1.2.2 第2课时 空间中平面与平面平行、垂直的证明-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册作业与测评全书Word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明 知识点一　利用空间向量判断面面位置关系 1．给出下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的一个法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，②中α∥β⇒n1∥n2，故①②不正确．易知③④正确．故选B. 2．设平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，则平面α与平面β的位置关系是________． 答案：垂直 解析：∵a·b＝(－1，2，－4)·(2，3，1)＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∵平面α与向量a＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b＝(2，3，1)垂直，∴α⊥β. 3．设u，v分别是平面α，β的一个法向量，根据下列条件判断α与β的位置关系． (1)u＝(1，－1，2)，v＝； (2)u＝(0，3，0)，v＝(0，－5，0)； (3)u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)． 解：(1)∵u＝(1，－1，2)，v＝， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β. (2)∵u＝(0，3，0)，v＝(0，－5，0)，∴u＝－v，∴u∥v， ∴平面α，β可能平行，也可能重合． (3)∵u＝(2，－3，4)，v＝(4，－2，1)， ∴u与v既不共线也不垂直， ∴平面α与β相交(不垂直)． 4．如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．求证：平面ADD1A1∥平面FCC1. 证明：因为AB＝4，BC＝CD＝2，F是棱AB的中点，底面ABCD为等腰梯形，所以BF＝BC＝CF，则△BCF为正三角形，所以∠BAD＝∠ABC＝60°. 取AF的中点M， 连接DM，则DM⊥AB， 所以DM⊥CD. 以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则F(，1，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)， 所以＝(0，0，2)，＝(，－1，0)． 设平面FCC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，可得平面FCC1的一个法向量为n＝(1，，0)， 因为D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(，－1，0)， 所以＝(，－1，0)，＝(0，0，2)． 设平面ADD1A1的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则 令x1＝1，可得平面ADD1A1的一个法向量为m＝(1，，0)． 所以m＝n，即m∥n， 所以平面ADD1A1∥平面FCC1. 5．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝a，E，F分别是BB1，CC1上的点，且BE＝a，CF＝2a.求证：平面AEF⊥平面ACF. 证明：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设a＝2， 则A(0，0，0)，E(，1，2)，F(0，2，4)， ∴＝(，1，2)，＝(0，2，4)． ∵x轴⊥平面ACF，∴可取平面ACF的一个法向量为m＝(1，0，0)． 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，得n＝(0，－2，1)． ∵m·n＝0，∴m⊥n，∴平面AEF⊥平面ACF. 知识点二　三垂线定理及其逆定理 6．如图，BC是Rt△ABC的斜边，过点A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB，PC，过点A作AD⊥BC于点D，连接PD，那么图中的直角三角形共有(　　) A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 答案：D 解析：∵AP⊥平面α，∴PD在平面α内的射影为AD，∵AD⊥BC，由三垂线定理可得，PD⊥BC，∴△ABC，△ABD，△ACD，△PBD，△PCD，△PAB，△PAD，△PAC均为直角三角形，共8个．故选D. 7．已知三棱锥P－ABC的高为PH，若点P到△ABC的三边的距离相等，且点H在△ABC内，则点H为△ABC的(　　) A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心 答案：D 解析：由题意，作出符合题意的图形，过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接HE，HF，∵PH⊥平面ABC，∴PE在平面ABC内的射影为HE，∵PE⊥AB，由三垂线定理的逆定理可得，HE⊥AB，同理可得HF⊥AC，∵PE＝PF，∴HE＝HF，即点H到AB，AC的距离相等，同理可证，点H到△ABC三边的距离都相等，∴点H是△ABC的内心．故选D. 8．如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 证明：如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC， 所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中，由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD，所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 一、单项选择题 1．已知m＝(1，－5，3)，n＝(4，－1，－3)分别是平面α，β的一个法向量，则平面α与平面β的位置关系为(　　) A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．平行或重合 答案：B 解析：因为m＝(1，－5，3)，n＝(4，－1，－3)，所以m·n＝1×4＋(－5)×(－1)＋3×(－3)＝0，故m⊥n，所以α⊥β.故选B. 2．已知平面α的一个法向量为(1，－2，2)，平面β的一个法向量为(－2，4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　) A．