x轴、z轴正方向，平面ABC内与AB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B(2，0，0)，A(0，0，0)，C(1，，0)，所以＝(2，0，－1)，＝(1，，－1)，＝(2，0，0)．设平面A1BC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝2，则x＝1，y＝，所以n＝，所以点A到平面A1BC的距离为＝＝. 3．已知空间直角坐标系中的点P(1，1，1)，A(2，0，1)，B(0，1，0)，则点P到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：∵P(1，1，1)，A(2，0，1)，B(0，1，0)，∴＝(－2，1，－1)，＝(－1，1，0)，||＝，＝＝，则点P到直线AB的距离为＝＝.故选D. 4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AC与BC′之间的距离是(　　) A． B． C． D． 答案：C 解析：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，设M为BC′上一点，则点M到直线AC的距离的最小值即为直线AC与BC′之间的距离，因为正方体的棱长为2，所以A(2，0，0)，C(0，2，0)，设M(2－λ，2，λ)，所以＝(－λ，2，λ)，＝(－2，2，0)，设与共线的单位向量u＝＝，所以点M到AC的距离d＝＝＝，令f(λ)＝，则当λ＝－＝时，f(λ)取得最小值，f(λ)min＝f＝＝，所以直线AC与BC′之间的距离为.故选C. 5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，且满足＝x＋y＋z，x＋y＋z＝1，则||的最小值是(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：由题意，得＝x＋y＋(1－x－y)，∴－＝x(－)＋y(－)，即＝x＋y，由共面向量定理，得D1，E，A，C四点共面，即点E在平面D1AC上，则||的最小值为点D到平面D1AC的距离．以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，∴＝(－2，2，0)，＝(－2，0，2)，＝(2，0，0)，设平面D1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则取n＝(1，1，1)，点D到平面D1AC的距离d＝＝＝，即||的最小值为.故选B. 二、多项选择题 6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点P，Q分别在棱CC1和线段BD上，且满足PQ∥平面ABC1D1，则(　　) A．PQ到平面ABC1D1的距离有最大值 B．PQ到平面ABC1D1的距离有最小值 C．P，Q两点间的距离有最大值1 D．P，Q两点间的距离有最小值 答案：AD 解析：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，过点P作PE∥BC1交BC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，连接PF，则平面PEF∥平面ABC1D1，故EF∩BD＝Q，过点Q作GH∥BC分别交AB，CD于点G，H，所以PQ到平面ABC1D1的距离就是PE到平面ABC1D1的距离，当PQ与CD重合时，有最大距离，为，无最小距离，故A正确，B错误；设P(0，1，x)，x∈[0，1)，则CE＝HQ＝DF＝DH＝x，所以Q(x，x，0)，故PQ＝ ＝，当x＝时，PQmin＝，PQ无最大值，故C错误，D正确．故选AD. 7．已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点．则下列结论正确的是(　　) A．点P到平面ABC的距离为2 B．线段PQ的长为2 C．直线AE到平面PFQ的距离为 D．点B到平面PFQ的距离为 答案：ACD 解析：对于A，∵PA⊥平面ABC，∴点P到平面ABC的距离即为PA的长，为2，A正确；如图，以A为原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系．∵PA＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点，∴A(0，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，F(0，2，0)，E(，3，0)，Q，P(0，0，2)．对于B，∵＝，∴PQ＝||＝＝，B错误；对于C，∵＝，＝(，3，0)，∴＝2.∵与无交点，∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ，∴AE∥平面PFQ，∴点A到平面PFQ的距离就是直线AE到平面PFQ的距离.＝(0，2，－2)，设平面PFQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则x＝－，z＝1，∴n＝(－，1，1)．又＝，∴直线AE到平面PFQ的距离为＝＝，C正确；对于D，＝，∴点B到平面PFQ的距离为＝＝，D正确．故选ACD. 三、填空题 8．已知E(1，2，3)，F(1，1，0)分别为异面直线a，b上的点，且向量n＝(1，0，3)是同时垂直于直线a，b的向量，则异面直线a，b之间的距离为________． 答案： 解析：由题意得＝(0，－1，－3)，又n＝(1，0，3)是同时垂直于直线a，b的向量，故异面直线a，b之间的距离d＝＝＝. 9．在四棱锥P－ABCD中，设向量＝(4，－2，3)，＝(－4，1，0)，＝(－6，2，－8)，则顶点P到底面ABCD的距离为________． 答案：2 解析：设平面ABCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝3，则y＝12，z＝4，∴n＝(3，12，4)，∴顶点P到底面ABCD的距离d＝＝＝2. 10．如图，已知一个60°的二面角的棱上有A，B两点，AC，BD分别是在这两个平面内且垂直于AB的线段．若AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为______． 答案：2 解析：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴〈，〉＝120°.∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，∴||＝2，故CD的长为2. 四、解答题 11．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面AB1C与平面A1C1D之间的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)， 所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)， 设平面A1C1D的一个法向量为m＝(x，y，1)， 则即 解得 故m＝(1，1，1)，显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离 d＝＝＝. 12．如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，O为棱AD的中点，PO⊥平面ABCD，PA＝AD＝AB＝2CD＝2. (1)求证：AC⊥PB； (2)求点C到平面POB的距离． 解：(1)证明：由题意可知OP，AD，AB两两垂直， 所以以O为原点，，的方向分别为x轴、z轴正方向，过点O且与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 又PA＝AD＝AB＝2CD＝2，O为棱AD的中点， 易知A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(－1，1，0)，P(0，0，)， 所以＝(－2，1，0)，＝(1，2，－)， 所以·＝0， 所以AC⊥PB. (2)由(1)知，＝(1，2，0)，＝(0，0，)， 设平面POB的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则 取y＝1，得m＝(－2，1，0)． 又＝(－1，1，0)， 所以点C到平面POB的距离d＝＝＝. 13．球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，M为棱DD1的中点，则平面ACM截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为(　　) A． B． C． D． 答案：B 解析：因为球O与棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的各条棱都相切，则球心是正方体体对角线的交点，球的半径为r＝， 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，M(0，0，1)，O(1，1，1)，＝(－2，2，0)，＝(－2，0，1)，＝(－1，1，1)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝2，即n＝(1，1，2)．球心O到平面ACM的距离为d＝＝＝.故平面ACM截球O所得截面圆的半径为＝.故所求圆锥的体积为V＝×π××＝.故选B. 14．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥CD，AD∥BC，AD＝CD＝2，BC＝3，A1C1与B1D1交于点E，G为棱BB1上一点，且BB1＝3BG，点C1到平面A1BD的距离为.判断直线AG是否在平面AED1内，并说明理由． 解：以A为原点，平面ABCD内过A且与AD垂直的直线为x轴，，的方向分别为y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱柱的高为m，则D(0，2，0)，B(2，－1，0)，B1(2，－1，m)，D1(0，2，m)，C1(2，2，m)，A1(0，0，m)，G，＝(2，－1，－m)，＝(2，2，0)，＝(0，2，－m)， 设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取n1＝(3m，2m，4)， 所以点C1到平面A1BD的距离为 d＝＝ ＝， 令＝，解得m＝2. 连接AB1，设平面AB1D1的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 又＝(2，－1，2)，＝(0，2，2)， 则即 取n2＝(－3，－2，2)， 而＝， 所以·n2＝2×(－3)＋(－1)×(－2)＋×2＝－≠0， 又AB1与AE，AD1共面，故直线AG不在平面AED1内． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$