5 B．4 C．－4 D．－5 答案：C 解析：∵α∥β，∴向量(1，－2，2)与向量(－2，4，k)共线，∴存在实数λ，使(－2，4，k)＝λ(1，－2，2)，∴∴故选C. 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于(　　) A．AC B．BD C．A1D D．A1A 答案：B 解析：直线CE在平面ABCD内的射影在AC上，∵BD⊥AC，∴由三垂线定理，得BD⊥CE.故选B. 4．设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的一个方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：由题意可得a，b分别是平面α，β的一个法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．故选C. 5．如图所示，若长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，则(　　) A．B1E⊥A1B B．平面B1CE∥平面A1BD C．平面B1CE⊥平面B1C1E D．平面B1CE⊥平面A1BD 答案：C 解析：因为长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，高为4，E是DD1的中点，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(2，0，4)，E(0，2，2)，A1(0，0，4)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，4)．对于A，因为＝(－2，2，－2)，＝(2，0，－4)，可得·＝－4＋0＋8＝4≠0，所以B1E与A1B不垂直，故A错误；对于B，D，因为＝(0，－2，4)，＝(－2，0，2)，＝(－2，0，4)，＝(－2，2，0)，设平面B1CE的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则取x1＝1，则y1＝2，z1＝1，可得n＝(1，2，1)，设平面A1BD的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)，则取x2＝2，则y2＝2，z2＝1，可得m＝(2，2，1)，显然m，n不共线，且m，n不垂直，所以平面B1CE与平面A1BD相交，但不垂直，故B，D错误；对于C，因为＝(－2，2，－2)，＝(0，2，0)，设平面B1C1E的一个法向量为a＝(x3，y3，z3)，则取x3＝1，则y3＝0，z3＝－1，可得a＝(1，0，－1)，因为n·a＝1×1＋1×(－1)＝0，所以n⊥a，所以平面B1CE⊥平面B1C1E，故C正确．故选C. 二、多项选择题 6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，M均是所在棱的中点，则下列说法正确的是(　　) A．B1G∥DM B．B1G∥平面A1EF C．平面BDM∥平面A1EF D．B1G∥A1F 答案：ABC 解析：依题意，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示．不妨设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，G(0，1，0)，M(2，1，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)．对于A，因为＝(－2，－1，－2)，＝(2，1，2)，所以＝－，即∥，亦即B1G∥DM，故A正确；对于B，＝(0，1，－2)，＝(－1，0，－2)，设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以n＝(－2，2，1)，所以n·＝(－2)×(－2)＋2×(－1)＋1×(－2)＝0，即n⊥，又B1G⊄平面A1EF，所以B1G∥平面A1EF，故B正确；对于C，＝(2，1，2)，＝(2，2，0)，设平面BDM的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即令x1＝2，则y1＝－2，z1＝－1，所以m＝(2，－2，－1)，所以n＝－m，即n∥m，所以平面BDM∥平面A1EF，故C正确；对于D，因为＝(－2，－1，－2)，＝(－1，0，－2)，所以B1G与A1F不平行，故D错误．故选ABC. 7．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，则下列结论不一定正确的是(　　) A．平面AEF⊥平面PBC B．平面AEF⊥平面ABCD C．直线EF∥平面PCD D．直线EF⊥平面PAB 答案：BCD 解析：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，令PA＝AB＝2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(1，0，1)，设F(2，a，0)，a∈[0，2]，则＝(1，0，1)，＝(2，a，0)，＝(1，a，－1)，＝(2，0，－2)，＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，设平面PBC的一个法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(1，0，1)，同理可求平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，1)，①当F与B重合，即a＝0时，设平面AEF的一个法向量为i＝(0，1，0)，此时i·m＝0，所以平面AEF⊥平面PBC，又平面ABCD的一个法向量为j＝(0，0，1)，满足j·i＝0，所以平面AEF⊥平面ABCD，又＝(1，0，－1)，所以·n＝－1≠0，显然直线EF与平面PCD不平行，故C错误；直线EF⊂平面PAB，故D错误；②当F与B不重合，即a≠0时，设平面AEF的一个法向量为k＝(x1，y1，z1)，则取k＝，此时k·m＝0，即平面AEF⊥平面PBC，又k·j＝－1≠0，所以平面AEF与平面ABCD不垂直，故B错误．综上可得，若F为线段BC上的点，均可满足平面AEF⊥平面PBC，故A一定正确．故选BCD. 三、填空题 8．若平面α，β的一个法向量分别为(－1，y，4)，(x，－1，－2)，且α⊥β，则x＋y＝________． 答案：－8 解析：∵α⊥β，∴它们的法向量也垂直，∴(－1，y，4)·(x，－1，－2)＝0，即－x－y－8＝0，∴x＋y＝－8. 9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM所成的角为________． 答案：90° 解析：取CD的中点P′，连接PP′，AP′，MP′(图略)，易知PP′⊥平面ABCD，所以MP′为PM在平面ABCD内的射影．由题意，得AM＝，MP′＝，AP′＝3，所以AP′2＝AM2＋MP′2，所以AM⊥MP′，由三垂线定理，知AM⊥PM.所以AM与PM所成的角为90°. 10．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱AB，BC上，BE＝BF＝1，G，H为棱DD1上的动点．若平面EFG∥平面ACH，＝λ，则λ＝________． 答案： 解析：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0，0，0)，E(2，0，0)，F(3，1，0)，C(3，3，0)，D(0，3，0)，设G(0，3，t)，由＝λ可得H，＝(3，3，0)，＝，设平面ACH的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝－1，则n＝.＝(1，1，0)，＝(－2，3，t)，设平面EFG的一个法向量为m＝(a，b，c)，则令b＝－1，则m＝.因为平面EFG∥平面ACH，所以m∥n，所以＝，即5＝，解得λ＝. 四、解答题 11．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别在棱A1A，A1B1，A1D1上，A1E＝A1F＝A1G＝1，点P，Q，R分别在棱CC1，CD，CB上，CP＝CQ＝CR＝1.求证：平面EFG∥平面PQR. 证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 设AB＝a，BC＝b，BB1＝c(a>1，b>1，c>1)，又A1E＝A1F＝A1G＝1，CP＝CQ＝CR＝1，∴E(b，0，c－1)，F(b，1，c)，G(b－1，0，c)，P(0，a，1)，Q(0，a－1，0)，R(1，a，0)，∴＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，＝(0，－1，－1)，＝(1，0，－1)． 设m＝(x，y，z)是平面EFG的一个法向量， 则 令x＝1，则m＝(1，－1，1)． 设n＝(i，j，k)是平面PQR的一个法向量， 则令i＝1， 则n＝(1，－1，1)， ∴平面EFG与平面PQR的法向量共线， ∴平面EFG∥平面PQR. 12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE. 解：如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，P(0，1，a)， 则A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，E，C1(0，1，1)，＝(0，1，0)，＝(－1，1，a－1)，＝，＝(0，1，1)． 设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 令z1＝1，得x1＝a－1，y1＝0， ∴n1＝(a－1，0，1)． 设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1， ∴n2＝(－2，1，－1)． ∵平面A1B1P⊥平面C1DE， ∴n1·n2＝0，即－2(a－1)－1＝0，得a＝. ∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE. 13．[多选]如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是(　　) A．直线AD与直线C1M始终是异面直线 B．存在点M，使得B1M⊥AE C．当D1M＝2MB时，平面EAC⊥平面MAC D．平面EAC∥平面BC1D1 答案：BC 解析：对于A，连接AC1交BD1于点O，当点M在O点时，直线AD与直线C1M相交，故A不正确；以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，1)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，对于B，＝(－2，0，1)，设＝λ＝λ(－2，－2，2)＝(－2λ，－2λ，2λ)，λ∈[0，1]，则＝＋λ＝(0，0，－2)＋(－2λ，－2λ，2λ)＝(－2λ，－2λ，2λ－2)，因为B1M⊥AE，所以·＝4λ＋2λ－2＝0，解得λ＝，所以当D1M＝2MB时，B1M⊥AE，故B正确；对于C，当D1M＝2MB时，M，＝(－2，0，1)，＝(－2，2，0)，设平面EAC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，由令z1＝2，可得x1＝1，y1＝1，所以m＝(1，1，2)，设平面MAC的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，＝，由令x2＝1，可得y2＝1，z2＝－1，所以n＝(1，1，－1)，因为m·n＝1×1＋1×1－1×2＝0，所以m⊥n，所以平面EAC⊥平面MAC，故C正确；对于D，平面EAC的一个法向量为m＝(1，1，2)，易求得平面BC1D1的一个法向量为＝(2，0，2)，因为m与不平行，所以平面EAC与平面BC1D1不平行，故D不正确．故选BC. 14．如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD，∴AF⊥AC， 过A作AH⊥BC于H， 则BH＝1，AH＝，CH＝3， ∴AC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2， ∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB， ∴AC⊥BF. (2)存在．理由如下： 由(1)知，AF，AB，AC两两垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)， 假设在线段BE上存在一点P满足题意，则易知点P与点B，E不重合， 设＝λ，则λ>0， 由＝λ，可求得P. 设平面PAC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 由＝，＝(0，2，0)， 可得 令x＝1，则y＝0，z＝，∴m＝. 又＝(－2，2，0)，＝(－3，，2)， 设平面BCEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝，z＝1，∴n＝. 当m·n＝1＋＝0，即λ＝时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时＝. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$